Оказывается, что при качении уравновешенного эллипсоида, оси которого являются главными осями инерции, имеются случаи существования специфической инвариантной меры, определяемые ограничениями на отношения моментов инерции и полуосей эллипсоида поверхности. Эту меру нашла B. А. Ярощук в [29].

Для качения эллипсоида в п. 5 и 7 уже указаны два случая существования инвариантной меры. Здесь имеется в виду соответственно мера динамически несимметричного уравновешенного шара (2.2) и произвольного тела с шаровым центральным эллипсоидом инерции (2.2). Интересно, что пока не найдено препятствий (в отличие от кельтского камня [15]) к существованию аналитической инвариантной меры общей задачи о качении уравновешенного эллипсоида, главные оси которого являются главными осями инерции. Возможно, что эта мера существует (по крайней мере, в этой ситуации отсутствует асимптотическое поведение, типичное для кельтских камней), но является сложной и неалгебраической.

Для поверхности эллипсоида $\left(\boldsymbol{r}, \mathbf{B}^{-1} \boldsymbol{r}\right)=1$, где $\mathbf{B}=\operatorname{diag}\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)$, $b_{i}$ – квадраты больших полуосей, имеем явное выражение
\[
r=\frac{\mathbf{B} \gamma}{\sqrt{(\mathrm{B} \gamma, \gamma)}} .
\]

Если центральный тензор инерции имеет вид
\[
\mathbf{I}=\mu \mathbf{E}+\lambda m \mathbf{B},
\]

Рис. 7. Несколько траекторий в задаче о качении эллипсоида с шаровым тензором инерции по плоскости. Хорошо видны регулярные траектории, окружающие устойчивые периодические решения (перманентные вращения), которые, как сказано выше, в данном случае вырождены – заполняют некоторые кривые. Хаотический слой (который получен из одной траектории) в данном случае не ложится ни на какую поверхность.

то уравнения (1.1), (1.2) имеют меру только в случае $\lambda=0$ и $\lambda=1$ с плотностью (в переменных $\boldsymbol{M}, \gamma$ )
\[
\rho=\left(\mu+m \boldsymbol{r}^{2}\right)^{-1 / 2}=\left((\mu+m \mathbf{B}) \boldsymbol{r}, \mathbf{B}^{-1} \boldsymbol{r}\right)^{-1 / 2} .
\]

ЗАМЕЧАНИЕ. Для случая $\lambda=0$ мера (2.3) уже была указана в п. 7. Она определяется формулой (2.2) и имеется для любой поверхности тела. Различия в степенях выражений (2.3) и (2.2) связано с различными системами переменных $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})$ и $(\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\gamma})$ и соответствующими преобразованиями плотности инвариантной меры.

Отметим, что при выполнении равенства (2.2) уравнения движения обладают двупараметрическии семейством вертикальных перманентных вращений при произвольном вещественном $\lambda$ (в остальных случаях это семейство является однопараметрическим). Как показал А. В. Карапетян [14]), условия существования последних даже несколько шире и имеют вид
\[
\sum_{i j k} I_{i}\left(b_{i}-b_{k}\right)=0,
\]

где $\mathbf{I}=\operatorname{diag}\left(I_{1}, I_{2}, I_{3}\right)$. Кроме тензора (2.2) условиям (2.4) удовлетворяет случай неголономного шара Чаплыгина ( $b_{1}=b_{2}=b_{3}=R^{2}$ ), для которого существует как мера, так и интеграл (2.2), а также осесимметричная ситуация $I_{1}=I_{2}, b_{1}=b_{2}$. Неожиданно, что равенство (2.2) является также необходимым (но, вообще говоря, недостаточным) условием интегрируемости уравнений движения эллипсоида на идеально гладкой плоскости [8]. Интересно отметить, что при $\lambda
eq 0$ и $\lambda
eq 1$ мера не найдена, как не найдено и препятствий к ее существования. Трехмерное сечение в случае $\lambda=0$ приведено на рис. 7 .

Все описанные выше результаты, связанные с качением тела по плоскости представлены в таблице 1.