Оказывается, что при качении уравновешенного эллипсоида, оси которого являются главными осями инерции, имеются случаи существования специфической инвариантной меры, определяемые ограничениями на отношения моментов инерции и полуосей эллипсоида поверхности. Эту меру нашла B. А. Ярощук в [29].

Для качения эллипсоида в п. 5 и 7 уже указаны два случая существования инвариантной меры. Здесь имеется в виду соответственно мера динамически несимметричного уравновешенного шара (2.2) и произвольного тела с шаровым центральным эллипсоидом инерции (2.2). Интересно, что пока не найдено препятствий (в отличие от кельтского камня [15]) к существованию аналитической инвариантной меры общей задачи о качении уравновешенного эллипсоида, главные оси которого являются главными осями инерции. Возможно, что эта мера существует (по крайней мере, в этой ситуации отсутствует асимптотическое поведение, типичное для кельтских камней), но является сложной и неалгебраической.

Для поверхности эллипсоида $(\mathit{r},{\mathbf{B}}^{-1}\mathit{r})=1$, где $\mathbf{B}=\mathrm{diag}(b_1,b_2,b_3)$, $b_i$ — квадраты больших полуосей, имеем явное выражение
$$r=\frac{\mathbf{B}\gamma }{\sqrt{(\mathrm{B}\gamma ,\gamma )}}.$$

Если центральный тензор инерции имеет вид
$$\mathbf{I}=\mu \mathbf{E}+\lambda m\mathbf{B},$$

Рис. 7. Несколько траекторий в задаче о качении эллипсоида с шаровым тензором инерции по плоскости. Хорошо видны регулярные траектории, окружающие устойчивые периодические решения (перманентные вращения), которые, как сказано выше, в данном случае вырождены — заполняют некоторые кривые. Хаотический слой (который получен из одной траектории) в данном случае не ложится ни на какую поверхность.

то уравнения (1.1), (1.2) имеют меру только в случае $\lambda =0$ и $\lambda =1$ с плотностью (в переменных $\mathit{M},\gamma$ )
$$\rho ={(\mu +m{\mathit{r}}^2)}^{-1/2}={((\mu +m\mathbf{B})\mathit{r},{\mathbf{B}}^{-1}\mathit{r})}^{-1/2}.$$

ЗАМЕЧАНИЕ. Для случая $\lambda =0$ мера (2.3) уже была указана в п. 7. Она определяется формулой (2.2) и имеется для любой поверхности тела. Различия в степенях выражений (2.3) и (2.2) связано с различными системами переменных $(\mathit{M},\mathit{\gamma })$ и $(\mathit{\omega },\mathit{\gamma })$ и соответствующими преобразованиями плотности инвариантной меры.

Отметим, что при выполнении равенства (2.2) уравнения движения обладают двупараметрическии семейством вертикальных перманентных вращений при произвольном вещественном $\lambda$ (в остальных случаях это семейство является однопараметрическим). Как показал А. В. Карапетян [14]), условия существования последних даже несколько шире и имеют вид
$$\sum _{ijk}{I}_i(b_i-b_k)=0,$$

где $\mathbf{I}=\mathrm{diag}(I_1,I_2,I_3)$. Кроме тензора (2.2) условиям (2.4) удовлетворяет случай неголономного шара Чаплыгина ( $b_1=b_2=b_3=R^2$ ), для которого существует как мера, так и интеграл (2.2), а также осесимметричная ситуация $I_1=I_2,b_1=b_2$. Неожиданно, что равенство (2.2) является также необходимым (но, вообще говоря, недостаточным) условием интегрируемости уравнений движения эллипсоида на идеально гладкой плоскости [8]. Интересно отметить, что при $\lambda eq0$ и $\lambda eq1$ мера не найдена, как не найдено и препятствий к ее существования. Трехмерное сечение в случае $\lambda =0$ приведено на рис. 7 .

Все описанные выше результаты, связанные с качением тела по плоскости представлены в таблице 1.