В качестве примера рассмотрим задачу о качении уравновешенного, динамически несимметричного, шара по горизонтальной шероховатой плоскости (см. [5]). Движение шара описывается следующей системой уравнений в $\mathbb{R}^{6}=\mathbb{R}^{3}\{\omega\} \times \mathbb{R}^{3}\{\gamma\}$ :
\[
\begin{array}{c}
\dot{k}+\omega \times k=0, \quad \dot{\gamma}+\omega \times \gamma=0 ; \\
k=I \omega+m a^{2} \gamma \times(\omega \times \gamma) .
\end{array}
\]

Пусть $\omega$ – вектор угловой скорости вращения шара, $\gamma-$ единичный вектор вертикали, $I$ – тензор инерции шара относительно его центра, $m$ – масса шара, а $a$ – его радиус. Эти уравнения имеют инвариантную меру с плотностью
\[
M=\frac{1}{\sqrt{\left(m a^{2}\right)^{-1}-\left\langle\gamma,\left(I+m a^{2} \mathrm{E}\right)^{-1} \gamma\right\rangle}}, \quad \mathrm{E}=\left\|\delta_{i j}\right\|
\]

Учитывая наличие четырех независимых интегралов $F_{1}=\langle k, \omega\rangle$, $F_{2}=\langle k, \gamma\rangle, F_{3}=\langle\gamma, \gamma\rangle, F_{4}=\langle k, k\rangle$, мы видим, что уравнения (3.1) интегрируются в квадратурах. Отметим, что система уравнений (3.1) не имеет положений равновесия на некритических множествах уровня $\mathrm{E}_{c}$. Действительно, если $\gamma \doteq 0$, то векторы $\omega$ и $\gamma$ линейно зависимы. Это, в свою очередь, влечет линейную зависимость дифференциалов $d F_{1}$ и $d F_{2}$. Наиболее просто уравнения (3.1) интегрируются в случае, когда постоянная интеграла «площадей» $F_{2}$ равна нулю. В эллиптических координатах $\xi, \eta$ на сфере Пуассона $\langle\gamma, \gamma\rangle=1$ уравнения движения на уровне $\mathrm{E}_{c}$ можно свести к следующему виду:
\[
\begin{array}{c}
\dot{\xi}=\frac{\sqrt{P_{5}(\xi)}}{\xi\left(\xi^{-1}-\eta^{-1}\right) \Phi(\xi, \eta)} ; \quad \dot{\eta}=\frac{\sqrt{P_{5}(\eta)}}{\eta\left(\xi^{-1}-\eta^{-1}\right) \Phi(\xi, \eta)} \\
\Phi=\sqrt{(a-\xi)(a-\eta)} .
\end{array}
\]

Коэффициенты многочлена 5 -й степени $P_{5}$ и постоянная $a$ зависят от параметров задачи и констант первых интегралов (детали можно

найти в [5]). Переменные $\xi, \eta$ изменяются в различных замкнутых интервалах $a_{1} \leqslant \xi \leqslant a_{2}, b_{1} \leqslant \eta \leqslant b_{2}$, где полином $P_{5}$ принимает неотрицательные значения. Униформизирующая замена переменных
\[
\begin{array}{ll}
x=\lambda \int_{a_{1}}^{\xi} \frac{z d z}{\sqrt{P_{5}(z)}}, & \lambda^{-1}=\frac{1}{\pi} \int_{a_{1}}^{a_{2}} \frac{z d z}{\sqrt{P_{5}(z)}}, \\
y=\mu \int_{b_{1}}^{\eta} \frac{z d z}{\sqrt{P_{5}(z)}}, & \mu^{-1}=\frac{1}{\pi} \int_{b_{1}}^{b_{2}} \frac{z d z}{\sqrt{P_{5}(z)}},
\end{array}
\]

вводит угловые координаты $x, y \bmod 2 \pi$ на $\mathrm{E}_{c}$, в которых уравнения движения (2.3) приобретают вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}=\frac{\lambda}{\Phi(x, y)}, \quad \dot{y}=\frac{\mu}{\Phi(x, y)} \\
\Phi=\left(\xi^{-1}(x)-\eta^{-1}(y)\right) \sqrt{(a-\xi(x))(a-\eta(y))} .
\end{array}
\]

Здесь $\xi(x)$ и $\eta(y)-2 \pi$-периодические функции от $x$ и $y$, получающиеся из обращения абелевых интегралов (3.3).
Из этих уравнений вытекает
Предложение 3. Число вращения касательного векторного поля на двумерных инвариантных торах задачи Чаплыгина равно отношению вещественных периодов абелева интеграла
\[
\int \frac{z d z}{\sqrt{P_{5}(z)}} .
\]

ЗАМЕЧАНИЕ. Это утверждение справедливо и для интегрируемых задач динамики тяжелого твердого тела с неподвижной точкой, описываемой системой уравнений Эйлера-Пуассона (см. [10]). Поскольку уравнения Эйлера-Пуассона имеют гамильтонову природу, то по теореме Лиувилля в интегрируемых случаях на двумерных инвариантных торах они все приводятся к виду (2.4). По-видимому, уравнения (3.4) этим свойством не обладают: неравенство (2.5) имеет место не на всех инвариантных нерезонансных торах.
Сделаем замену времени $t \rightarrow \tau$ по формуле
\[
d t=\sqrt{(a-\xi)(a-\eta)} d \tau .
\]

Уравнения (3.4) сохраняют свой вид, только у функции $\Phi$ переменные $x, y$ разделяются:
\[
\Phi=\xi^{-1}(x)-\eta^{-1}(y) .
\]

Предложение 4. Предположим, что в системе уравнений (2.3) числа $\lambda$ и $\mu$ отличны от нуля и
\[
\Phi=\Phi^{\prime}(x)+\Phi^{\prime \prime}(y) .
\]

Тогда обратимой заменой угловых координат на $T^{2}$ уравнения (2.3) приводятся к виду (2.4).

Доказательство можно найти в [10]. Отметим, что если $\Phi=\Phi^{\prime}(x)+$ $+\Phi^{\prime \prime}(y)$, то ряд (2.5)
\[
\sum_{n
eq 0}\left|\frac{\varphi_{n}^{\prime}}{n \lambda}\right|^{2}+\left|\frac{\varphi^{\prime \prime} n}{n \mu}\right|^{2}
\]

сходится при всех $\lambda, \mu
eq 0$.
Итак, с учетом замены времени (3.5) уравнения (3.4) можно привести к виду
\[
\frac{d u}{d \tau}=U, \quad \frac{d v}{d \tau}=V,
\]

где $U$ и $V$ зависят лишь от постоянных первых интегралов, причем $U, V
eq 0$. В связи с этим результатом возникает соблазн воспользоваться теоремой приводящего множителя С. А. Чаплыгина: если с помощью замены времени (3.5) уравнения (3.1) приводятся к уравнениям Эйлера – Лагранжа некоторой вариационной задачи (записанным, как и классические уравнения Эйлера – Пуассона, в избыточных координатах), то по теореме Лиувилля уравнения движения на двумерных инвариантных торах в некоторых угловых переменных $u, v \bmod 2 \pi$ имеют как раз вид (3.6). Можно показать, однако, что этот подход не приводит к цели. Отметим в заключение, что сам С. А. Чаплыгин не связывал задачу о качении шара с теорией приводящего множителя.