5.1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о движении без скольжения тяжелого твердого тела, опирающегося выпуклой поверхностью, в каждой точке которой однозначно определена нормаль, о горизонтальную плоскость [28].

Для описания движения тела введем две системы координат: неподвижную $O X Y Z$ с началом на опорной плоскости и осью $O Z$, направленной вертикально вверх, и подвижную $G x_{1} x_{2} x_{3}$ с началом в центре масс тела и осями, направленными по его главным центральным осям инерции.

Пусть $\mathbf{v}$ – скорость центра масс тела, $\boldsymbol{\omega}$ – угловая скорость вращения тела вокруг центра масс, $\boldsymbol{\gamma}$ – единичный вектор восходящей вертикали, r – радиус-вектор точки $K$ касания тела с плоскостью относительно центра масс, $m$ – масса тела, $\Theta=\operatorname{diag}\left(A_{1}, A_{2}, A_{3}\right)$ – центральный тензор инерции, $\mathbf{R}$ – реакция опорной плоскости, g – ускорение свободного падения (рис. 2).

Уравнения движения тела, отнесенные к подвижной системе координат, имеют вид (3.1)-(3.4). При этом связь между векторами $\mathbf{r}$ и $\boldsymbol{\gamma}$ определяется с помощью уравнения поверхности тела. Если последнее задано в виде $f(\mathbf{r})=0$, где знак функции $f(\mathbf{r}) \in \mathcal{C}^{2}: \mathbf{R}^{3} \rightarrow \mathbf{R}$ выбран таким образом, что $\operatorname{grad} f(\mathbf{r})$ направлен во внешнюю по отношению к области, занятой телом, сторону, то
\[
\gamma=-\frac{\operatorname{grad} f(\mathbf{r})}{\|\operatorname{grad} f(\mathbf{r})\|} .
\]

Система уравнений (3.1)-(3.4) (с учетом (5.1)) замкнута относительно переменных $\mathbf{v}, \boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\gamma}$ и $\mathbf{R}$ и допускает два интеграла (энергии и геометрический)
\[
\begin{array}{c}
2 H=m \mathbf{v}^{2}+(\boldsymbol{\omega} \cdot \Theta \boldsymbol{\omega})-2 m \mathrm{~g}(\mathbf{r} \cdot \boldsymbol{\gamma})=2 h=\mathrm{const}, \\
\boldsymbol{\gamma}^{2}=1 .
\end{array}
\]

Замечание 5.1. Если ввести те или иные обобщенные координаты (например, углы Эйлера, определяющие ориентацию подвижной системы координат по отношению к неподвижной, и координаты центра масс тела в неподвижной системе координат), то системе (3.1)-(3.3) будут отвечать уравнения движения в форме уравнений Лагранжа первого рода; при этом роль неопределенных множителей играют проекции вектора $\mathbf{R}$, а уравнения (3.4) представляют собой уравнения связей (одно интегриpуемое: $\dot{Z}_{G}+(\mathbf{r} \cdot \boldsymbol{\gamma})^{\cdot}=0$ и два неинтегрируемых $)$.

С помощью первого и четвертого уравнений системы (3.1)-(3.4) можно определить реакцию опорной плоскости
\[
\mathbf{R}=m g \boldsymbol{\gamma}-m([\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}]+[\boldsymbol{\omega} \times \dot{\mathbf{r}}]+[\boldsymbol{\omega} \times[\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}]])
\]

и исключить ее из второго уравнения этой системы. При этом уравнения движения тела примут вид
\[
\begin{array}{l}
\Theta \dot{\boldsymbol{\omega}}+[\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\Theta} \boldsymbol{\omega}]+m[\mathbf{r} \times[\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}]]+m[\mathbf{r} \times[\boldsymbol{\omega} \times[\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}]]]= \\
=m g[\mathbf{r} \times \boldsymbol{\gamma}]-m[\mathbf{r} \times[\boldsymbol{\omega} \times \dot{\mathbf{r}}]] \text {, } \\
\dot{\gamma}+[\omega \times \gamma]=0 . \\
\end{array}
\]

