Теория интегрирования уравнений движения механических систем с неголономными связями разработана не столь полно, как в случае голономных связей. Это обстоятельство имеет несколько причин. Во первых, уравнения неголономной механики имеют более сложную структуру, чем уравнения Лагранжа, описывающие динамику систем с интегрируемыми связями. В частности, неголономную систему нельзя охарактеризовать одной единственной функцией от ее состояния и времени (ср. с [1], гл. XXIV). Во-вторых, уравнения неголономной механики в общем случае не имеют инвариантной меры (простой пример указан в разд.5). Дело в том, что неголономные связи можно реализовать с помощью действия дополнительных сил вязкого анизотропного трения с большим коэффициентом вязкости [3]. Отсутствие инвариантной меры – характерное свойство систем с трением. Анизотропное трение в пределе совместимо с сохранением полной энергии. Однако на многообразиях уровней энергии могут возникать асимптотически устойчивые положения равновесия или предельные циклы (ср. [4]), что препятствует существованию дополнительных «регулярных» интегралов движения.

Наиболее распространенный способ интегрирования уравнений неголономной динамики основан на использовании имеющихся первых интегралов – «законов сохранения»: если группа Ли, действующая на

пространстве положений, сохраняет лагранжиан и порождающие ее векторы поля являются полями возможных скоростей, то уравнения движения имеют первый «векторный» интеграл – обобщенный интеграл кинетического момента [5],[6]. Этим способом решен ряд задач неголономной динамики, среди которых особо выделим задачу С. А. Чаплыгина о качении несимметричного шара по горизонтальной плоскости [5].

Попытки распространения метода Гамильтона – Якоби на системы с неголономными связями оказались неэффективными, как и попытки представить уравнения неголономной динамики в форме канонических уравнений Гамильтона. Оказалось, что с помощью обобщенного метода Гамильтона – Якоби можно найти в лучшем случае лишь частные решения уравнений движения. Эта работа содержит обстоятельный анализ этих вопросов.

Еще один общий подход к интегрированию неголономных уравнений основан на теории приводящего множителя С. А. Чаплыгина [5]: ищется замена времени (разная вдоль разных траекторий), с помощью которой уравнения движения приводятся к уравнениям Лагранжа или Гамильтона. Хотя такая замена может существовать лишь в исключительных случаях, с ее помощью решен ряд новых задач неголономной динамики (см. [5]). Отметим, что к гамильтонову виду уравнения движения иногда можно свести с помощью иных соображений (см. разд. 5).

Список точно решенных задач неголономной механики невелик: практически полная информация содержится в книгах [1],[5],[8]. В настоящей работе указаны некоторые новые интегрируемые задачи, рассмотрены особенности поведения траекторий неголономных систем в фазовом пространстве, а также предложены некоторые общие теоретические соображения, касающиеся методов интегрирования уравнений неголономной динамики.