Мы рассматриваем в работе уравнения качения твердого тела по плоскости и сфере, вследствие того, что в этих двух случаях, в отличие от качения по произвольной поверхности, уравнения движения имеют вид, близкий к уравнениям Эйлера-Пуассона. Для обоих случаев имеется шесть уравнений первого порядка от шести переменных, обладающих в потенциальном поле двумя интегралами движения энергии и геометрическим (в случае уравнений Эйлера-Пуассона всегда существует также интеграл площадей, аналог которого при качении имеется лишь при дополнительных динамических и геометрических ограничениях).

Пусть твердое тело катится без проскальзывания (т. е. скорость точки контакта $Q$ равна нулю) по неподвижной поверхности, представляющей собой плоскость или сферу. Уравнения движения состоят из векторного динамического уравнения изменения кинетического момента $M$ относительно точки контакта $Q$ (рис. 1), которое для произвольной формы тела и поверхности можно представить в форме
\[
\dot{\boldsymbol{M}}=\boldsymbol{M} \times \boldsymbol{\omega}+m \dot{\boldsymbol{r}} \times(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r})+\boldsymbol{M}_{Q},
\]

где $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{r}=G Q, \boldsymbol{M}_{Q}$ предполагаются спроецированными на главные центральные оси инерции в теле, здесь $\boldsymbol{\omega}$ – угловая скорость, $\boldsymbol{M}_{Q}-$ момент внешних сил относительно точки контакта, $G$ – центр масс. Его необходимо дополнить векторным кинематическим уравнением типа Пуассона, которое для случая плоскости a) и сферы b) имеет несколько различный вид:
a)
\[
\dot{\gamma}=\gamma \times \omega,
\]

где $\gamma$ – единичный вектор нормали к плоскости,
\[
R_{0}(\dot{\gamma}+\omega \times \gamma)=\dot{\boldsymbol{r}}
\]
b) где $\gamma$ – единичный вектор нормали к сфере радиуса $R_{0}$ (см. рис. 8).

В уравнениях (1.1), (1.2), (1.3) предполагается, что радиус-вектор $r$ выражен через нормаль $\gamma$ из уравнения
\[
\gamma=-\frac{\operatorname{grad} f}{|\operatorname{grad} f|},
\]

задающего гауссово отображение, где $f(\boldsymbol{r})=0$ представляет собой уравнение поверхности тела в главной центральной системе координат, связанной с телом. Предполагается, что тело является всюду выпуклым (чтобы избежать ударов при движении), а уравнение (1.4) однозначно разрешимо $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\gamma)$. Такое разрешение в дальнейшем мы считаем заведомо выполненным.

Используя (1.4), кинематическое уравнение (1.3), описывающее динамику вектора $\gamma$ для сферы можно представить в форме
\[
\dot{\boldsymbol{\gamma}}=\left(1+k(\mathbf{B}-k)^{-1}\right) \boldsymbol{\gamma} \times \boldsymbol{\omega}, \quad k=R_{0}^{-1},
\]

где $\mathbf{B}=\left\|b_{i j}\right\|$ – вырожденная матрица с компонентами $b_{i j}=$ $=-\frac{\partial}{\partial r_{i}}\left(\frac{1}{|
abla f|} \frac{\partial f}{\partial r_{j}}\right)$.
Связь между $\boldsymbol{M}$ и $\boldsymbol{\omega}$ задается уравнением
\[
\boldsymbol{M}=\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}+m \boldsymbol{r} \times(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}), \quad \boldsymbol{\omega}=\frac{\mathbf{A} \boldsymbol{M}-m \boldsymbol{r} \times(\mathbf{A} \boldsymbol{r} \times \mathbf{A} \boldsymbol{M})}{1-m(\boldsymbol{r}, \mathbf{A} \boldsymbol{r})},
\]

где $m$ – масса тела, $\mathbf{I}$ – центральный тензор инерции, $\mathbf{A}=\left(\mathbf{I}+m \boldsymbol{r}^{2}\right)^{-1}$.
Момент внешних сил в случае существования потенциала $U=$ $=U(\gamma)$, зависящего только от компонент вектора $\gamma$, можно представить в виде:
a) для плоскости $M_{Q}=\gamma \times \frac{\partial U}{\partial \gamma}$;
b) для сферы $\boldsymbol{M}_{Q}=\boldsymbol{\gamma} \times\left(1+k\left(\mathbf{B}^{\mathrm{T}}-k\right)^{-1}\right) \frac{\partial U}{\partial \boldsymbol{\gamma}}$. где $\mathbf{B}-$ матрица (1.5).
Уравнения (1.1) и (1.2),(1.3) всегда обладают интегралом энергии и геометрическим интегралом
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega})+U(\gamma), \quad F_{1}=\gamma^{2}=1 .
\]

ЗАмЕчАНИЕ. Для доказательства необходимо воспользоваться формулой
\[
\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega})^{*}=\left(\boldsymbol{M}_{Q}, \boldsymbol{\omega}\right),
\]

которая является следствием только уравнения (1.1) и не зависит от вида обкатываемой поверхности.

Для интегрирования этих уравнений по теореме Эйлера – Якоби (теория последнего множителя) необходимо указать еще два дополнительных независимых первых интеграла и инвариантную меру [15]. Напомним, что плотность инвариантной меры $\rho$ общей системы
\[
\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x}), \quad \boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)
\]

удовлетворяет уравнению Лиувилля $\operatorname{div}(\rho \boldsymbol{v})=0$. В общем случае ни один из этих объектов не существует и вследствие этого система проявляет некоторые любопытные асимптотические и хаотические свойства, присущие колебаниям кельтских камней, которые нетипичны для консервативных систем $[13,15]$. Рассмотрим все известные на данный момент случаи существования дополнительных первых интегралов (одного или сразу двух), а также инвариантной меры.

Динамические и геометрические ограничения, приводящие к наличию первых интегралов и инвариантной меры, являются в некотором смысле независимыми. Могут встречаться комбинации параметров, при которых существует только мера или только дополнительный интеграл. В крайнем случае система может обладать двумя дополнительными интегралами и мерой и поэтому являться полностью интегрируемой.

Результаты исследования, приведенные нами отдельно для случая качения тела по плоскости и сфере, собраны в таблицах 1,2. Следующие пункты, по-существу, представляют собой комментарии к этим таблицам.