Система (5.4) замкнута (с учетом (5.1)) относительно переменных $\omega, \gamma$ и ее можно рассматривать независимо от уравнения (3.4); последнее определяет скорость центра масс тела, после чего координаты центра масс вычисляются с помощью квадратур
\[
X_{G}=\int(\mathbf{v} \cdot \boldsymbol{\alpha}) d t, Y_{G}=\int(\mathbf{v} \cdot \boldsymbol{\beta}) d t, Z_{G}=-(\mathbf{r} \cdot \boldsymbol{\gamma})
\]
( $\boldsymbol{\alpha}$ и $\boldsymbol{\beta}$ – орты осей $O X$ и $O Y$, удовлетворяющие, очевидно, уравнениям $\dot{\boldsymbol{\alpha}}+[\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\alpha}]=\mathbf{0}$ и $\dot{\boldsymbol{\beta}}+[\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\beta}]=\mathbf{0}$, аналогичным уравнению (3.3)).

В тех или иных обобщенных координатах системе (5.4) отвечают уравнения в форме Чаплыгина. Эта система также допускает два интеграла («энергии» и геометрический)
\[
2 H_{*}=m([\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}])^{2}+(\boldsymbol{\omega} \cdot \Theta \boldsymbol{\omega})-2 m \mathrm{~g}(\mathbf{r} \cdot \boldsymbol{\gamma})=2 h^{*}, \boldsymbol{\gamma}^{2}=1 .
\]

Таким образом, тяжелое твердое тело на абсолютно шероховатой (скольжения нет) горизонтальной плоскости представляет собой консервативную неголономную систему Чаплыгина [25].

5.2. Перманентные вращения. Уравнения (5.4) допускают установившиеся решения вида
\[
\gamma=\gamma^{0}, \omega=\omega \gamma^{0}
\]

если постоянный (в подвижной системе координат) вектор $\gamma^{0}$ и постоянная $\omega$ удовлетворяют уравнению [29]
\[
\omega^{2}\{[\boldsymbol{\gamma} \times \Theta \boldsymbol{\gamma}]+m[\mathbf{r} \times[\boldsymbol{\gamma} \times[\boldsymbol{\gamma} \times \mathbf{r}]]]\}=m g[\mathbf{r} \times \boldsymbol{\gamma}],
\]

которое получается из (5.4) с учетом (5.6) (при этом $\dot{\boldsymbol{\gamma}}=\mathbf{0}, \dot{\boldsymbol{\omega}}=\mathbf{0}$ ).
Умножая уравнение $^{5.7)}$ скалярно на $\mathbf{r}$ и учитывая геометрический интеграл, получим, что вектор $\gamma^{0}$ удовлетворяет двум скалярным уравнениям
\[
([\boldsymbol{\gamma} \times \Theta \boldsymbol{\gamma}] \cdot \mathbf{r})=0, \boldsymbol{\gamma}^{2}=1 .
\]

Умножая теперь уравнение (5.7) скалярно на единичный вектор оси $G x_{3}$, получим, что постоянная $\omega$ удовлетворяет уравнению
\[
\left[\left(A_{2}-A_{1}\right) \gamma_{1} \gamma_{2}+m\left(r_{1} \gamma_{2}-r_{2} \gamma_{1}\right)(\mathbf{r} \cdot \boldsymbol{\gamma})\right] \omega^{2}=m \mathrm{~g}\left(r_{1} \gamma_{2}-r_{2} \gamma_{1}\right) .
\]

При этом, очевидно, для существования действительного решения $\left(\omega^{2} \geqslant 0\right)$ необходимо выполнение неравенства $[28,29]$
\[
\left(A_{1}-A_{2}\right) \gamma_{1} \gamma_{2}\left(r_{1} \gamma_{2}-r_{2} \gamma_{1}\right) \leqslant m\left(r_{1} \gamma_{2}-r_{2} \gamma_{1}\right)^{2}(\mathbf{r} \cdot \gamma) .
\]

Заметим, что правая часть последнего неравенства неположительна, так как $(\mathbf{r} \cdot \gamma)=-Z_{G}<0$. Здесь и всюду далее компоненты векторов $\boldsymbol{\omega}$, $\gamma$ и $\mathbf{r}$ даны в главных центральных осях инерции тела.

