3.1. Предварительные замечания. Теория, изложенная в первых двух параграфах, согласно которой критическим (экстремальным) значениям одного из интегралов системы при фиксированных значениях постоянных других интегралов отвечают (устойчивые) действительные движения системы (которые называются стационарными), применима к любым динамическим системам, в том числе, к неголономным. При этом предполагается, что уравнения движения могут быть представлены в виде (1.1), а первые интегралы имеют вид (1.2).

Поскольку движение систем с дифференциальными связями нередко описывают уравнениями, содержащими реакции этих связей или неопределенные множители Лагранжа, то применение теории Рауса к таким системам требует особой внимательности. Дело в том, что указанные выше уравнения систем с дифференциальными связями не могут быть представлены в виде (1.1), так как для реакций связей или неопределенных множителей Лагранжа нет соответствующих дифференциальных уравнений. Поэтому для применения теории, изложенной в предыдущих параграфах, к неголономным системам, необходимо исключить зависимые скорости из выражений всех первых интегралов указанных уравнений движения системы с помощью уравнений неголономных связей. При этом полученные функции будут представлять собой первые интегралы уравнений движения рассматриваемой системы, записанных в форме Чаплыгина (см. следующий параграф), Воронца, Больцмана Гамеля и др., которые не содержат реакции связей и неопределенные множители Лагранжа и представимы в виде (1.1), а сами первые интегралы примут вид (1.2).

Проиллюстрируем изложенные выше соображения на примере исследования задачи о стационарных движениях неоднородного динамически симметричного шара на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости $[22-24]^{1}$.

3.2. Постановка задачи. Пусть $m$ – масса шара, $A_{1}$ и $A_{3}$ – его экваториальный и осевой центральные моменты инерции, $r$ – радиус, $a$ – расстояние от центра масс шара до его геометрического центра и $\mathrm{g}-$ ускорение свободного падения. Скорость центра масс шара обозначим через $\mathbf{v}$, а его угловую скорость – через $\boldsymbol{\omega}$. Обозначим также единичный вектор восходящей вертикали и единичный вектор оси симметрии через $\gamma$ и $\mathbf{e}_{3}$ соответственно.

Уравнения движения шара, отнесенные к его главным центральным осям инерции, можно представить в виде
\[
\begin{array}{c}
m \dot{\mathbf{v}}+[\boldsymbol{\omega} \times m \mathbf{v}]=-m \mathrm{~g} \boldsymbol{\gamma} \mathbf{R}, \\
\Theta \dot{\boldsymbol{\omega}}+[\boldsymbol{\omega} \times \Theta \boldsymbol{\omega}]=[\mathbf{r} \times \mathbf{R}] \\
\dot{\boldsymbol{\gamma}}+[\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\gamma}]=0 \\
\mathbf{v}+[\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}]=0 .
\end{array}
\]

Уравнения (3.1) и (3.2) выражают соответственно законы изменения импульса и кинетического момента шара, уравнение (3.3) – условие постоянства вектора $\boldsymbol{\gamma}$ в инерциальной системе отсчета, а уравнение (3.4) – условие отсутствия скольжения шара. Здесь $\mathbf{R}$ – реакция опорной плоскости, $\Theta=\operatorname{diag}\left(A_{1}, A_{1}, A_{3}\right)$ – центральный тензор инерции шара и $\mathbf{r}=\left(-r \gamma_{1},-r \gamma_{2},-r \gamma_{3}+a\right)-$ радиус-вектор точки касания шара с горизонтальной плоскостью по отношению к его центру масс.
Система (3.1)-(3.4) допускает четыре первых интеграла [22-24]
\[
\begin{array}{c}
2 U_{0}=m \mathbf{v}^{2}+(\Theta \boldsymbol{\omega} \cdot \omega)-2 m \mathrm{~g} a\left(\boldsymbol{\gamma} \cdot \mathbf{e}_{3}\right)=2 \mathrm{c}_{0}, \\
U_{1}=\left(\Theta \boldsymbol{\omega} \cdot\left(\boldsymbol{\gamma}-\frac{a}{r} \mathbf{e}_{3}\right)\right)=\mathrm{c}_{1}, \\
U_{2}=I\left(\boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{e}_{3}\right)=\mathrm{c}_{2}, \\
U_{3}=\boldsymbol{\gamma}^{2}=1
\end{array}
\]
(интеграл энергии (3.5), интеграл Желле (3.6), интеграл Чаплыгина (3.7) и геометрический интеграл (3.8)).

