5.1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о движении без скольжения тяжелого твердого тела, опирающегося выпуклой поверхностью, в каждой точке которой однозначно определена нормаль, о горизонтальную плоскость [28].

Для описания движения тела введем две системы координат: неподвижную $OXYZ$ с началом на опорной плоскости и осью $OZ$, направленной вертикально вверх, и подвижную $G{x}_1{x}_2{x}_3$ с началом в центре масс тела и осями, направленными по его главным центральным осям инерции.

Пусть $\mathbf{v}$ — скорость центра масс тела, $\mathit{\omega }$ — угловая скорость вращения тела вокруг центра масс, $\mathit{\gamma }$ — единичный вектор восходящей вертикали, r — радиус-вектор точки $K$ касания тела с плоскостью относительно центра масс, $m$ — масса тела, $\mathrm{\Theta }=\mathrm{diag}(A_1,A_2,A_3)$ — центральный тензор инерции, $\mathbf{R}$ — реакция опорной плоскости, g — ускорение свободного падения (рис. 2).

Уравнения движения тела, отнесенные к подвижной системе координат, имеют вид (3.1)-(3.4). При этом связь между векторами $\mathbf{r}$ и $\mathit{\gamma }$ определяется с помощью уравнения поверхности тела. Если последнее задано в виде $f(\mathbf{r})=0$, где знак функции $f(\mathbf{r})\in {\mathcal{C}}^2:{\mathbf{R}}^3\to \mathbf{R}$ выбран таким образом, что $\mathrm{grad}f(\mathbf{r})$ направлен во внешнюю по отношению к области, занятой телом, сторону, то
$$\gamma =-\frac{\mathrm{grad}f(\mathbf{r})}{\Vert \mathrm{grad}f(\mathbf{r})\Vert }.$$

Система уравнений (3.1)-(3.4) (с учетом (5.1)) замкнута относительно переменных $\mathbf{v},\mathit{\omega },\mathit{\gamma }$ и $\mathbf{R}$ и допускает два интеграла (энергии и геометрический)
$$\begin{array}{c}2H=m{\mathbf{v}}^2+(\mathit{\omega }\cdot \mathrm{\Theta }\mathit{\omega })-2m\mathrm{g}(\mathbf{r}\cdot \mathit{\gamma })=2h=\mathrm{const},\\ {\mathit{\gamma }}^2=1.\end{array}$$

Замечание 5.1. Если ввести те или иные обобщенные координаты (например, углы Эйлера, определяющие ориентацию подвижной системы координат по отношению к неподвижной, и координаты центра масс тела в неподвижной системе координат), то системе (3.1)-(3.3) будут отвечать уравнения движения в форме уравнений Лагранжа первого рода; при этом роль неопределенных множителей играют проекции вектора $\mathbf{R}$, а уравнения (3.4) представляют собой уравнения связей (одно интегриpуемое: ${\dot{Z}}_G+(\mathbf{r}\cdot \mathit{\gamma }{)}^{\cdot }=0$ и два неинтегрируемых $)$.

С помощью первого и четвертого уравнений системы (3.1)-(3.4) можно определить реакцию опорной плоскости
$$\mathbf{R}=mg\mathit{\gamma }-m([\dot{\mathit{\omega }}\times \mathbf{r}]+[\mathit{\omega }\times \dot{\mathbf{r}}]+[\mathit{\omega }\times [\mathit{\omega }\times \mathbf{r}]])$$

и исключить ее из второго уравнения этой системы. При этом уравнения движения тела примут вид
$$\begin{array}{l}\mathrm{\Theta }\dot{\mathit{\omega }}+[\mathit{\omega }\times \mathbf{\Theta }\mathit{\omega }]+m[\mathbf{r}\times [\dot{\mathit{\omega }}\times \mathbf{r}]]+m[\mathbf{r}\times [\mathit{\omega }\times [\mathit{\omega }\times \mathbf{r}]]]=\\ =mg[\mathbf{r}\times \mathit{\gamma }]-m[\mathbf{r}\times [\mathit{\omega }\times \dot{\mathbf{r}}]]\text{, }\\ \dot{\gamma }+[\omega \times \gamma ]=0.\end{array}$$