Таким образом, решениям (5.6) отвечает однопараметрическое семейство перманентных вращений тела следующего вида: тело касается опорной плоскости одной и той же своей точкой $\left(\mathbf{r}=\mathbf{r}\left(\gamma^{0}\right)=\right.$ $=\mathbf{r}^{0}=$ const) и вращается вокруг вертикали, проходящей через эту

точку, с постоянной угловой скоростью $\omega$; при этом центр масс тела описывает окружность, параллельную опорной плоскости $\left(Z_{G}=\right.$ $=-\left(\mathbf{r}^{0} \cdot \gamma^{0}\right)=Z_{G}^{0}=$ const), с центром на оси вращения и радиусом $\rho_{G}=\sqrt{\left(\mathbf{r}^{0}\right)^{2}-\left(\mathbf{r}^{0} \cdot \boldsymbol{\gamma}^{0}\right)^{2}}$. Каждой оси перманентного вращения, определяемой вектором $\gamma^{0}$, удовлетворяющим системе (5.8), отвечает единственное по модулю значение угловой скорости $\omega$, вычисляемое с помощью соотношения (5.9). При этом тело может вращаться как по часовой $(\omega<0)$, так и против часовой $(\omega>0)$ стрелки.

Для простоты рассмотрим случай, когда одна из главных центральных осей инерции тела в одном из двух противоположных направлений ортогональна поверхности тела. Для определенности предположим, что этому условию удовлетворяет отрицательная полуось $G x_{3}$; точку ее «пересечения» с поверхностью тела обозначим $P$. В этом случае тело может вращаться вокруг вертикально расположенной оси $G x_{3}$ с произвольной постоянной угловой скоростью, опираясь о горизонтальную плоскость точкой $P$ (при этом центр масс тела неподвижен). Действительно, при указанных условиях уравнения (5.4) допускают решение
\[
\gamma_{1}=\gamma_{2}=0, \gamma_{3}=1, \omega_{1}=\omega_{2}=0, \omega_{3}=\omega(\omega \in \mathbf{R}),
\]

причем $r_{1}=r_{2}=0, r_{3}=-a_{3}\left(a_{3}=|\overline{G P}|\right)$, поскольку уравнение (5.7) тождественно по $\omega$ выполняется при $\gamma=\gamma^{0}=(0,0,1)^{T}, \mathbf{r}=\mathbf{r}^{0}=$ $=\left(0,0,-a_{3}\right)^{T}$, так как $\left[\boldsymbol{\gamma}^{0} \times \Theta \boldsymbol{\gamma}^{0}\right]=\mathbf{0}$.

Пусть $a_{1}$ и $a_{2}$ – главные радиусы кривизны поверхности тела в точке $P, \delta$ – угол между направлением главной кривизны, отвечающей радиусу $a_{1}$, и главной осью инерции $G x_{1}$, отсчитываемый против часовой стрелки (см. рис. 3 , где $P x_{1}^{*}$ и $P x_{2}^{*}$ – направления главных кривизн $a_{1}$ и $\left.a_{2}, P x_{1}^{\prime}\left\|G x_{1}, P x_{2}^{\prime}\right\| G x_{2}\right)$. Тогда уравнение поверхности тела в окрестности точки $P$ можно представить в виде [11]
\[
r_{3}=-a_{3}+\frac{1}{2}\left[\frac{\left(r_{1} \cos \delta-r_{2} \sin \delta\right)^{2}}{a_{1}}+\frac{\left(r_{1} \sin \delta+r_{2} \cos \delta\right)^{2}}{a_{2}}\right]+\cdots,
\]