Здесь $\mathrm{c}_{0}, \mathrm{c}_{1}$ и $\mathrm{c}_{2}$ – произвольные константы, а через $I$ обозначено выражение
\[
I=\left[A_{1} A_{3}+m r^{2}\left(A_{1}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)+A_{3}\left(\gamma_{3}-a / r\right)^{2}\right)\right]^{\frac{1}{2}}, \quad \gamma_{3}=\left(\boldsymbol{\gamma} \cdot \mathbf{e}_{3}\right) .
\]

Геометрический интеграл (3.8) можно рассматривать как конфигурационное пространство существенных координат $\boldsymbol{\gamma} \in \mathbf{S}^{2}$, где $\mathbf{S}^{2}-$ двумерная сфера, называемая сферой Пуассона. Таким образом, система уравнений (3.1)-(3.4) имеет интеграл энергии (3.5) и два линейных (относительно квазискоростей $\boldsymbol{\omega}$ ) первых интеграла (3.6) и (3.7).

Очевидно, выражение полной энергии шара $U_{0}$ содержит переменную $\mathbf{v}$, которую можно исключить с помощью уравнения (3.4). При этом функция $U_{0}$ примет вид
\[
2 U_{0}=m([\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}])^{2}+(\Theta \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{\omega})-2 m \mathrm{~g} a\left(\boldsymbol{\gamma} \cdot \mathbf{e}_{3}\right)=2 \mathrm{c}_{0},
\]

и будет зависеть, как и интегралы (3.6)-(3.8), только от переменных $\boldsymbol{\omega}$ и $\boldsymbol{\gamma}$. Выражения (3.6)-(3.8) и (3.9) представляют собой первые интегралы системы уравнений движения шара вида
\[
\begin{array}{c}
\Theta \dot{\boldsymbol{\omega}}+m(\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}) \dot{\boldsymbol{\omega}}-m(\dot{\boldsymbol{\omega}} \cdot \mathbf{r}) \mathbf{r}-m(\boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{r}) \dot{\mathbf{r}}+m(\mathbf{r} \cdot \dot{\mathbf{r}}) \boldsymbol{\omega}+ \\
+[\boldsymbol{\omega} \times \Theta \boldsymbol{\omega}]-m(\boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{r})[\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}]-m \mathrm{~g}[\mathbf{r} \times \boldsymbol{\gamma}]=0, \\
\dot{\boldsymbol{\gamma}}+[\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\gamma}]=0 .
\end{array}
\]

Уравнение (3.10) получается из уравнения (3.2), если из последнего исключить реакцию $\mathbf{R}$ с помощью уравнений (3.1), (3.4), а также соотношения $\dot{\mathbf{v}}+[\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}]+[\boldsymbol{\omega} \times \dot{\mathbf{r}}]=0$, которое получается из (3.4) дифференцированием по времени.

Система уравнений (3.10), (3.3) замкнута относительно переменных $\boldsymbol{\omega}$ и $\boldsymbol{\gamma}$, имеет вид (1.1), допускает квадратичный первый интеграл (3.9) вида (2.1) и два линейных первых интеграла (3.6)-(3.7) вида (2.2). Следовательно, при изучении стационарных движений этой системы можно использовать теорию, изложенную в первых двух параграфах настоящего обзора.

3.3. Построение эффективного потенциала. Согласно теории, изложенной в предыдущем параграфе, исследование условий существования и устойчивости стационарных движений неоднородного динамически симметричного шара на абсолютно шероховатой плоскости сводится к исследованию эффективного потенциала данной системы. Для его построения мы должны найти минимум выражения (3.9) по переменным $\boldsymbol{\omega}$ на фиксированных уровнях интегралов Желле (3.6) и Чаплыгина (3.7).

