3.1. Случай $(M, \gamma)=0$

Рассмотрим случай нулевой константы площадей $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=0$. Бифуркационные кривые при $\mathrm{C}=0$ находятся из условия кратности корней полинома $R(q)(2.17)$. В результате на плоскости $(h, n)$ получаем три прямые
\[
p_{i}: \quad h=\frac{n}{I_{i}+D}, \quad i=1,2,3 .
\]

Область возможных движений заключена между прямыми $p_{1}$ и $p_{3}$ (рис. 1).

Рис. 1. Бифуркационная диаграмма при $I_{1}=1, I_{2}=1.5, I_{3}=3, D=1, C=0$
Бифуркационная диаграмма в данном случае совпадает с бифуркационной диаграммой задачи Эйлера – Пуансо [3], только вместо моментов инерции $I_{i}$ относительно центра масс берутся моменты инерции $I_{i}+D$ относительно точки контакта.

3.2. Случай $(M, \gamma)
eq 0$

Сначала отметим, что для реальных движений всегда выполняется соотношение $n \geqslant C^{2}$, поэтому на бифуркационной диаграмме всегда будет присутствовать ограничивающая прямая $n=C^{2}$. Так как этот

случай при помощи замены (2.29) сводится к случаю нулевой константы площадей, то в преобразованных переменных бифуркационные прямые будут иметь вид (3.1), то есть
\[
h_{1}=\frac{n_{1}}{I_{i}^{\prime}+D^{\prime}} .
\]

Чтобы получить бифуркационные кривые в исходных переменных, достаточно сделать обратное преобразование координат $M_{i}^{\prime}, \gamma_{i}^{\prime} \rightarrow M_{i}, \gamma_{i}$. При замене (2.29) изменяются как моменты инерции относительно центра масс $I_{i}$, так и параметр неголономности $D$, однако моменты инерции относительно точки контакта остаются неизменными $J_{i}=I_{i}+D=I_{i}^{\prime}+$ $+D^{\prime}=J_{i}^{\prime}$.
Из $(2.33)$ находим
\[
\frac{h_{1}}{n_{1}}=\frac{(f-C) h}{f(n-C)}=\frac{1}{J_{i}}, \quad i=1,2,3 .
\]

Подставляя сюда выражение для $f$ из (2.32), окончательно получаем бифуркационные кривые
\[
p_{i}: \quad h=\frac{1}{J_{i}}\left(n+\frac{D C^{2}}{I_{i}}\right) .
\]

Область возможных движений снова заключена между $p_{1}$ и $p_{3}$, а также ограничена слева прямой $n=C^{2}$.

На рис. 2а изображена бифуркационная диаграмма при $C
eq 0$ и периодические решения на сечении Пуанкаре в переменных АндуайеДепри, соответствующие точкам на ветвях бифуркационной диаграммы (см. например [2]). Эти периодические решения представляют собой вращения при которых $\boldsymbol{\omega}$ параллельна одной из главных осей. Так, точкам на ветви $p_{1}$ соответствуют периодические решения
\[
\boldsymbol{\omega}=\left(\omega_{1}, 0,0\right), \quad \gamma=\left(\gamma_{1}, \sqrt{1-\gamma_{1}^{2}} \cos \left(\omega_{1} t\right), \sqrt{1-\gamma_{1}^{2}} \sin \left(\omega_{1} t\right)\right),
\]

где $\gamma_{1}$ и $\omega_{1}$ выражаются через интегралы
\[
\omega_{1}^{2}=\frac{2 I_{1}^{2} h+D C^{2}}{J_{1} I_{1}^{2}}, \quad \gamma_{1}^{2}=\frac{J_{1} C^{2}}{2 I_{1}^{2} h+D C^{2}} .
\]

В абсолютном пространстве такие движения представляют собой вращение шара вокруг одной из главных осей. При этом данная ось сохраняет

постоянное положение в пространстве, а след точки контакта на плоскости представляет собой прямую (рис. 2b).

Как видно из бифуркационной диаграммы, ветвям $p_{1}$ и $p_{3}$ соответствует устойчивое вращение относительно наименьшей и наибольшей осей соответственно. Ветви $p_{2}$ соответствуют неустойчивые вращения вокруг средней оси. Кроме того ей также соответствуют сепаратрисные движения, соединяющие два периодических решения с противоположными направлениями $\boldsymbol{\omega}$.

Вернемся к случаю $C=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=0$. Выберем орт оси $x \boldsymbol{\alpha}$ параллельным вектору кинетического момента $\boldsymbol{M}$. Второе уравнение системы (2.4) при этом принимает вид
\[
\dot{y}=-\left(\frac{\boldsymbol{M}}{\sqrt{n}}, \boldsymbol{\omega}\right)=-\frac{2 h}{\sqrt{n}}=\text { const. }
\]

Таким образом центр масс шара и точка контакта равномерно движутся вдоль направления перпендикулярного вектору кинетического момента. При этом в направлении ему параллельном движение шара в общем случае представляет собой некоторую комбинацию поступательного и периодического колебательного движений. Указанное свойство движения шара впервые привел С.А.Чаплыгин в своей работе [12].

