Как следует из предыдущих рассуждений и работы [3], четырехмерное фазовое пространство, получающееся из (1) фиксированием констант интегралов $F_{2}=(\boldsymbol{M}, \gamma), F_{3}=$ $=(\gamma, \gamma)=1$, расслоено на двумерные инвариантные торы, на каждом из которых движение приводится к виду (1), (4). Как следует из теоремы Лиувилл, гамильтонова интегрируемая система вблизи неособого тора всегда приводится к виду (2), поэтому если для торов (1), (4), возникающих в задаче Чаплыгина будет обнаружено отсутствие приводимости, это будет означать невозможность записи уравнений (1) в гамильтоновом виде (на уровне $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=0,(\gamma, \gamma)=1$ ).

С помощью особо точных компьютерных исследований мы вычисляли периоды обращений траекторий на различных резонансных инвариантных торах. Они оказались различными вдоль одного и того же тора, кроме того особенно явно эффект неприводимости наблюдался вблизи сепаратрис, разделяющих зоны с различным динамическим поведением.

ЗАМЕЧАНИЕ. В [2] указано необходимое условие приводимости согласно которому, если $\Phi(x, y)$ представимо на торе в разложении Фурье $\Phi(x, y)=$ $=\sum \varphi_{m, n} \exp [i(m x+n y)], \varphi_{m, n}=\bar{\varphi}_{-m,-n}$, то из приводимости следует, что ряд $\sum_{|m|+|n|
eq 0}\left|\frac{\varphi_{m, n}}{m \lambda+n \mu}\right|^{2}$ сходится.

На рис. 1 приведены результаты численного анализа периодов движения в системе Чаплыгина на резонансных торов, для сравнения приведены результаты при $D
eq 0$ и $D=0$, последнее условие соответствует гамильтоновой ситуации. В данном случае инвариантный тор параметризуется константами интегралов (3), которые (численно) подбираются таким образом, чтобы тор был резонансный, т. е. все траектории на нем становятся замкнутыми. Выберем сечение тора некоторой плоскостью,

Рис. 1. Абсолютное $\Delta$ и относительноє $\delta$ отклонение периодов на резонансных торах. На рисунках хорошо видно, чтс при $D
eq 0$ имеется различие периодов на торе. Параметры системы: $\mathbf{I}_{1}=1, \mathbf{I}_{2}=1.5, \mathbf{I}_{3}=3, D=m R^{2}=1, g_{0}=0$, $\mathbf{E}=10.0,(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=3.0$.

трансверсальной к покрывающим его обмоткам, точки на получившейся в сечении замкнутой кривой параметризуем некоторой угловой координатой $\varphi \in(0,2 \pi)$. Для каждого значения $\varphi$ построим траекторию из заданной начальной точки на выбранном сечении и вычислим период движения по ней $T(\varphi)$. От траектории к траектории период движения колеблется, зависимость $\Delta(\varphi)=T(\varphi)-T(0)$ и $\delta(\varphi)=\frac{T(\varphi)-T(0)}{T(0)}$ приведена на рис. 1. Точность вычислений и выбора начальных условий такова, что позволяет вычислять период с точностью до $\Delta T=10^{-8}$. (Для $G$ мы приводим только 6 знаков, хотя вычисления проводились до $10^{-10}$.) Можно утверждать, что в неголономной системе ( $D
eq 0$ ) периоды движения на торе отличаются, в то время как в голономной ситуации ( $D=0$ ) отклонение отсутствует (точнее имеет порядок ошибки вычислений).

4. Вопрос о гамильтоновости уравнений (1) был поставлен В. В. Козловым в [4]. В книге [5] он связан с вопросом «слабого» перемешивания («слабого» хаоса) на инзариантных торах. Спектр динамиче-

ской системы на таких торах может быть непрерывным, хотя все характеристики хаоса (показатель Ляпунова, энтропия) равны нулю. В этой работе мы численно показали непрлводимость на нерезонансных торах. Вопрос о приводимости на нерезонансных торах, не удовлетворяющих колмогоровскому условию сильной несоизмеримости, пока остается открытым. Со статистическими вопросами поведения системы (1) можно ознакомиться в работе [6].

В заключение отметим, что гамильтоновость динамической системы (которая может быть скрытой [5]) и обнаружение препятствий к ней является вопросом существенно более сложным по сравнению с первыми интегралами, инвариантной мерой, он продолжает оставаться почти совсем не изученным [4]. Как мы видим, эти препятствия для интегрируемых систем тем не менее поддаются численному исследованию.

Более «грубое» препятствие к гамильтоновости, типичное для неинтегрируемых систем, связано с отсутствием у неголономных уранвений инвариантной меры с аналитической плотностью. Оно было указано в [2], где также установлено несуществование инвариантной меры у кельтских камней, обладающих довольно «экзотическим» динамическим поведением и обладающих сложными притягивающими многообразиями в фазовом пространстве. С динамикой кельтских камней можно ознакомиться в третьей части настоящего сборника.

Авторы благодарны В.В.Козлову за полезные обсуждения и замечания, а также А. А. Килину за создание программного обеспечения для численных экспериментов.