а уравнение функции $\mathbf{r}=\mathbf{r}(\boldsymbol{\gamma})$, определяемое из (5.1), – в виде $[11,28]$
\[
\begin{array}{l}
r_{1}=-\left[\left(a_{1} \cos ^{2} \delta+a_{2} \sin ^{2} \delta\right) \gamma_{1}+\left(a_{2}-a_{1}\right) \sin \delta \cos \delta \gamma_{2}\right] \gamma_{3}^{-1}+\cdots, \\
r_{2}=-\left[\left(a_{2}-a_{1}\right) \sin \delta \cos \delta \gamma_{1}+\left(a_{1} \sin ^{2} \delta+a_{2} \cos ^{2} \delta\right) \gamma_{2}\right] \gamma_{3}^{-1}+\cdots, \\
r_{3}=-a_{3}+\cdots
\end{array}
\]
(многоточием обозначены члены более высокого порядка малости, чем выписанные, в окрестности решения (5.10)).

Если $A_{1}
eq A_{2}, a_{1}
eq a_{2}, \delta
eq 0(\bmod \pi / 2)$, то твердое тело с указанным распределением масс и описанной геометрией поверхности называется кельтским камнем.

5.3. Устойчивость вращения кельтского камня. Полагая $\omega_{3}=$ $=\omega+y, \gamma_{3}=1+z$ и сохраняя для $\omega_{i}, \gamma_{i}(i=1,2)$ их прежние обозначения, выпишем уравнения возмущенного движения
\[
\begin{array}{l}
\left(A_{1}+m a_{3}^{2}\right) \dot{\omega}_{1}+\left(A_{3}-A_{2}-m a_{3}^{2}\right) \omega \omega_{2}- \\
-m a_{3} \omega\left[\left(a_{1} \cos ^{2} \delta+a_{2} \sin ^{2} \delta\right) \dot{\gamma_{1}}+\left(a_{2}-a_{1}\right) \dot{\gamma_{2}} \sin \delta \cos \delta\right]+ \\
+m\left(\mathrm{~g}+a_{3} \omega^{2}\right)\left[\left(a_{2}-a_{1}\right) \gamma_{1} \sin \delta \cos \delta+\left(a_{1} \sin ^{2} \delta+a_{2} \cos ^{2} \delta\right) \gamma_{2}\right]- \\
-m g a_{3} \gamma_{2}=\Omega_{1}, \\
\left(A_{2}+m a_{3}^{2}\right) \dot{\omega}_{2}-\left(A_{3}-A_{1}-m a_{3}^{2}\right) \omega \omega_{1}- \\
-m a_{3} \omega\left[\left(a_{2}-a_{1}\right) \dot{\gamma_{1}} \sin \delta \cos \delta+\left(a_{1} \sin ^{2} \delta+a_{2} \cos ^{2} \delta\right) \dot{\gamma_{2}}\right]- \\
-m\left(\mathrm{~g}+a_{3} \omega^{2}\right)\left[\left(a_{1} \cos ^{2} \delta+a_{2} \sin ^{2} \delta\right) \gamma_{1}+\left(a_{2}-a_{1}\right) \gamma_{2} \sin \delta \cos \delta\right]+ \\
+m g a_{3} \gamma_{1}=\Omega_{2}, \\
\dot{\gamma_{1}}-\omega \gamma_{2}+\omega_{2}=\Gamma_{1}, \quad \dot{\gamma_{2}}+\omega \gamma_{1}-\omega_{1}=\Gamma_{2}, \quad A_{3} \dot{y}=Y, \quad \dot{z}=Z .
\end{array}
\]

Здесь $\Omega_{i}, \mathrm{I}_{i}{ }_{i}(i=1,2), Y$ и $Z-$ функции, зависящие от $\omega_{j}, \gamma_{j}(j=$ $=1,2), y$ и $z$, разложения которых по степеням указанных переменных начинаются с членов не ниже второго порядка, причем все эти функции тождественно по $y$ и $z$ уничтожаются при $\omega_{j}=0, \gamma_{j}=0,(j=1,2)$ [27-31].