Система (5.4) замкнута (с учетом (5.1)) относительно переменных $\omega ,\gamma$ и ее можно рассматривать независимо от уравнения (3.4); последнее определяет скорость центра масс тела, после чего координаты центра масс вычисляются с помощью квадратур
$$X_G=\int (\mathbf{v}\cdot \mathit{\alpha })dt,Y_G=\int (\mathbf{v}\cdot \mathit{\beta })dt,Z_G=-(\mathbf{r}\cdot \mathit{\gamma })$$
( $\mathit{\alpha }$ и $\mathit{\beta }$ — орты осей $OX$ и $OY$, удовлетворяющие, очевидно, уравнениям $\dot{\mathit{\alpha }}+[\mathit{\omega }\times \mathit{\alpha }]=\mathbf{0}$ и $\dot{\mathit{\beta }}+[\mathit{\omega }\times \mathit{\beta }]=\mathbf{0}$, аналогичным уравнению (3.3)).

В тех или иных обобщенных координатах системе (5.4) отвечают уравнения в форме Чаплыгина. Эта система также допускает два интеграла («энергии» и геометрический)
$$2H_{\ast }=m([\mathit{\omega }\times \mathbf{r}]{)}^2+(\mathit{\omega }\cdot \mathrm{\Theta }\mathit{\omega })-2m\mathrm{g}(\mathbf{r}\cdot \mathit{\gamma })=2h^{\ast },{\mathit{\gamma }}^2=1.$$

Таким образом, тяжелое твердое тело на абсолютно шероховатой (скольжения нет) горизонтальной плоскости представляет собой консервативную неголономную систему Чаплыгина [25].

5.2. Перманентные вращения. Уравнения (5.4) допускают установившиеся решения вида
$$\gamma ={\gamma }^0,\omega =\omega {\gamma }^0$$

если постоянный (в подвижной системе координат) вектор ${\gamma }^0$ и постоянная $\omega$ удовлетворяют уравнению [29]
$${\omega }^2\{[\mathit{\gamma }\times \mathrm{\Theta }\mathit{\gamma }]+m[\mathbf{r}\times [\mathit{\gamma }\times [\mathit{\gamma }\times \mathbf{r}]]]\}=mg[\mathbf{r}\times \mathit{\gamma }],$$

которое получается из (5.4) с учетом (5.6) (при этом $\dot{\mathit{\gamma }}=\mathbf{0},\dot{\mathit{\omega }}=\mathbf{0}$ ).
Умножая уравнение ${}^{5.7)}$ скалярно на $\mathbf{r}$ и учитывая геометрический интеграл, получим, что вектор ${\gamma }^0$ удовлетворяет двум скалярным уравнениям
$$([\mathit{\gamma }\times \mathrm{\Theta }\mathit{\gamma }]\cdot \mathbf{r})=0,{\mathit{\gamma }}^2=1.$$

Умножая теперь уравнение (5.7) скалярно на единичный вектор оси $G{x}_3$, получим, что постоянная $\omega$ удовлетворяет уравнению
$$[(A_2-A_1){\gamma }_1{\gamma }_2+m(r_1{\gamma }_2-r_2{\gamma }_1)(\mathbf{r}\cdot \mathit{\gamma })]{\omega }^2=m\mathrm{g}(r_1{\gamma }_2-r_2{\gamma }_1).$$

При этом, очевидно, для существования действительного решения $({\omega }^2⩾0)$ необходимо выполнение неравенства $[28,29]$
$$(A_1-A_2){\gamma }_1{\gamma }_2(r_1{\gamma }_2-r_2{\gamma }_1)⩽m{(r_1{\gamma }_2-r_2{\gamma }_1)}^2(\mathbf{r}\cdot \gamma ).$$

Заметим, что правая часть последнего неравенства неположительна, так как $(\mathbf{r}\cdot \gamma )=-Z_G<0$. Здесь и всюду далее компоненты векторов $\mathit{\omega }$, $\gamma$ и $\mathbf{r}$ даны в главных центральных осях инерции тела.

