1. Уравнения движения и интегралы. Рассмотрим задачу о качении уравновешенного динамически несимметричного шара по горизонтальной шероховатой плоскости (скорость точки контакта равна нулю) в потенциальном поле сил. Движение шара в проекциях на главные оси, связанные с шаром, описывается системой
\[
\begin{array}{l}
\dot{\boldsymbol{M}}=\boldsymbol{M} \times \boldsymbol{\omega}+\boldsymbol{\gamma} \times \frac{\partial V}{\partial \gamma}, \quad \dot{\boldsymbol{\gamma}}=\boldsymbol{\gamma} \times \boldsymbol{\omega}, \\
\boldsymbol{M}=\mathbf{I}_{0} \boldsymbol{\omega}+D \boldsymbol{\gamma} \times(\boldsymbol{\omega} \times \gamma), \quad D=m a^{2},
\end{array}
\]

где $\boldsymbol{\omega}-$ вектор угловой скорости, $\gamma$ — орт вертикали, $\mathbf{I}_{0}=\operatorname{diag}\left(I_{1}^{0}, I_{2}^{0}, I_{3}^{0}\right)$ — тензор инерции шара относительно его центра, $m$ — масса шара, $a$ его радиус. Вектор $\boldsymbol{M}$ имеет смысл кинетического момента шара относительно точки контакта. При $V=0$ как показал С. А. Чаплыгин в [1] уравнения (1) обладают интегрирующим множителем
\[
\begin{array}{l}
\rho=\mu^{-1}= \frac{1}{\sqrt{1-D\left(\boldsymbol{\gamma},\left(\mathbf{I}_{0}+D \mathbf{E}\right)^{-1} \boldsymbol{\gamma}\right)}}=\frac{1}{\sqrt{1-D(\boldsymbol{\gamma}, \mathbf{A} \boldsymbol{\gamma})}}, \\
\mathbf{A I}^{-1}=\left(\mathbf{I}_{0}+D \mathbf{E}\right)^{-1}, \quad \mathbf{E}=\left\|\delta_{i j}\right\|
\end{array}
\]

и четырьмя независимыми интегралами
\[
F_{1}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega}), \quad F_{2}=(\boldsymbol{M}, \gamma), \quad F_{3}=(\gamma, \gamma)=1, \quad F_{4}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{M}),
\]

что позволяет проинтегрировать систему по теореме Эйлера-Якоби. В работе [1] выполнено также интегрирование системы (1) в гиперэллиптических функциях.

В работе [2] показано, что задача остается интегрируемой при добавлении поля сил задачи Бруна $V=\frac{k}{2}(\mathbf{I} \gamma, \gamma)$, причем интегралы $F_{1}, F_{4}$ несколько модифицируются
\[
F_{1}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega})+k(\mathbf{I} \gamma, \gamma), \quad F_{4}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})-(\mathbf{C} \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\gamma})
\]

где $\mathbf{C}=\operatorname{diag}\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right), c_{i}=k \varepsilon_{i j k}\left(I_{j}+D\right)\left(I_{k}+D\right), i, j, k=1,2,3$.

2. Аналогия с задачей Якоби. Уравнения (1) при $V=0$ можно представить в угловых скоростях
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{I} \dot{\boldsymbol{\omega}}=\mathbf{I} \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\omega}+D \gamma \frac{\left(\mathbf{I} \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\omega}, \mathbf{I}^{-1} \gamma\right)}{F}, \\
\dot{\gamma}=\gamma \times \boldsymbol{\omega}, \quad \mathbf{I}=\mathbf{I}_{0}+D \mathbf{E} .
\end{array}
\]

На нулевом уровне интеграла площадей $\left(\mathbf{I}_{0} \boldsymbol{\omega}, \gamma\right)=0$ они имеют интегралы в форме
\[
(\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\omega})-D(\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\gamma})^{2}=2 h, \quad(\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}, \mathbf{I} \boldsymbol{\omega})-D^{2}(\boldsymbol{\omega}, \gamma)^{2}=n, \quad(\boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\gamma})=1 .
\]

Наше наблюдение состоит в том, что после замены
\[
\widetilde{\boldsymbol{M}}=\mu \mathbf{I}_{0} \boldsymbol{\omega}, \quad \mu^{2}=1-\left(\mathbf{I}^{-1} \gamma, \gamma\right)=\left(\gamma, \mathbf{I I}_{0}^{-1} \gamma\right)
\]