Характеристическое уравнение, отвечающее линеаризованной системе, которая получается из системы (5.11) отбрасыванием правых частей, имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\mu^{2}\left[æ_{0} \mu^{4}+æ_{1} \mu^{3}+æ_{2} \mu^{2}+æ_{3} \mu+æ_{4}\right]=0 \\
æ_{0}=\left(A_{1}+m a_{3}^{2}\right)\left(A_{2}+m a_{3}^{2}\right)>0 \\
æ_{1}=\left(A_{2}-A_{1}\right) m a_{3}\left(a_{2}-a_{1}\right) \omega \sin \delta \cos \delta \\
æ_{2}=\left(A_{3}-A_{1}\right)\left(A_{3}-A_{2}\right) \omega^{2}+ \\
+m a_{3} \omega^{2}\left[\left(A_{3}-A_{1} \sin ^{2} \delta-A_{2} \cos ^{2} \delta\right)\left(a_{1}-a_{3}\right)+\right. \\
\left.+\left(A_{3}-A_{2} \sin ^{2} \delta-A_{1} \cos ^{2} \delta\right)\left(a_{2}-a_{3}\right)\right]+ \\
+ {\left[m^{2} a_{3}^{2}\left(a_{1}-a_{3}\right)\left(a_{2}-a_{3}\right)+\left(A_{1}+m a_{3}^{2}\right)\left(A_{2}+m a_{3}^{2}\right)\right] \omega^{2}+}
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
\quad+m \mathrm{~g}\left[\left(A_{1} \sin ^{2} \delta+A_{2} \cos ^{2} \delta+m a_{3}^{2}\right)\left(a_{2}-a_{3}\right)+\right. \\
\left.+\left(A_{1} \cos ^{2} \delta+A_{2} \sin ^{2} \delta+m a_{3}^{2}\right)\left(a_{1}-a_{3}\right)\right] \\
æ_{3}=\left(A_{2}-A_{1}\right) m a_{3}\left(a_{2}-a_{1}\right) \omega^{3} \sin \delta \cos \delta=\omega^{2} \mathfrak{W}_{1} \\
æ_{4}=\left[\left(A_{3}-A_{1}\right)\left(A_{3}-A_{2}\right)+m^{2} a_{3}^{2}\left(a_{1}-a_{3}\right)\left(a_{2}-a_{3}\right)\right] \omega^{4}+ \\
\quad+m \omega^{2}\left(a_{3} \omega^{2}+\mathrm{g}\right)\left[\left(A_{3}-A_{1} \sin ^{2} \delta-A_{2} \cos ^{2} \delta\right)\left(a_{1}-a_{3}\right)+\right. \\
\left.+\left(A_{3}-A_{2} \sin ^{2} \delta-A_{1} \cos ^{2} \delta\right)\left(a_{2}-a_{3}\right)\right]+ \\
\quad+m^{2} \mathrm{~g}\left(2 a_{3} \omega^{2}+\mathrm{g}\right)\left(a_{1}-a_{3}\right)\left(a_{2}-a_{3}\right) .
\end{array}
\]

Это уравнение имеет два нулевых корня. Один из них обусловлен однопараметричностью семейства перманентных вращений (5.10) (свободный параметр – $\omega$ ), а другой – наличием геометрического интеграла. Следовательно, если все корни уравнения
\[
æ_{0} \mu^{4}+æ_{1} \mu^{3}+æ_{2} \mu^{2}+æ_{3} \mu+æ_{4}=0
\]

