Наличие интегрального инварианта с положительной плотностью представляет интерес не только для целей интегрирования дифференциальных уравнений. Оно интересно и само по себе, например, с точки зрения возможных применений эргодической теории. Мы рассмотрим вопросы существования инвариантной меры систем дифференциальных уравнений, имея в виду приложения к неголономной механике.

Согласно теореме о выпрямлении траекторий, в достаточно малой окрестности неособой точки всегда существует инвариантная мера с гладкой стационарной плотностью. Поэтому задача об инвариантной мере представляет интерес вблизи положений равновесия, а также в достаточно больших областях фазового пространства, где траектории обладает свойством возвращаемости. Сначала рассмотрим первую возможность. Пусть точка $x=0$ является равновесием аналитической системы

дифференциальных уравнений
$$\dot{x}=\mathrm{\Lambda }x+\dots$$

Будем говорить, что набор (комплексных) собственных значений ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ матрицы $\mathrm{\Lambda }$ является резонансным, если $\sum m_i{\lambda }_i=0$ при некоторых натуральных значениях $m_i$. Отметим, что при исследовании системы (8.1) (например, в теории нормальных форм) обычно используется более слабое условие резонағсности: $\sum m_i{\lambda }_i=0$ при некоторых целых $m_i⩾0$ и $\sum \left|m_i\right|eq0$.

Предложение 10. Если набор ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ нерезонансный, то в малой окрестности точки $x=0$ уразнение (8.1) не имеет интегрального инварианта с аналитической плотностью.

Условие нерезонансности выполнено, например, в случае, когда $\mathrm{Re}{\lambda }_i⩾0(⩽0)$ и $\sum \mathrm{Re}{\lambda }_i>0(<0)$.

ДокаЗаТЕЛЬСТВО. Разложим плотность $M(x)$ в сходящийся ряд по однородным формам:
$$M=M_s+M_{s+1}+\dots ,s⩾0.$$

Ясно, что функция $M_s$ является плотностью интегрального инварианта для линейной системы $\dot{x}=\mathrm{\Lambda }x$. Можно сразу считать, что $\mathrm{\Lambda }$ приведена к канонической жордановой форме. Расположим мономы формы $M_s$ в некотором лексикографическом порядке:
$$M_s=\sum _{\begin{array}{c}{m}_i⩾0\\ m_1+\dots +m_n=s\end{array}}{a}_{m_1\dots m_n}{x}_1^{m_1}\dots x_n^{m_n}.$$

Очевидно, что $\mathrm{div}{M}_s(\mathrm{\Lambda }x)$ является некоторой формой той же степени. Приравнивая нулю ее коэффициенты, получим линейную однородную систему уравнений относительно $a_{m_1\dots m_n}$. Определитель этой системы равен произведению
$$\prod _{\begin{array}{c}{m}_i⩾0\\ m_1+\dots +m_n=s\end{array}}[(m_1+1){\lambda }_1+\dots +(m_n+1){\lambda }_n].$$

Согласно предположению, это произведение отлично от нуля. Следовательно, все $a_{m_1\dots m_n}=0$. Что и требовалось.

ЗАМЕЧАНИЕ. При более сильном условии отсутствия резонансных соотношений в традиционном смысле уравнения (8.1) не имеют первых интегралов, аналитических в окрестности точки $x=0$.

В качестве примера рассмотрим задачу о постоянных вращениях выпуклого твердого тела с аналитической выпуклой границей на горизонтальной абсолютно шероховатой плоскости (см. [4]). Движение такого тела описывается системой шести дифференциальных уравнений, имеющих интеграл энергии и геометрический интеграл. В частном случае, когда одна из главных центральных осей инерции тела ортогональна его поверхности, мы имеем однопараметрическое семейство стационарных вращений вокруг вертикально расположенной оси инерции. Стационарным движением отвечєют особые точки уравнений движения. Характеристическое уравнение имеет следующий вид:
$${\lambda }^2(a_4{\lambda }^4+a_3{\lambda }^3+a_2{\lambda }^2+a_1{\lambda }^1+a_0)=0.$$

Коэффициенты $a_s$ довольно сложно выражаются через многочисленные параметры задачи; фактически, они могут принимать произвольные значения. Наличие двойного нулевого корня связано с существованием двух независимых интегралов: в точках, отвечающих перманентным вращениям, дифференциалы интеграла энергии и геометрического интеграла в общем случае независимы. Фиксируя уровни первых интегралов, мы будем иметь дифференциальные уравнения на четырехмерных многообразиях, не имеющие в общем случае инвариантной меры с аналитической плотностью. Следовательно, в окрестности стационарных движений исходные уравнения также не имеют инвариантной меры.

Рассмотрим теперь задачу об инвариантной мере для систем дифференциальных уравнений, близких к интегрируемым системам, удовлетворяющим условиям теоремы 1. В окрестности инвариантных торов невозмущенной интегрируемой системы в качестве независимых переменных естественно принять постоянные первых интегралов $I_1,\dots ,I_{n-2}$ и угловые координаты $x,ymod2\pi$ на самих инвариантных торах. В этих переменных возмущенная система будет иметь следующий вид:
$$\begin{array}{c}{\dot{I}}_s=\epsilon f_s(I,x,y)+\dots ,s=1,\dots ,n-2,\\ \dot{x}=\frac{\lambda (I)}{\mathrm{\Phi }(I,x,y)}+\epsilon X(I,x,y)+\dots ,\dot{y}=\frac{\mu (I)}{\mathrm{\Phi }(I,x,y)}+\epsilon Y(I,x,y)+\dots \end{array}$$