интегралы (4) перейдут интегралы задачи Якоби о геодезических на двумерном эллипсоиде, которую можно представить на алгебре $e(3)-$ в переменных $\widetilde{\boldsymbol{M}}, \gamma[3]$. Прямым вычислением несложно показать, что с использованием переменных $\widetilde{\boldsymbol{M}}, \gamma$ интегралы при условии $\left(\mathbf{I}_{0} \boldsymbol{\omega}, \gamma\right)=$ $=(\widetilde{\boldsymbol{M}}, \gamma)=0$ могут быть преобразованы в следующие
\[
H=n-2 h D=\frac{(\widetilde{\mathbf{J}}, \widetilde{\boldsymbol{M}})}{\left(\gamma, \mathbf{J}^{-1} \gamma\right)}, \quad K=n=\frac{(\widetilde{\mathbf{J}} \times \gamma)^{2}}{\left(\gamma, \mathbf{J}^{-1} \gamma\right)}, \quad \mathbf{J}=\mathbf{I I}_{0}^{-1}
\]

где $H$ и $K$ представляют собой соответственно гамильтониан и интеграл Иоахимсталя задачи Якоби. Таким образом, на нулевом уровне интеграла площадей задача Чаплыгина и задача Якоби имеют одни и те же инвариантные торы.

3. Нелинейная скобка, изоморфизм с системой Брадена. Уравнения (1) оказываются гамильтоноеыми после замены времени
\[
d t \rightarrow \frac{1}{\rho} d t,
\]

где $\rho$ определено соотношением (2) Действительно, путем достаточно длинных вычислений, можно проверить, что уравнения (1) в новом времени можно записать в гамильтоновом виде с нелинейной скобкой Пуассона
\[
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} \rho\left(M_{k}-g \gamma_{k}\right), \quad\left\{M_{i}, \gamma_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} \rho \gamma_{k}, \quad\left\{\gamma_{i}, \gamma_{j}\right\}=0
\]

и гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})+\frac{1}{2} g(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})+V(\gamma) .
\]

При этом, как обычно $\boldsymbol{\omega}=\frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}}, g=D(\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\gamma})=\frac{D(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})}{1-D(\mathbf{A} \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\gamma})}$.
Отметим, что пуассонова структура (1) не связана с интегрируемостью шара Чаплыгина или его обобщений, она имеется при произвольном потенциале $V(\gamma)$.

Скобка (1) является вырожденной и обладает функциями Казимира $F_{1}=(\gamma, \gamma), F_{2}=(\boldsymbol{M}, \gamma)$. После замены переменных $\boldsymbol{M} \rightarrow \rho \boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma} \rightarrow \boldsymbol{\gamma}$ скобку (1), гамильтониан (2) и функции Казимира можно представить в виде
\[
\begin{array}{c}
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k}\left(M_{k}-D \frac{(\boldsymbol{M}, \gamma)}{\rho^{2}} a_{k} \gamma_{k}\right), \\
\left\{M_{i}, \gamma_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} \gamma_{k}, \quad\left\{\gamma_{i}, \gamma_{j}\right\}=0, \\
H=\frac{1}{2}(1-D(\mathbf{A} \gamma, \gamma))(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})+\frac{1}{2} D(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \gamma)^{2}+V(\gamma), \\
F_{1}=(\gamma, \gamma), \quad F_{2}=\rho(\boldsymbol{M}, \gamma)
\end{array}
\]

Для более подробного исследования структуры нелинейной скобки (3) вычислим «монополь» [4], то есть интеграл $\int \omega$ по приведенной двумерной сфере, аналогичной сфеје Пуассона, где $\boldsymbol{\omega}-2$-форма гироскопических сил, соответствующая структуре (3)
Действительно, уровень функций Казимира
\[
(\gamma, \gamma)=1, \quad \rho(\boldsymbol{M}, \gamma)=c
\]

приводится при помощи преобразования
\[
\sigma=M-\frac{c}{\rho} \gamma
\]

к кокасательному расслоению двумерной сферы
\[
(\gamma, \gamma)=1, \quad(\sigma, \gamma)=0 .
\]