имеют отрицательные вещественные части, то перманентное вращение (5.10) устойчиво, причем всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному, асимптотически при $t \rightarrow+\infty$ стремится к перманентному вращению того же вида (5.10), но, в общем случае, с возмущенной угловой скоростью. Другими словами, в этом случае перманентное вращение устойчиво по отношению к $\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\gamma}$ и асимптотически устойчиво по отношению к $\omega_{1}, \omega_{2}, \gamma$. Если же уравнение (5.13) имеет корень с положительной вещественной частью, то перманентное вращение неустойчиво.

Таким образом, согласно критерию Гурвица, перманентные вращения (5.10) с $\omega
eq 0$ устойчивы при выполнении условий [27-31]
\[
\begin{array}{c}
\left(A_{2}-A_{1}\right)\left(a_{2}-a_{1}\right) \omega \sin \delta \cos \delta>0, \\
J \omega^{2}-m g\left(a_{1}-a_{3}\right)\left(a_{2}-a_{3}\right)>0, \quad æ_{4}>0, \\
J=\left(A_{1}+A_{2}-A_{3}\right)\left(a_{1}+a_{2}-2 a_{3}\right)-m a_{3}\left[4 a_{3}^{2}-3 a_{3}\left(a_{1}+a_{2}\right)+2 a_{1} a_{2}\right],
\end{array}
\]

и неустойчивы при строгом нарушении хотя бы одного из неравенств (5.14), (5.15).

Условия (5.15) накладывают ограничения только на распределение масс и геометрию поверхности тела, а также на абсолютную величину его угловой скорости (левые части неравенств (5.15) представляют собой четные функции $\omega$ ), тогда как условие (5.14) накладывает ограничение на направление вращения тела (на знак параметра $\omega$ ).

Предположим, что
\[
0<\delta<\pi / 2, \quad A_{1}<A_{2}<A_{3}, \quad a_{1}>a_{2}>a_{3} .
\]

Первое из этих условий можно считать выполненным всегда (если $\delta
eq 0 \bmod \pi / 2$ ), второе означает, что вращение (5.10) происходит вокруг оси наибольшего момента инерции, а третье – что положение равновесия тела (решение $\gamma_{1}=\gamma_{2}=0, \gamma_{3}=1, \omega=0$, которое принадлежит семейству решений (5.10) при $\omega=0$ ), устойчиво (центр масс в положении равновесия находится ниже обоих центров кривизны поверхности тела в точке его касания с опорной плоскостью). Предположения $A_{1}<A_{2}$ и $a_{1}>a_{2}$ несущественны и сделаны лишь для определенности. Тогда второе неравенство (æ $4>0$ ) в (5.15) выполняется при любом $\omega \in \mathbf{R}$, а для выполнения первого необходимо соблюдение условия $J>0$ (в противном случае оно не выполняется ни при каком $\omega \in \mathbf{R}$ ). При $J>0$ вращение (5.10) устойчиво, если $\omega<0$ (см. (5.14), (5.16)) и $\omega^{2}>\omega_{*}^{2}$, где
\[
\omega_{*}^{2}=m g\left(a_{1}-a_{3}\right)\left(a_{2}-a_{3}\right) / J
\]
(см. первое неравенство в (5.15)). Для определенности будем считать, что $\omega_{*}=-\sqrt{\omega_{*}^{2}}<0$.

Итак, при выполнении условий (5.16) и $J>0$, которые накладывают ограничения только на распределение масс и геометрию поверхности тела, вращение (5.10) устойчиво, если
\[
\omega<\omega_{*}<0
\]

и неустойчиво, если $\omega>\omega_{*}(\omega
eq 0)[28,30]$. Таким образом, устойчивость вращения $(\omega
eq 0)$ кельтского камня с указанными выше параметрами имеет место, если только вращение происходит по часовой стрелке и величина (модуль) угловой скорости больше некоторого критического значения, определяемого также параметрами кельтского камня.