Пусть функции, входящие в правые части этих дифференциальных уравнений, являются аналитическими в прямом произведении $D\times T^2$, где $D-$ некоторая область в ${\mathbb{R}}^{n-2}=\{I_1,\dots ,I_{n-2}\},T^2=\{x,y$ $mod2\pi \};\epsilon -$ малый параметр. Естественно поставить задачу о существовании у системы (8.2) инвариантной меры, плотность которой аналитична по переменным $I,x,y,2\pi$-периодична по $x,y$ и аналитически зависит от параметра $\epsilon$ :
$$M=M_0+\epsilon M_1+{\epsilon }^2{M}_2+\dots$$

Невозмущенная задача имеет инвариантную меру с плотностью $M_0$. В соответствии с известным принципом усреднения, усредним правые части системы (8.2) по мере $dm=\mathrm{\Phi }dx\wedge dy$. В результате получим замкнутую систему уравнений для изменения медленных переменных $I$ в области
$$\begin{array}{c}{\dot{I}}_s=\epsilon F_s(I),1⩽s⩽n-2,\\ F_s=\frac{1}{\mathrm{\Lambda }}{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{f}_s\mathrm{\Phi }dxdy,\mathrm{\Lambda }={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\mathrm{\Phi }dxdy.\end{array}$$

Предложение 11. Предположим, что $m\lambda (I)+n\mu (i)ot\equiv 0$ в области $D$ при всех целых $m$, $n$ не равных одновременно нулю. Если усредненная система (8.4) не имеет инвариантной меры с аналитической плотностью, то исходная система (8.2) также не имеет инвариантной меры с плотностью (8.4).

Система (8.4) проще системы (8.2); достаточное условие отсутствия инвариантной меры у (8.4) дает предложение 10.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРЕДЛОЖЕНИЯ 11. Коэффициенты $M_0$ и $M_1$ разложения (8.4) удовлетворяют уравнениям
$$\begin{array}{c}\lambda \frac{\partial }{\partial x}\frac{M_0}{\mathrm{\Phi }}+\mu \frac{\partial }{\partial y}\frac{M_0}{\mathrm{\Phi }}=0\\ \sum _s\frac{\partial }{\partial I_s}\left(M_0{f}_s\right)+\frac{\partial }{\partial x}{M}_{0}X+\frac{\partial }{\partial y}{M}_{0}Y=-(\lambda \frac{\partial }{\partial x}\frac{M_1}{\mathrm{\Phi }}+\mu \frac{\partial }{\partial y}\frac{M_1}{\mathrm{\Phi }}).\end{array}$$

Поскольку $\lambda /\mu$ иррационально почти при всех $I\in D$, то из уравнения (8.5) вытекает, что $M_0=\mathrm{\Gamma }(I)\mathrm{\Phi }$. Подставляя это соотношение в уравнение (8.6) и усредняя затем по переменным $x,y$, получим следующее уравнение
$$\sum _s\frac{\partial }{\partial I_s}\mathrm{\Gamma }{F}_s=0.$$

Следовательно, функция $Г-$ плотность интегрального инварианта для системы (8.4). Осталось показать, что $\mathrm{\Gamma }ot\equiv 0$. Если это не так, то $M_0=0$. Но тогда функция $M_1+\epsilon M_2+\dots$ является плотностью инвариантной меры для системы (8.2). Если $M_1\equiv 0$, то эту операцию можно повторить еще раз. Предложение доказано.

ЗАМЕЧАНИЕ. Можно показать, что (в условиях предложения 11), если усредненная система (8.4) не имеет аналитического первого интеграла в области $D$, то исходная система (8.2) не имеет интеграла в виде ряда $g_0+\epsilon g_1+\dots$ с аналитическими в $D\times T^2$ коэффициентами $g_s$.

Рассмотрим более подробно частный случай, когда $n=3$. Индекс $s$ можно опустить. Пусть $F(I)ot\equiv 0$. Если в некоторой точке интервала $D$ функция $F(I)=0$, то уравнение (8.4) не имеет, очевидно, инвариантной меры. Так мы будем считать, что $F(I)eq0$ в $D$. Рассмотрим следующие разложения Фурье:
$$\begin{array}{rl}\frac{X\mathrm{\Phi }}{F}& =\sum X_{mn}(I)\exp i(mx+ny),\\ \frac{Y\mathrm{\Phi }}{F}& =\sum Y_{mn}(I)\exp i(mx+ny),\\ \frac{f\mathrm{\Phi }}{F}& =\sum f_{mn}(I)\exp i(mx+ny).\end{array}$$

Резонансным множеством $\mathrm{\Delta }$ назовєм множество точек $I\in D$, для которых
$$\sum _{|m|+|n|eq0}{\left|\frac{a_{mn}}{m\lambda +n\mu }\right|}^2=\mathrm{\infty },a_{mn}=\frac{d{f}_{mn}}{dI}+i(m{X}_{mn}+n{Y}_{mn}).$$

Предложение 12.
1) Предположим, что $\lambda (I)/\mu (I)ot\equiv$ const;
2) пересечение $\mathrm{\Delta }\cap D$ не пусто.

Тогда уравнения (8.2) не имеют интегрального инварианта с плотностью (8.3).

Действительно, из соотношения (8.7) получим, что $\mathrm{\Gamma }=c/F$, где $c=$ $=$ const. Пусть
$$\frac{M_1}{\mathrm{\Phi }}=\sum b_{mn}(I)\exp i(mx+ny).$$

Уравнение (8.6) даст нам серию соотношений
$$-(m\lambda +n\mu )b_{mn}=c{a}_{mn}.$$

Пусть $I\in \mathrm{\Delta }$. Тогда из условия
$$\sum {\left|b_{mn}\right|}^2<\mathrm{\infty }$$

получим, что $c=0$. Что и требовалось.
Автор благодарен В.Ф.Журавлеву, прочитавшему рукопись и сделавшему ряд замечаний.