В случае $C=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})
eq 0$ используя замену (2.29) можно показать, что движение шара теперь уже в обоих направлениях будет представлять собой комбинацию поступательного и периодического колебательного движений. Явное выражение для точки контакта было получено C.A.Чаплыгиным в его работе [12]. Однако ввиду сложности выражений, представляющих собой интегралы рациональных выражений от тэта-функций, аналитическое исследование движения точки контакта по плоскости провести невозможно. На рис. 3 представлены траектории точки контакта для различных точек на бифуркационной диаграмме, полученные численно. Особенный интерес представляет собой сепаратрисное движение, приведенное на рис. 3 d, при котором вектор угловой скорости $\boldsymbol{\omega}$ переворачивается и принимает положение, противоположное исходному. Ввиду сложности точного попадания на сепаратрису и ошибок счета при численном интегрировании, на рисунке видны несколько таких «переворотов». Как видно из рисунков, и как следует из вышесказанного, общей ситуацией для рассмотренных случаев является неограниченность движения точки контакта.

ЗАМЕЧАНИЕ. В отличие от шара, в случае качение диска по плоскости (см. статью 9 настоящего сборника) складывается обратная ситуация. Т.е. типичным является ограниченное движение диска и точки контакта, а все случаи неограниченного движения связаны с резонансом частот вращения диска.

3.3. Случай $M \| \gamma$

Рассмотрим теперь подробнее случай $\boldsymbol{M} \| \boldsymbol{\gamma}$, когда замена (2.29) не действительна, а траектории точки контакта представляют наибольший интерес.

Данному случаю на бифуркационной диаграмме соответствует отрезок вертикальной прямой $n=C^{2}$, ограниченный ветвями $p_{1}$ и $p_{3}$ диаграммы (рис. 2). Точкам пересечения прямой $n=C^{2}$ с ветвями $p_{1}, p_{2}$ и $p_{3}\left(h=h_{1}^{*}, h_{2}^{*}, h_{3}^{*}\right)$ соответствуют вращения вокруг главных осей, причем такие, что точка контакта остается на месте. Исключение составляет точка пересечения со второй ветвью, которой, кроме того, соответствует сепаратрисное движение. Рассмотрим этот случай более подробно. Точке $\left(C^{2}, h_{2}^{*}\right)$ на диаграмме соответствует два периодических решения, являющихся вращениями вокруг средней оси в разные стороны. Эти два решения соединены семейством двоякопериодических траекторий (см. например [6]) во время движения по которым происходит переворот шара. Выбрав решения уравнений (2.4) из этого семейства так чтобы они удовлетворяли условию ортогональности, получим:
\[
\begin{array}{c}
\gamma=\left(\frac{a_{32}}{a_{31}} \frac{1}{\operatorname{ch} \lambda t},-\operatorname{th} \lambda t, \frac{a_{21}}{a_{31}} \frac{1}{\operatorname{ch} \lambda t}\right), \\
\boldsymbol{\alpha}-\left(\frac{a_{32}}{a_{31}} \operatorname{th} \lambda t \cos
u t+\frac{a_{21}}{a_{31}} \sin
u t, \frac{\cos
u t}{\operatorname{ch} \lambda t}, \frac{a_{21}}{a_{31}} \operatorname{th} \lambda t \cos
u t-\frac{a_{32}}{a_{31}} \sin
u t\right), \\
\boldsymbol{\beta}=\left(\frac{a_{32}}{a_{31}} \operatorname{th} \lambda t \sin
u t-\frac{a_{21}}{a_{31}} \cos
u t, \frac{\sin
u t}{\operatorname{ch} \lambda t}, \frac{a_{21}}{a_{31}} \operatorname{th} \lambda t \sin
u t+\frac{a_{32}}{a_{31}} \cos
u t\right),
\end{array}
\]

где
\[
a_{i j}=\sqrt{\frac{1}{J_{i}}-\frac{1}{J_{j}}},
u=\frac{C}{I_{2}}, \lambda=C \frac{J_{2}}{I_{2}} a_{32} a_{21} .
\]

Подставляя (3.4) в (2.4), получим для точки контакта
\[
\dot{x}=\lambda \frac{\cos
u t}{\operatorname{ch} \lambda t}, \quad \dot{y}=\lambda \frac{\sin
u t}{\operatorname{ch} \lambda t} .
\]

Считая, что при $t \rightarrow-\infty$ точка контакта находилась в начале координат, получим
\[
x(t)=\lambda \int_{-\infty}^{t} \frac{\cos
u \tau}{\operatorname{ch} \lambda \tau} d \tau, \quad y(t)=\lambda \int_{-\infty}^{t} \frac{\sin
u \tau}{\operatorname{ch} \lambda \tau} d \tau .
\]