Таким образом, решениям (5.6) отвечает однопараметрическое семейство перманентных вращений тела следующего вида: тело касается опорной плоскости одной и той же своей точкой $(\mathbf{r}=\mathbf{r}\left({\gamma }^0\right)=$ $={\mathbf{r}}^0=$ const) и вращается вокруг вертикали, проходящей через эту

точку, с постоянной угловой скоростью $\omega$; при этом центр масс тела описывает окружность, параллельную опорной плоскости $(Z_G=$ $=-({\mathbf{r}}^0\cdot {\gamma }^0)=Z_G^0=$ const), с центром на оси вращения и радиусом ${\rho }_G=\sqrt{{\left({\mathbf{r}}^0\right)}^2-{({\mathbf{r}}^0\cdot {\mathit{\gamma }}^0)}^2}$. Каждой оси перманентного вращения, определяемой вектором ${\gamma }^0$, удовлетворяющим системе (5.8), отвечает единственное по модулю значение угловой скорости $\omega$, вычисляемое с помощью соотношения (5.9). При этом тело может вращаться как по часовой $(\omega <0)$, так и против часовой $(\omega >0)$ стрелки.

Для простоты рассмотрим случай, когда одна из главных центральных осей инерции тела в одном из двух противоположных направлений ортогональна поверхности тела. Для определенности предположим, что этому условию удовлетворяет отрицательная полуось $G{x}_3$; точку ее «пересечения» с поверхностью тела обозначим $P$. В этом случае тело может вращаться вокруг вертикально расположенной оси $G{x}_3$ с произвольной постоянной угловой скоростью, опираясь о горизонтальную плоскость точкой $P$ (при этом центр масс тела неподвижен). Действительно, при указанных условиях уравнения (5.4) допускают решение
$${\gamma }_1={\gamma }_2=0,{\gamma }_3=1,{\omega }_1={\omega }_2=0,{\omega }_3=\omega (\omega \in \mathbf{R}),$$

причем $r_1=r_2=0,r_3=-a_3(a_3=|\overline{GP}|)$, поскольку уравнение (5.7) тождественно по $\omega$ выполняется при $\gamma ={\gamma }^0=(0,0,1{)}^T,\mathbf{r}={\mathbf{r}}^0=$ $={(0,0,-a_3)}^T$, так как $[{\mathit{\gamma }}^0\times \mathrm{\Theta }{\mathit{\gamma }}^0]=\mathbf{0}$.

Пусть $a_1$ и $a_2$ — главные радиусы кривизны поверхности тела в точке $P,\delta$ — угол между направлением главной кривизны, отвечающей радиусу $a_1$, и главной осью инерции $G{x}_1$, отсчитываемый против часовой стрелки (см. рис. 3 , где $P{x}_1^{\ast }$ и $P{x}_2^{\ast }$ — направления главных кривизн $a_1$ и $a_2,P{x}_1^{\prime }\Vert G{x}_1,P{x}_2^{\prime }\Vert G{x}_2)$. Тогда уравнение поверхности тела в окрестности точки $P$ можно представить в виде [11]
$$r_3=-a_3+\frac{1}{2}[\frac{{(r_1\cos \delta -r_2\sin \delta )}^2}{a_1}+\frac{{(r_1\sin \delta +r_2\cos \delta )}^2}{a_2}]+\cdots ,$$

а уравнение функции $\mathbf{r}=\mathbf{r}(\mathit{\gamma })$, определяемое из (5.1), — в виде $[11,28]$
$$\begin{array}{l}{r}_1=-[(a_1{\cos }^2\delta +a_2{\sin }^2\delta ){\gamma }_1+(a_2-a_1)\sin \delta \cos \delta {\gamma }_2]{\gamma }_3^{-1}+\cdots ,\\ r_2=-[(a_2-a_1)\sin \delta \cos \delta {\gamma }_1+(a_1{\sin }^2\delta +a_2{\cos }^2\delta ){\gamma }_2]{\gamma }_3^{-1}+\cdots ,\\ r_3=-a_3+\cdots \end{array}$$
(многоточием обозначены члены более высокого порядка малости, чем выписанные, в окрестности решения (5.10)).

Если $A_{1}eq{A}_2,a_{1}eq{a}_2,\delta eq0(mod\pi /2)$, то твердое тело с указанным распределением масс и описанной геометрией поверхности называется кельтским камнем.

