В этом приложении мы подробно рассмотрим одно обратимое точечное отображение плоскости $\mathbb{R}^{2}$ в себя, которое не сохраняет площадь, но тем не менее является обратимым. Как мы видели, подобные отображения могут демонстрировать эффекты неголономных систем. Действительно, в неголономных системах типа кельтского камня, на уровне интеграла энергии возникают трехмерные отображения, не сохраняющие меру, но являющиеся обратимыми. Рассматриваемое отображение было предложено Г. Квиспелом и Дж. Робертсом [1] для демонстрации свойств сохранения и разрушения KAM-торов, а также возникновения различных аттракторов. Рассматриваемое отображение $(x, y) \rightarrow\left(x_{1}, y_{1}\right)$ задается неявно следующей системой уравнений
\[
\begin{array}{c}
x_{1}=-y+y^{3}+x, \\
y_{1}^{3}-y^{3}-y_{1}^{2}-y^{2}+y_{1}-y+2 C x_{1}+2 x_{1}^{2}-2 x_{1}=0,
\end{array}
\]

здесь $C \in \mathbb{R}$ – параметр. Обращающая инволюция имеет вид
\[
\begin{array}{l}
x^{\prime}=-y+y^{3}+x, \\
y^{\prime}=-y .
\end{array}
\]

Покажем, что свойства рассматриваемого отображения в некоторых аспектах похожи на свойства отображений неголономных систем, то есть отображение (1) обладает как диссипативными, так и консервативным поведением.

Ввиду того, что отображение (1) задается достаточно простыми формулами, для него можно найти все неподвижные точки и расклассифицировать их. Положим в системе (1) $x_{1}=x=x_{*}$ и $y_{1}=y=y_{*}$ и разрешим ее относительно $x_{*}$ и $y_{*}$. В результате мы получим шесть неподвижных точек отображения:

Из этих шести точек первые две являются также неподвижными точками обращающей инволюции, следовательно согласно обобщению КАМтеоремы для обратимых систем, вблизи них должны существовать KAMторы (см. таблицу 1 и рис. 1).

Рассмотрим линеаризацию отображения (1) вблизи неподвижной точки. Выполнив замену
\[
\begin{array}{ll}
x_{1}=x_{*}+\xi_{1}, & x=x_{*}+\xi, \\
y_{1}=x_{*}+\eta_{1}, & y=x_{*}+\eta .
\end{array}
\]

и разрешив в первом порядке малости по $\xi$ и $\eta$ получившиеся уравнения относительно $\xi_{1}$ и $\eta_{1}$ получим явное представление линейной части отображения (1) вблизи неподвижной точки
\[
\left(\begin{array}{l}
\xi_{1} \\
\eta_{1}
\end{array}\right)=\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{l}
\xi \\
\eta
\end{array}\right)
\]

где
\[
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 3 y_{*}-1 \\
\frac{2\left(1-C-2 x_{*}\right)}{3 y_{*}^{2}-2 y_{*}+1} & \frac{3 y_{*}^{2}+2 y_{*}+1+2\left(1-C-2 x_{*}\right)\left(3 y_{*}-1\right)}{3 y_{*}^{2}-2 y_{*}+1}
\end{array}\right) .
\]

Характеристические показатели (собственные числа матрицы $\boldsymbol{A}$ ) определяют тип неподвижной точки и, следовательно, поведение вблизи нее. В таблице 1 приведены результаты анализа системы (3) вблизи всех шести неподвижных точек, иллюстрирующие эволюцию динамики системы при изменении параметра $C$.

Наибольший интерес представляет область параметров $C \in(-1,3)$, в которой система проявляет как гамильтоновы, так и диссипативные

Рис. 1. Фазовый портрет отображения (1) при двух значениях параметра $C$. Неподвижные точки на портрете пронумерованы в соответствии с таблицей 1 . Неподвижная точка 1 представляет собой центр, вблизи которого хорошо видна область регулярного движения заполненная инвариантными торами. Точки 3 и 5 являются фокусами неустойчивым и устойчивым соответственно. Вблизи остальных точек ввиду их неустойчивого гиперболического характера явной структуры отображения не видно. Иск.ючение составляют только направления ухода от неподвижных точек, вблизи которых проходят почти все траектории. Отличие от случая а) от b) заключается в том, что после прохождения параметром $C$ критического значения $C=1$, точки 1 и 2 взаимно меняют тип и относительное положение.

свойства. Как видно из таблицы 1, вблизи точек 1 и 2 поведение системы близко к гамильтонову. Действительно, на рисунках $2 \mathrm{a}$ и $2 \mathrm{~b}$, построенных при $C=-0.3$ и $C=1.7$ соответственно, видны инвариантные кривые вокруг этих точек. На этих же рисунках виден также скручивающий и притягивающий характер отображения вблизи притягивающего фокуса – точки 5.