Методика интегрирования неголономных механических систем, как правило, основана на теореме Эйлера — Якоби, по которой с помощью известных первых интегралов, система приводится к системе на торе вида [2]. Рассмотрим, например, уравнения качения неголономного шара Чаплыгина, имеющие вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{M}=M \times \omega, \quad \dot{\gamma}=\gamma \times \omega, \\
M=\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}+D \gamma \times(\boldsymbol{\omega} \times \gamma), \quad D=m a^{2},
\end{array}
\]

где I — тензор инерции шара относительно его центра, $m$ — масса шаpa, $a$ — его радиус. Уравнения (1) записаны в компонентах $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\gamma}$, соответственно, кинетического момента относительно точки контакта, угловой скорости и единичного век:ора вертикали. Уравнения (1) имеют инвариантную меру с плотностью
\[
\rho=(1-D(\mathbf{A} \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\gamma}))^{-\frac{1}{2}}, \quad \mathbf{A}=(\mathbf{I}+D \mathbf{E})^{-1}, \quad \mathbf{E}=\left\|\delta_{i}^{j}\right\|
\]

и четыре первых интеграла
\[
F_{1}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega}), \quad F_{2}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma}), \quad F_{3}=(\gamma, \gamma)=1, \quad F_{4}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{M}),
\]

которые обеспечивают интегрируемость системы (1) по теореме ЭйлераЯкоби и приводимость к виду (1). Явное приведение для системы (1) было выполнено В. В. Козловым [2] (см. также статью 8 настоящего сборника). Для этого можно воспользоваться сфероконическими координатами на сфере Пуассона
\[
\gamma_{i}^{2}=\frac{\left(a_{i}-\xi\right)\left(a_{i}-\eta\right)}{\left(a_{i}-a_{j}\right)\left(a_{i}-a_{k}\right)}, \quad i, j, k=1,2,3
\]

и на общем уровне интегралов (при условии $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=0$ ) уравнения приобретают вид (1) с функцией $\Phi(x, y)$ вида
\[
\Phi=\left[\xi^{-1}(x)-\eta^{-1}(y)\right] \sqrt{(\alpha-\xi(x))(\alpha-\eta(y))},
\]

где $\xi(x), \eta(y)-2 \pi$-периодические функции переменных $x, y$, получающиеся из обращения абелевых интегралов. Указанное в [2] приведение можно также выполнить, используя результат работы [3], согласно которому система (1) является гамильтоновой на уровне $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=0$ после замены времени $d \tau=\mu d t$, где $\mu$ определяется выражением (2). Действительно, после замены времени на неособых инвариантных двумерных торах гамильтоновой системы возможно ввести переменные «действие-угол», и угловые переменные как раз и совпадают с требуемыми $x, y$ из (1) [7].