5.4. Бифуркация Андронова-Хопфа в динамике кельтского камня. Заметим, что при нарушении неравенства $\omega<\omega_{*}$ и соблюдении неравенства $\omega<0$ (ср. с (5.18)), два ненулевых корня уравнения (5.12) пересекают мнимую ось слева направо, а два других корня остаются в левой полуплоскости. При $\omega=\omega_{*}$ это уравнение имеет два нулевых корня, два чисто мнимых корня $\pm \omega_{*} \sqrt{-1}$ и два корня с отрицательными вещественными частями, т.е. имеет место ситуация, близкая к такой, при которой может возникать бифуркация Хопфа [32] (отличие определяется лишь наличием двух нулевых корней).

Исключая переменные $y$ и $z$ из уравнений возмущенного движения (5.11) с помощью первых интегралов (5.5), получим замкнутую

систему четырех уравнений относительно переменных $\omega_{i}, \gamma_{i}(i=1,2)$, которая получается из системы (5.11) отбрасыванием двух последних уравнений (для $y$ и $z$ ) и заменой нелинейностей $\Omega_{i}, \Gamma_{i}$ на $\Omega_{i}^{*}$, $\Gamma_{i}^{*} \quad(i=1,2)$ в первых четырех уравнениях. Нелинейности $\Omega_{i}^{*}, \Gamma_{i}^{*}$ представляют собой функции от $\omega_{j}, \gamma_{j} \quad(j=1,2)$, зависящие от параметра $\varepsilon=\left(h^{*}-h_{*}\right) /\left(m g a_{3}\right)$, характеризуощего отклонение постоянной $h^{*}$ интеграла «энергии» (5.5) от ее критического значения
\[
h_{*}=m \mathrm{~g}\left[1+A_{3}\left(a_{1}-a_{3}\right)\left(a_{2}-a_{3}\right) /(2 J)\right],
\]

отвечающего вращению (5.10) с критической угловой скоростью $\omega_{*}$. Существенно, что линейная часть первых четырех уравнений (5.11) при этом не изменяется, т.е. характеристическое уравнение полученной системы имеет вид (5.13), где $\mathfrak{x}_{s}=\mathfrak{x}_{s}(\omega)(s=1,2,3,4)$, а $\omega=\omega(\varepsilon)$.

При сделанных выше предположениях (условие $J>0$ и условия (5.16)) уравнение (5.13) имеет все корни с отрицательными вещественными частями, если $\omega<\omega_{*}(\varepsilon>0)$; два чисто мнимых корня и два корня с отрицательными вещественными частями, если $\omega=\omega_{*}(\varepsilon=0)$; два корня с положительными вещественными частями, если $\omega>\omega_{*}(\varepsilon<0)$ (напомним, что $\omega_{*}<0$ ). Покажем, что при переходе параметра $\varepsilon(\omega)$ справа налево через нуль (критическое значение $\omega_{*}$ ) происходит строгая потеря устойчивости [28]. Последнее означает, что два корня уравнения (5.13), имеющие в окрестности критического значения $\omega=\omega_{*}$ вид
\[
\mu_{1,2}=-a(\omega) \pm \alpha(\omega) \sqrt{-1},
\]

где $a(\omega)>0(<0)$ при $\omega<\omega_{*}\left(>\omega_{*}\right), a\left(\omega_{*}\right)=0, \alpha\left(\omega_{*}\right)=\omega_{*}$, удовлетворяют условию $a_{*}^{\prime}
eq 0$. Здесь и далее штрих означает дифференцирование по $\omega$, а нижний индекс * указывает, что соответствующая величина вычисляется при $\omega=\omega_{*}$.