5.3. Устойчивость вращения кельтского камня. Полагая ${\omega }_3=$ $=\omega +y,{\gamma }_3=1+z$ и сохраняя для ${\omega }_i,{\gamma }_i(i=1,2)$ их прежние обозначения, выпишем уравнения возмущенного движения
$$\begin{array}{l}(A_1+m{a}_3^2){\dot{\omega }}_1+(A_3-A_2-m{a}_3^2)\omega {\omega }_2-\\ -m{a}_3\omega [(a_1{\cos }^2\delta +a_2{\sin }^2\delta )\dot{{\gamma }_1}+(a_2-a_1)\dot{{\gamma }_2}\sin \delta \cos \delta ]+\\ +m(\mathrm{g}+a_3{\omega }^2)[(a_2-a_1){\gamma }_1\sin \delta \cos \delta +(a_1{\sin }^2\delta +a_2{\cos }^2\delta ){\gamma }_2]-\\ -mg{a}_3{\gamma }_2={\mathrm{\Omega }}_1,\\ (A_2+m{a}_3^2){\dot{\omega }}_2-(A_3-A_1-m{a}_3^2)\omega {\omega }_1-\\ -m{a}_3\omega [(a_2-a_1)\dot{{\gamma }_1}\sin \delta \cos \delta +(a_1{\sin }^2\delta +a_2{\cos }^2\delta )\dot{{\gamma }_2}]-\\ -m(\mathrm{g}+a_3{\omega }^2)[(a_1{\cos }^2\delta +a_2{\sin }^2\delta ){\gamma }_1+(a_2-a_1){\gamma }_2\sin \delta \cos \delta ]+\\ +mg{a}_3{\gamma }_1={\mathrm{\Omega }}_2,\\ \dot{{\gamma }_1}-\omega {\gamma }_2+{\omega }_2={\mathrm{\Gamma }}_1,\dot{{\gamma }_2}+\omega {\gamma }_1-{\omega }_1={\mathrm{\Gamma }}_2,A_3\dot{y}=Y,\dot{z}=Z.\end{array}$$

Здесь ${\mathrm{\Omega }}_i,{\mathrm{I}}_i{}_i(i=1,2),Y$ и $Z-$ функции, зависящие от ${\omega }_j,{\gamma }_j(j=$ $=1,2),y$ и $z$, разложения которых по степеням указанных переменных начинаются с членов не ниже второго порядка, причем все эти функции тождественно по $y$ и $z$ уничтожаются при ${\omega }_j=0,{\gamma }_j=0,(j=1,2)$ [27-31].

Характеристическое уравнение, отвечающее линеаризованной системе, которая получается из системы (5.11) отбрасыванием правых частей, имеет вид
$$\begin{array}{l}{\mu }^2[{\ae }_0{\mu }^4+{\ae }_1{\mu }^3+{\ae }_2{\mu }^2+{\ae }_3\mu +{\ae }_4]=0\\ {\ae }_0=(A_1+m{a}_3^2)(A_2+m{a}_3^2)>0\\ {\ae }_1=(A_2-A_1)m{a}_3(a_2-a_1)\omega \sin \delta \cos \delta \\ {\ae }_2=(A_3-A_1)(A_3-A_2){\omega }^2+\\ +m{a}_3{\omega }^2[(A_3-A_1{\sin }^2\delta -A_2{\cos }^2\delta )(a_1-a_3)+\\ +(A_3-A_2{\sin }^2\delta -A_1{\cos }^2\delta )(a_2-a_3)]+\\ +[m^2{a}_3^2(a_1-a_3)(a_2-a_3)+(A_1+m{a}_3^2)(A_2+m{a}_3^2)]{\omega }^2+\end{array}$$