Параметризуем многообразие (6) координатами, которые в классической динамике твердого тела соответствуют углам Эйлера $\theta, \varphi$ на сфере Пуассона и соответствующим им (для структуры $e(3)$ ) каноническими импульсами $p_{\theta}, p_{\varphi}$ :
\[
\begin{array}{c}
\gamma_{1}=\sin \theta \sin \varphi, \quad \gamma_{2}=\sin \theta \cos \varphi, \quad \gamma_{3}=\cos \theta, \\
\sigma_{1}=-\operatorname{ctg} \theta \sin \varphi p_{\varphi}+\cos \varphi p_{\theta}, \sigma_{2}=-\operatorname{ctg} \theta \cos \varphi p_{\varphi}-\sin \varphi p_{\theta}, \sigma_{3}=p_{\varphi} .
\end{array}
\]

Выражая из (7) на уровне (4) компоненты $\varphi, \theta, p_{\varphi}, p_{\theta}$ через $\boldsymbol{M}, \gamma$ и применяя коммутационные соотношения (3), получим
\[
\begin{array}{c}
\{\theta, \varphi\}=\left\{p_{\varphi}, \theta\right\}=\left\{p_{\theta}, \varphi\right\}=0, \\
\left\{p_{\theta}, \theta\right\}=\left\{p_{\varphi}, \varphi\right\}=1, \quad\left\{p_{\varphi}, p_{\theta}\right\}=\frac{c \sin \theta}{\rho^{3}} .
\end{array}
\]

Интенсивность «монополя» задает интеграл
\[
Q=\int_{S^{2}} \frac{c \sin \theta}{\rho^{3}} d \theta d \varphi=\frac{2 \pi c}{\sqrt{\left(1-D a_{1}\right)\left(1-D a_{2}\right)\left(1-D a_{3}\right)}},
\]

то есть как и в классической динамике твердого тела [4] неустранимое магнитное поле $(Q
eq 0)$ возникает при ненулевой постоянной площадей.

При $c=0$ структура (3) сводится к линейной структуре, определяемой алгеброй $e(3)$. Дополнительный интеграл $F_{4}$ уравнений (1) при потенциале Бруна $V=\frac{\varepsilon}{2}(\mathbf{I} \gamma, \gamma)$ может быть представлен в новых переменных $(\boldsymbol{M}, \gamma)$ в виде
\[
\begin{array}{c}
F_{4}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})(1-D(\boldsymbol{\gamma}, \mathbf{A} \boldsymbol{\gamma}))-\frac{\varepsilon}{\operatorname{det} \mathbf{A}}(\gamma, \mathbf{A} \boldsymbol{\gamma}), \\
\mathbf{A}=\operatorname{diag}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right),
\end{array}
\]

или
\[
\begin{array}{c}
F_{4}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})\left(\boldsymbol{\gamma}, \mathbf{A}^{*} \boldsymbol{\gamma}\right)+\frac{\varepsilon D^{2}}{\left(1-a_{1}^{*}\right)\left(1-a_{2}^{*}\right)\left(1-a_{3}^{*}\right)}\left(\gamma, \mathbf{A}^{*} \boldsymbol{\gamma}\right), \\
\mathbf{A}=\operatorname{diag}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \quad \mathbf{A}^{*}=\mathbf{E}-D \mathbf{A} .
\end{array}
\]

На уровне $F_{4}=c_{4}$ система (11) эквивалентна следующей
\[
H^{*}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})+\frac{c}{\left(\gamma, \mathbf{A}^{*} \gamma\right)}, \quad c=\text { const. }
\]

Именно такой гамильтониан возник в работе Брадена [5] в связи с изучением потенциалов на двумерной сфере, допускающих разделение переменных. Более общие результаты о рациональных потенциалах на сфере, допускающих разделение переменных, содержится в [6].

Отметим, что разделяющие переменные для системы (1) при $V=0$, указанные в [5], совпадают с разделяющими переменными, исследованными в работе [1], что делает преобразования в неголономной системе более естественными — сводит их к обычному методу Гамильтона — Якоби.

Вопрос о гамильтоновости уравнений (1) без дополнительной замены времени поставлен в [2] и до сих пор не является решенным ${ }^{1}$. Он связан с приводимостью динамической системы с интегральным инвариантом на торе к квазипериодическому потоку [3].