Непосредственное отыскание корней вида (5.19) уравнения (5.13) сопряжено с громоздкими вычислениями, поэтому заметим, что производная по $\omega$ от выражения $J \omega^{2}-m g\left(a_{1}-a_{3}\right)\left(a_{2}-a_{3}\right)$, стоящего в левой части первого из неравенств (5.15), не равна нулю при $\omega=\omega_{*}$ (так как $J>0, \omega_{*}<0$ ) и докажем, что это возможно лишь при условии $a_{*}^{\prime}
eq 0$. Действительно, при указанных условиях два других корня уравнения (5.13) могут иметь вид
\[
\mu_{3,4}=-b(\omega) \pm \beta(\omega) \sqrt{-1}
\]

или вид
\[
\mu_{3}=-c(\omega), \quad \mu_{4}=-d(\omega),
\]

причем функции $b(\omega), c(\omega)$ и $d(\omega)$ положительны при $\omega<0$ (в том числе, при $\omega=\omega_{*}<0$ ).

Рассмотрим первый случай: уравнение (5.13) имеет корни (5.19) и (5.20). Тогда это уравнение можно представить в виде
\[
\begin{array}{l}
\mu^{4}+2 \mu^{3}(a+b)+\mu^{2}\left(a^{2}+b^{2}+\alpha^{2}+\beta^{2}+4 a b\right)+ \\
+2 \mu\left[a\left(b^{2}+\beta^{2}\right)+b\left(a^{2}+\alpha^{2}\right)\right]+\left(a^{2}+\alpha^{2}\right)\left(b^{2}+\beta^{2}\right)=0 .
\end{array}
\]

Согласно выражениям для коэффициентов $\mathfrak{æ}_{s}(s=0, \ldots, 4)$ уравнения (5.13) (æ æ $\left._{3} \omega^{2} \mathfrak{1}_{1}\right)$, должно выполняться соотношение
\[
a\left(b^{2}+\beta^{2}\right)+b\left(a^{2}+\alpha^{2}\right) \equiv \omega^{2}(a+b) .
\]

Дифференцируя это соотношение по $\omega$ и подставляя в полученное тождество $\omega=\omega_{*}$, имеем
\[
a_{*}^{\prime}\left(b_{*}^{2}+\beta_{*}^{2}-\omega_{*}^{2}\right)=2 \omega_{*} b_{*}\left(1-\alpha_{*}^{\prime}\right) .
\]

Далее, условие, отвечающее первому неравенству в (5.15), для уравнения (5.22), в котором коэффициент при $\mu$ заменен, согласно (5.23), на $2(a+b) \omega^{2}$, имеет вид
\[
\left(a^{2}+b^{2}+\alpha^{2}+\beta^{2}+4 a b\right) \omega^{2}-\left(a^{2}+\alpha^{2}\right)\left(b^{2}+\beta^{2}\right)-\omega^{4}>0 .
\]

Вычисляя производную по $\omega$ от выражения, стоящего в левой части неравенства (5.25), и полагая $\omega=\omega_{*}$, получим
\[
2 \omega_{*}\left(b_{*}^{2}+\beta_{*}^{2}-\omega_{*}^{2}\right)\left(1-\alpha_{*}^{\prime}\right)+4 a_{*}^{\prime} b_{*} \omega_{*}^{2} .
\]

Очевидно, последнее выражение равно нулю при $a_{*}^{\prime}=0$, так как при этом (см. (5.24)) $\alpha_{*}^{\prime}=1$ (напомним, что $\omega_{*}
eq 0, b_{*}
eq 0$ ).

Аналогично рассматривается и второй случай, когда уравнение (5.13) имеет корни (5.19) и (5.21).

Таким образом, при критическом значении угловой скорости (см. (5.17)) происходит строгая потеря устойчивости вращения (5.10). Согласно теореме Хопфа [32] это означает, что при значениях полной энергии, близких к критическому $h_{*}$, от устойчивых перманентных вращений кельтского камня ответвляются периодические движения с частотой, близкой к критическому значению $\left|\omega_{*}\right|$ угловой скорости.