$$\begin{array}{l}+m\mathrm{g}[(A_1{\sin }^2\delta +A_2{\cos }^2\delta +m{a}_3^2)(a_2-a_3)+\\ +(A_1{\cos }^2\delta +A_2{\sin }^2\delta +m{a}_3^2)(a_1-a_3)]\\ {\ae }_3=(A_2-A_1)m{a}_3(a_2-a_1){\omega }^3\sin \delta \cos \delta ={\omega }^2{\mathfrak{W}}_1\\ {\ae }_4=[(A_3-A_1)(A_3-A_2)+m^2{a}_3^2(a_1-a_3)(a_2-a_3)]{\omega }^4+\\ +m{\omega }^2(a_3{\omega }^2+\mathrm{g})[(A_3-A_1{\sin }^2\delta -A_2{\cos }^2\delta )(a_1-a_3)+\\ +(A_3-A_2{\sin }^2\delta -A_1{\cos }^2\delta )(a_2-a_3)]+\\ +m^2\mathrm{g}(2a_3{\omega }^2+\mathrm{g})(a_1-a_3)(a_2-a_3).\end{array}$$

Это уравнение имеет два нулевых корня. Один из них обусловлен однопараметричностью семейства перманентных вращений (5.10) (свободный параметр — $\omega$ ), а другой — наличием геометрического интеграла. Следовательно, если все корни уравнения
$${\ae }_0{\mu }^4+{\ae }_1{\mu }^3+{\ae }_2{\mu }^2+{\ae }_3\mu +{\ae }_4=0$$

имеют отрицательные вещественные части, то перманентное вращение (5.10) устойчиво, причем всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному, асимптотически при $t\to +\mathrm{\infty }$ стремится к перманентному вращению того же вида (5.10), но, в общем случае, с возмущенной угловой скоростью. Другими словами, в этом случае перманентное вращение устойчиво по отношению к $\mathit{\omega },\mathit{\gamma }$ и асимптотически устойчиво по отношению к ${\omega }_1,{\omega }_2,\gamma$. Если же уравнение (5.13) имеет корень с положительной вещественной частью, то перманентное вращение неустойчиво.

Таким образом, согласно критерию Гурвица, перманентные вращения (5.10) с $\omega eq0$ устойчивы при выполнении условий [27-31]
$$\begin{array}{c}(A_2-A_1)(a_2-a_1)\omega \sin \delta \cos \delta >0,\\ J{\omega }^2-mg(a_1-a_3)(a_2-a_3)>0,{\ae }_4>0,\\ J=(A_1+A_2-A_3)(a_1+a_2-2a_3)-m{a}_3[4a_3^2-3a_3(a_1+a_2)+2a_1{a}_2],\end{array}$$

и неустойчивы при строгом нарушении хотя бы одного из неравенств (5.14), (5.15).

Условия (5.15) накладывают ограничения только на распределение масс и геометрию поверхности тела, а также на абсолютную величину его угловой скорости (левые части неравенств (5.15) представляют собой четные функции $\omega$ ), тогда как условие (5.14) накладывает ограничение на направление вращения тела (на знак параметра $\omega$ ).

Предположим, что
$$0<\delta <\pi /2,A_1<A_2<A_3,a_1>a_2>a_3.$$

Первое из этих условий можно считать выполненным всегда (если $\delta eq0mod\pi /2$ ), второе означает, что вращение (5.10) происходит вокруг оси наибольшего момента инерции, а третье — что положение равновесия тела (решение ${\gamma }_1={\gamma }_2=0,{\gamma }_3=1,\omega =0$, которое принадлежит семейству решений (5.10) при $\omega =0$ ), устойчиво (центр масс в положении равновесия находится ниже обоих центров кривизны поверхности тела в точке его касания с опорной плоскостью). Предположения $A_1<A_2$ и $a_1>a_2$ несущественны и сделаны лишь для определенности. Тогда второе неравенство (æ $4>0$ ) в (5.15) выполняется при любом $\omega \in \mathbf{R}$, а для выполнения первого необходимо соблюдение условия $J>0$ (в противном случае оно не выполняется ни при каком $\omega \in \mathbf{R}$ ). При $J>0$ вращение (5.10) устойчиво, если $\omega <0$ (см. (5.14), (5.16)) и ${\omega }^2>{\omega }_{\ast }^2$, где
$${\omega }_{\ast }^2=mg(a_1-a_3)(a_2-a_3)/J$$
(см. первое неравенство в (5.15)). Для определенности будем считать, что ${\omega }_{\ast }=-\sqrt{{\omega }_{\ast }^2}<0$.