Заметим, что данные интегралы зависимы на полюсах $P_{ \pm}\left(\gamma_{3}= \pm 1\right)$ сферы Пуассона $\mathbf{S}^{2}$. Действительно, если обозначить $\omega_{i}$ и $\gamma_{i}(i=1,2,3)$ проекции векторов $\boldsymbol{\omega}$ и $\boldsymbol{\gamma}$ на главные центральные оси инерции шара, то интегралы (3.6) и (3.7) можно записать в виде
\[
\begin{array}{c}
U_{1}=A_{1}\left(\omega_{1} \gamma_{1}+\omega_{2} \gamma_{2}\right)+A_{3} \omega_{3}\left(\gamma_{3}-a / r\right)=\mathrm{c}_{1}, \\
U_{2}=\left[A_{1} A_{3}+m r^{2}\left(A_{1}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)+A_{3}\left(\gamma_{3}-a / r\right)^{2}\right)\right]^{\frac{1}{2}} \omega_{3} \equiv I \omega_{3}=\mathrm{c}_{2} .
\end{array}
\]

Таким образом, для полюсов $P_{ \pm}\left(\gamma_{1}=\gamma_{2}=0, \gamma_{3}= \pm 1\right)$ имеем:
\[
\begin{array}{c}
U_{1}=A_{3}( \pm 1-a / r) \omega_{3}=\mathrm{c}_{1}, \quad U_{2}=I_{ \pm} \omega_{3}=\mathrm{c}_{2}, \\
I_{ \pm}=\left[A_{1} A_{3}+m r^{2} A_{3}( \pm 1-a / r)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}
\end{array}
\]

и поэтому
\[
I_{ \pm} \mathrm{c}_{1}=A_{3}( \pm 1-a / r) \mathrm{c}_{2} .
\]

В соответствии с теорией, изложенной в предыдущем параграфе (см. пункт 2.3.), если
\[
I_{ \pm} \mathrm{c}_{1}
eq A_{3}( \pm 1-a / r) \mathrm{c}_{2},
\]

то эффективный потенциал имеет вид
\[
W_{\mathrm{c}_{1}, \mathrm{c}_{2}}\left(\gamma_{3}\right)=\frac{\left(I \mathrm{c}_{1}-A_{3}\left(\gamma_{3}-\frac{a}{r}\right) \mathrm{c}_{2}\right)^{2}}{2 A_{1}^{2} A_{3}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)}-m g a \gamma_{3} .
\]

Если
\[
\mathrm{c}_{2}=\frac{I_{+} \mathrm{c}_{1}}{A_{3}\left(1-\frac{a}{r}\right)}=\mathrm{c}_{2+},
\]

то эффективный потенциал имеет вид
\[
W_{\mathrm{c}_{1}, \mathrm{c}_{2}+}\left(\gamma_{3}\right)=\frac{\left(1-\gamma_{3}\right)\left[A_{3}\left(1-\frac{2 a}{r}+\gamma_{3}\right)+m r^{2}\left(1-\frac{a}{r}\right)^{2}\left(1+\gamma_{3}\right)\right]^{2} \mathrm{c}_{1}^{2}}{2 A_{3}\left(1+\gamma_{3}\right)\left(1-\frac{a}{r}\right)^{2}\left(\left(1-\frac{a}{r}\right) I+\left(\gamma_{3}-\frac{a}{r}\right) I_{+}\right)^{2}}-m g a \gamma_{3} .
\]

Аналогично, если
\[
\mathrm{c}_{2}=-\frac{I_{-} \mathrm{c}_{1}}{A_{3}\left(1+\frac{a}{r}\right)}=\mathrm{c}_{2-},
\]

то эффективный потенциал имеет вид
\[
W_{\mathrm{c}_{1}, \mathrm{c}_{2}-}\left(\gamma_{3}\right)=\frac{\left(1+\gamma_{3}\right)\left[A_{3}\left(1+\frac{2 a}{r}-\gamma_{3}\right)+m r^{2}\left(1+\frac{a}{r}\right)^{2}\left(1-\gamma_{3}\right)\right]^{2} \mathrm{c}_{1}^{2}}{2 A_{3}\left(1-\gamma_{3}\right)\left(1+\frac{a}{r}\right)^{2}\left(\left(1+\frac{a}{r}\right) I-\left(\gamma_{3}-\frac{a}{r}\right) I_{-}\right)^{2}}-m \mathrm{~g} a \gamma_{3} .
\]

3.4. Стационарные движения шара. Очевидно, функция (3.12) не имеет особенностей в окрестности полюса $P_{+}$сферы Пуассона. Аналогично, функция (3.13) не имеет особенностей в окрестности полюса $P_{-}$. Эти полюса соответствуют перманентным вращениям
\[
\gamma_{1}=\gamma_{2}=0, \gamma_{3}= \pm 1, \omega_{1}=\omega_{2}=0, \omega_{3}=\omega_{ \pm}=\frac{c_{1}}{A_{3}\left( \pm 1-\frac{a}{r}\right)}, \mathbf{v}=0
\]

шара вокруг его вертикально расположенной оси динамической симметрии.

