Известно, что система дифференциальных уравнений на двумерном торе $\mathbb{T}^{2}$, обладающая инвариантной мерой с гладкой положительной плотностью, в некоторых координатах $x \bmod 2 \pi, y \bmod 2 \pi$ приводится к виду
\[
\dot{x}=\frac{\lambda}{\Phi(x, y)}, \quad \dot{y}=\frac{\mu}{\Phi(x, y)},
\]

где $\lambda, \mu=$ const, $\lambda^{2}+\mu^{2}
eq 0$, а $\Phi(x, y)$ — гладкая функция, $2 \pi$-периодическая по $x, y$.

Уравнения (1) имеют инвариантную меру $\iint \Phi(x, y) d x d y$, усредняя правые части по которой, получим дифференциальные уравнения
\[
\dot{u}=\frac{\lambda}{
u}, \quad \dot{v}=\frac{\mu}{
u}, \quad
u=\frac{1}{4 \pi^{2}} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \Phi(x, y) d x d y .
\]

Из результатов Колмогорова [I] следует, что если $\Phi: \mathbb{T}^{2} \rightarrow \mathbb{R}-$ гладкая (аналитическая) функция, то почти для всех чисел вращения $\omega=\frac{\lambda}{\mu}$, удовлетворяющих условию сильной несоизмеримости, система (1) при помощи гладкой (аналитической) замены переменных $x, y \rightarrow u, v$ приводится к виду (2). Напомним условие сильной несоизмеримости: существуют такие $a>0, h>0$, что при любых целых $m>0$ и $n>0$ справедливо неравенство $|m-n \omega| \geqslant a h^{n}$.

При резонансном (т. е. рациональном) $\omega=\frac{p}{q}, p, q \in \mathbb{Z}$, тор $\mathbb{T}^{2}$ расслоен на семейство замкнутых периодических орбит, и условие приводимости (от (1) к (2)) эквивалентно равенству периодов обращения по различным замкнутым траекториям. В случае различных периодов для разных траекторий на резонансном торе система (1) обладает свойством перемешивания [6]. Применим приведенные соображения к исследованию одной неголономной задачи.