Итак, при выполнении условий (5.16) и $J>0$, которые накладывают ограничения только на распределение масс и геометрию поверхности тела, вращение (5.10) устойчиво, если
$$\omega <{\omega }_{\ast }<0$$

и неустойчиво, если $\omega >{\omega }_{\ast }(\omega eq0)[28,30]$. Таким образом, устойчивость вращения $(\omega eq0)$ кельтского камня с указанными выше параметрами имеет место, если только вращение происходит по часовой стрелке и величина (модуль) угловой скорости больше некоторого критического значения, определяемого также параметрами кельтского камня.

5.4. Бифуркация Андронова-Хопфа в динамике кельтского камня. Заметим, что при нарушении неравенства $\omega <{\omega }_{\ast }$ и соблюдении неравенства $\omega <0$ (ср. с (5.18)), два ненулевых корня уравнения (5.12) пересекают мнимую ось слева направо, а два других корня остаются в левой полуплоскости. При $\omega ={\omega }_{\ast }$ это уравнение имеет два нулевых корня, два чисто мнимых корня $\pm {\omega }_{\ast }\sqrt{-1}$ и два корня с отрицательными вещественными частями, т.е. имеет место ситуация, близкая к такой, при которой может возникать бифуркация Хопфа [32] (отличие определяется лишь наличием двух нулевых корней).

Исключая переменные $y$ и $z$ из уравнений возмущенного движения (5.11) с помощью первых интегралов (5.5), получим замкнутую

систему четырех уравнений относительно переменных ${\omega }_i,{\gamma }_i(i=1,2)$, которая получается из системы (5.11) отбрасыванием двух последних уравнений (для $y$ и $z$ ) и заменой нелинейностей ${\mathrm{\Omega }}_i,{\mathrm{\Gamma }}_i$ на ${\mathrm{\Omega }}_i^{\ast }$, ${\mathrm{\Gamma }}_i^{\ast }(i=1,2)$ в первых четырех уравнениях. Нелинейности ${\mathrm{\Omega }}_i^{\ast },{\mathrm{\Gamma }}_i^{\ast }$ представляют собой функции от ${\omega }_j,{\gamma }_j(j=1,2)$, зависящие от параметра $\epsilon =(h^{\ast }-h_{\ast })/\left(mg{a}_3\right)$, характеризуощего отклонение постоянной $h^{\ast }$ интеграла «энергии» (5.5) от ее критического значения
$$h_{\ast }=m\mathrm{g}[1+A_3(a_1-a_3)(a_2-a_3)/(2J)],$$

отвечающего вращению (5.10) с критической угловой скоростью ${\omega }_{\ast }$. Существенно, что линейная часть первых четырех уравнений (5.11) при этом не изменяется, т.е. характеристическое уравнение полученной системы имеет вид (5.13), где ${\mathfrak{x}}_s={\mathfrak{x}}_s(\omega )(s=1,2,3,4)$, а $\omega =\omega (\epsilon )$.

При сделанных выше предположениях (условие $J>0$ и условия (5.16)) уравнение (5.13) имеет все корни с отрицательными вещественными частями, если $\omega <{\omega }_{\ast }(\epsilon >0)$; два чисто мнимых корня и два корня с отрицательными вещественными частями, если $\omega ={\omega }_{\ast }(\epsilon =0)$; два корня с положительными вещественными частями, если $\omega >{\omega }_{\ast }(\epsilon <0)$ (напомним, что ${\omega }_{\ast }<0$ ). Покажем, что при переходе параметра $\epsilon (\omega )$ справа налево через нуль (критическое значение ${\omega }_{\ast }$ ) происходит строгая потеря устойчивости [28]. Последнее означает, что два корня уравнения (5.13), имеющие в окрестности критического значения $\omega ={\omega }_{\ast }$ вид
$${\mu }_{1,2}=-a(\omega )\pm \alpha (\omega )\sqrt{-1},$$

где $a(\omega )>0(<0)$ при $\omega <{\omega }_{\ast }(>{\omega }_{\ast }),a\left({\omega }_{\ast }\right)=0,\alpha \left({\omega }_{\ast }\right)={\omega }_{\ast }$, удовлетворяют условию $a_{\ast }^{\prime }eq0$. Здесь и далее штрих означает дифференцирование по $\omega$, а нижний индекс * указывает, что соответствующая величина вычисляется при $\omega ={\omega }_{\ast }$.