Если $\gamma_{3}=+1$, то центр масс шара занимает наинизшее положение. Соответствующие перманентные вращения будут устойчивы (неустойчивы) при выполнении условия
\[
d W_{\mathrm{c}_{1}, \mathrm{c}_{2}+}\left(\gamma_{3}\right) /\left.d \gamma_{3}\right|_{\gamma_{3}=+1}<0 \quad(>0),
\]
т.е. когда выполняется неравенство
\[
\left(A_{3}+m r(r-a)\right)^{2} \mathrm{c}_{1}^{2}+4 m \operatorname{ga} A_{3}^{2}\left(1-\frac{a}{r}\right)^{2}\left(A_{1}+m(r-a)^{2}\right)>0 \quad(<0) .
\]

Очевидно, что данное неравенство выполнено при любом значении с $_{1}$ константы интеграла (3.6). Таким образом, перманентные вращения шара с наинизшим расположением центра масс всегда устойчивы.

Если $\gamma_{3}=-1$, то центр масс шара занимает наивысшее положение. Соответствующие перманентные вращения будут устойчивы (неустойчивы) при выполнении условия
\[
d W_{\mathrm{c}_{1}, \mathrm{c}_{2}-}\left(\gamma_{3}\right) /\left.d \gamma_{3}\right|_{\gamma_{3}=-1}>0 \quad(<0),
\]
т.е. когда выполняется неравенство
\[
\left(A_{3}+m r(r+a)\right)^{2} \mathrm{c}_{1}^{2}-4 m \mathrm{mga} A_{3}^{2}\left(1+\frac{a}{r}\right)^{2}\left(A_{1}+m(r+a)^{2}\right)>0 \quad(<0) .
\]

Таким образом, неравенство (3.14) представляет собой условие устойчивости перманентных вращений шара с наивысшим расположением центра масс.

При произвольных значениях постоянных интегралов Желле и Чаплыгина система уравнений (3.1)-(3.4) имеет также двухпараметрическое семейство решений
$\omega_{1}=\omega \gamma_{1}, \omega_{2}=\omega \gamma_{2}, \omega_{3}=\omega \cos \theta+\Omega, \gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}=1-\gamma_{3}^{2}=\sin ^{2} \theta, \gamma_{3}=\cos \theta$,
где постоянные $\omega$ и $\Omega$ находятся из системы уравнений
\[
A_{1} \omega \sin ^{2} \theta+A_{3}\left(\cos \theta-\frac{a}{r}\right)(\omega \cos \theta+\Omega)=\mathrm{c}_{1} ; \quad I_{\theta}(\omega \cos \theta+\Omega)=\mathrm{c}_{2},
\]

а угол $\theta-$ из уравнения
\[
d W(\theta) / d \theta=0 .
\]

Здесь введены следующие обозначения:
\[
\begin{array}{c}
W(\theta)=\left.W_{\mathrm{c}_{1}, \mathrm{c}_{2}}\left(\gamma_{3}\right)\right|_{\gamma_{3}=\cos \theta}=\frac{\left(I_{\theta} \mathrm{c}_{1}-A_{3}\left(\cos \theta-\frac{a}{r}\right) \mathrm{c}_{2}\right)^{2}}{2 A_{1}^{2} A_{3} \sin ^{2} \theta}-m \operatorname{g} a \cos \theta, \\
I_{\theta}=\left.I\right|_{\gamma_{3}=\cos \theta}=\left[A_{1} A_{3}+m r^{2} A_{1} \sin ^{2} \theta+m r^{2} A_{3}(\cos \theta-a / r)^{2}\right]^{\frac{1}{2}} .
\end{array}
\]

Решениям уравнения (3.16) отвечают параллели $P_{\theta}=\left(\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}=\sin ^{2} \theta\right.$, $\gamma_{3}=\cos \theta$ ) сферы Пуассона, а решениям (3.15) – регулярные прецессии шара: шар вращается с постоянной угловой скоростью $\Omega$ вокруг оси динамической симметрии, которая, в свою очередь, вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикали; при этом угол между осью динамической симметрии и вертикалью постоянно равен $\theta=\arccos \gamma_{3}$. Точки минимума (максимума) эффективного потенциала $W(\theta)$ соответствуют устойчивым (неустойчивым) регулярным прецессиям шара.