Рис. 4. Двоякоасимптотические траектории точки контакта на плоскости при $M \| \gamma$ и $h=h_{2}^{*}$ : a) $I_{1}=1, I_{2}=1.5, I_{3}=2, C=1-\Delta=0.002858$; b) $I_{1}=$ $=1, I_{2}=3, I_{3}=5, C=1-\Delta=0.411829$

След точки контакта при таком движении для разных наборов моментов инерции приведен на рис. 4. Устремляя $t \rightarrow \infty$ в (3.6) получим
\[
x(\infty)=\lambda \int_{-\infty}^{\infty} \cos
u \tau d \tau, \quad y(\infty)=0 .
\]

Таким образом, переворот оси вращения происходит со смещением центра масс шара на величину $\Delta=x(\infty)$ или, если $\lambda
eq 0$
\[
\Delta=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos \frac{
u}{\lambda} t}{\operatorname{ch} t} d t .
\]

Величина сдвига зависит только от комбинации $\frac{
u}{\lambda}=\frac{1}{J_{2} a_{21} a_{32}}$, т.е. только от динамических характеристик тела и не зависит от рассматриваемого уровня интегралов. График зависимости $\Delta\left(\frac{
u}{\lambda}\right)$ приведен на рисунке 5 . Как мы увидим далее величина $\Delta\left(\frac{
u}{\lambda}\right)$ имеет важное значение для понимания геометрии траектории точки контакта вблизи точки $\left(h_{2}^{*}, C^{2}\right)$ на диаграмме.

ЗАМЕЧАНИЕ. При движении точки контакта по сфере угол пересечения ее траектории с меридианами постоянен вдоль всей траектории. Данное свойство

Рис. 5.

движения легко получить из уравнений движения (2.1) и приведенного гиперболического решения (3.4). Таким образом, точка контакта на сфере при $h=h_{2}^{*}$ движется по локсодроме.

Рассмотрим теперь снова всю прямую $n=C^{2}$. Как уже было указано выше, уравнения движения в данном случае принимают форму уравнений Эйлера. Решения уравнений движения для $\boldsymbol{M}$ и $\gamma$ при этом выражаются в эллиптических функциях. Таким образом, в системе, жестко связанной с телом, точка контакта движется по замкнутым траекториям. В абсолютном пространстве след точки контакта на плоскости уже не является замкнутым и представляет собой достаточно сложные кривые. Для различных наборов моментов инерции уровней энергии эти кривые приведены на рис. 6.

Как видно на рисунке, практически все кривые, за исключением критических, являются ограниченными.

Двигаясь по прямой $\boldsymbol{M}^{2}=C^{2}$ от $h=h_{1}^{*}$ до $h=h_{3}^{*}$ траектория точки контакта претерпевает несколько бифуркаций. Вблизи точки $h=h_{1}^{*}$ траектории представляют собой квазипериодические кривые, радиус огибающих которых стремится к нулю при приближении к критическому значению $h$ (рис. 6а). Вблизи $h=h_{3}^{*}$ траектории в зависимости от параметров, либо ведут себя аналогичным образом, либо радиус огибающих бесконечно растет при приближении к $h=h_{3}^{*}$. Однако при этом разница между радиусами огибающих и скорость дрейфа вдоль огибающих стремится к нулю (рис. 6b). Таким образом в пределе шар, как и в предыдущем случае, вращается на одном месте, а траектория точки контакта вырождается в точку. Наибольший интерес при движении по рассмат-

Рис. 6. Траектории точки контакта на плоскости при $\boldsymbol{M} \| \boldsymbol{\gamma} \boldsymbol{C}=1$ для различных значений моментов инерции и энергии. $I_{1}=1, I_{2}=3, I_{3}=5, C=1$ : a) $h=0.4993$; b) $h=0.1002$; c) $h=0.1674$; d) $h=0.16667$; f) $h=0.180278$. $I_{1}=1, I_{2}=1.5, I_{3}=2, C=1$ : e) $h=0.33335$.

риваемой прямой $n=C^{2}$ на бифуркационной плоскости представляет окрестность точки $h=h_{2}^{*}$. В само́й точке, кривая представляет собой два отрезка спирали со смещенными на величину $\Delta$ центрами (рис. 4). Вблизи указанного значения $H$ число витков спиралей становится конечным, и весь отрезок траектории между двумя касаниями внешней огибающей начинает квазипериодически вращаться вокруг некоторого центра (рис. 6 с, d). При этом радиус по которому движется центр спи-

ралей стремится к $\frac{\Delta}{2}$ при $h \rightarrow h_{2}^{*}$. Заметим, что в зависимости от величины $\Delta$ и других параметров системы, центр огибающих может лежать как внутри спирали, так и вне неє (рис. $6 \mathrm{~d}$, е). По мере удаления от критического значения $h$ число витков спирали уменьшается и становится равным единице.

Отметим также, что при определенных параметрах системы (в частности при больших $\Delta$ ) существует некоторое критическое значение энергии, при котором движение точки контакта становится инфинитным (рис. 6 f).