Непосредственное отыскание корней вида (5.19) уравнения (5.13) сопряжено с громоздкими вычислениями, поэтому заметим, что производная по $\omega$ от выражения $J{\omega }^2-mg(a_1-a_3)(a_2-a_3)$, стоящего в левой части первого из неравенств (5.15), не равна нулю при $\omega ={\omega }_{\ast }$ (так как $J>0,{\omega }_{\ast }<0$ ) и докажем, что это возможно лишь при условии $a_{\ast }^{\prime }eq0$. Действительно, при указанных условиях два других корня уравнения (5.13) могут иметь вид
$${\mu }_{3,4}=-b(\omega )\pm \beta (\omega )\sqrt{-1}$$

или вид
$${\mu }_3=-c(\omega ),{\mu }_4=-d(\omega ),$$

причем функции $b(\omega ),c(\omega )$ и $d(\omega )$ положительны при $\omega <0$ (в том числе, при $\omega ={\omega }_{\ast }<0$ ).

Рассмотрим первый случай: уравнение (5.13) имеет корни (5.19) и (5.20). Тогда это уравнение можно представить в виде
$$\begin{array}{l}{\mu }^4+2{\mu }^3(a+b)+{\mu }^2(a^2+b^2+{\alpha }^2+{\beta }^2+4ab)+\\ +2\mu [a(b^2+{\beta }^2)+b(a^2+{\alpha }^2)]+(a^2+{\alpha }^2)(b^2+{\beta }^2)=0.\end{array}$$

Согласно выражениям для коэффициентов ${\mathfrak{\ae }}_s(s=0,\dots ,4)$ уравнения (5.13) (æ æ ${}_3{\omega }^2{\mathfrak{1}}_1)$, должно выполняться соотношение
$$a(b^2+{\beta }^2)+b(a^2+{\alpha }^2)\equiv {\omega }^2(a+b).$$

Дифференцируя это соотношение по $\omega$ и подставляя в полученное тождество $\omega ={\omega }_{\ast }$, имеем
$$a_{\ast }^{\prime }(b_{\ast }^2+{\beta }_{\ast }^2-{\omega }_{\ast }^2)=2{\omega }_{\ast }{b}_{\ast }(1-{\alpha }_{\ast }^{\prime }).$$

Далее, условие, отвечающее первому неравенству в (5.15), для уравнения (5.22), в котором коэффициент при $\mu$ заменен, согласно (5.23), на $2(a+b){\omega }^2$, имеет вид
$$(a^2+b^2+{\alpha }^2+{\beta }^2+4ab){\omega }^2-(a^2+{\alpha }^2)(b^2+{\beta }^2)-{\omega }^4>0.$$

Вычисляя производную по $\omega$ от выражения, стоящего в левой части неравенства (5.25), и полагая $\omega ={\omega }_{\ast }$, получим
$$2{\omega }_{\ast }(b_{\ast }^2+{\beta }_{\ast }^2-{\omega }_{\ast }^2)(1-{\alpha }_{\ast }^{\prime })+4a_{\ast }^{\prime }{b}_{\ast }{\omega }_{\ast }^2.$$

Очевидно, последнее выражение равно нулю при $a_{\ast }^{\prime }=0$, так как при этом (см. (5.24)) ${\alpha }_{\ast }^{\prime }=1$ (напомним, что ${\omega }_{\ast }eq0,b_{\ast }eq0$ ).

Аналогично рассматривается и второй случай, когда уравнение (5.13) имеет корни (5.19) и (5.21).

Таким образом, при критическом значении угловой скорости (см. (5.17)) происходит строгая потеря устойчивости вращения (5.10). Согласно теореме Хопфа [32] это означает, что при значениях полной энергии, близких к критическому $h_{\ast }$, от устойчивых перманентных вращений кельтского камня ответвляются периодические движения с частотой, близкой к критическому значению $\left|{\omega }_{\ast }\right|$ угловой скорости.