3.5. Исследование регулярных прецессий шара. Уравнение (3.16) в явном виде записывается следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
\frac{m \mathrm{~g} a}{\sin ^{3} \theta} F(\theta)=0, \\
F(\theta)=\left(x_{1}\left(\cos \theta-x_{3}\right) \mathrm{p}_{2}-\tilde{I}_{\theta} \mathrm{p}_{1}\right) \times \\
\times\left(\left(1-x_{3} \cos \theta\right) \mathrm{p}_{2}-\frac{\cos \theta+x_{2}\left(\cos \theta-x_{3}\right)\left(1-x_{3} \cos \theta\right)}{\tilde{I}_{\theta}} \mathrm{p}_{1}\right)-\sin ^{4} \theta, \\
\tilde{I}_{\theta}=I_{\theta} / A_{1}=\left[x_{1}+x_{2} \sin ^{2} \theta+x_{1} x_{2}\left(\cos \theta-x_{3}\right)^{2}\right]^{1 / 2} .
\end{array}
\]

Здесь введены следующие обозначения:
\[
x_{1}=A_{3} / A_{1} \in(0,2), \quad x_{2}=m r^{2} / A_{1}, \quad x_{3}=a / r \in(0,1)-
\]

безразмерные параметры;
\[
\mathrm{p}_{1}=\mathrm{c}_{1} / \sqrt{m \mathrm{~g} a A_{1}}, \quad \mathrm{p}_{2}=\mathrm{c}_{2} / \sqrt{m \mathrm{gaA} A_{1}}
\]
– безразмерные постоянные интегралов.

Уравнение
\[
F(\theta)=0
\]

представляет собой условие существования регулярных прецессий шара вида (3.16). Данное уравнение детально рассматривалось в работе [24]. Приведем здесь некоторые его свойства.

Очевидно, что при каждом фиксированном $\theta$ уравнение (3.18) задает некоторую кривую второго порядка. Анализ ее инвариантов показывает, что при любом $\theta
eq \pi k$ (где $k$ – целое число) эта кривая представляет собой гиперболу, а при $\theta=\pi k-$ прямую. В зависимости от того, является ли $k$ четным или нечетным, эта прямая соответствует одному из однопараметрических решений системы (3.10), (3.3), которые, в свою очередь, отвечают перманентным вращениям шара вокруг оси динамической симметрии (с наинизшим расположением центра масс при $k=0$ и $k-$ четном и с наивысшим расположением цен-

Рис. 1 тра масс при $k$ – нечетном).

Кроме того, в работе [24] с помощью компьютерной программы MAPLE V Release 5.1 в пространстве переменных $\mathrm{p}_{1}, \mathrm{p}_{2}$ и $\theta$ была построена поверхность, задаваемая уравнением (3.18) при фиксированных значениях параметров $x_{1}, x_{2}$ и $x_{3}$, а также некоторые характерные сечения этой поверхности плоскостями $\mathrm{p}_{2}=l \mathrm{p}_{1}$, где постоянная $l$ может принимать различные значения. На рис. 1 при $x_{1}=1.5, x_{2}=5, x_{3}=0.9$ представлено сечение данной поверхности плоскостью
\[
\mathrm{p}_{2}=-\frac{\left[x_{1}+x_{1} x_{2}\left(1+x_{3}\right)^{2}\right]^{1 / 2}}{x_{1}\left(1+x_{3}\right)} \mathrm{p}_{1} .
\]

Прямая, полученная в этом сечении, соответствует перманентным вращениям шара вокруг оси динамической симметрии при наивысшем расположении центра масс. Видно, как от этой прямой ответвляются устойчивые регулярные прецессии шара.