Отметим одну форму уравнений (2.1), указанную в [3] и исследуемую в [9]. При наличии связи $(\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\gamma})=d$ при помощи вектора
\[
\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{M}-(\boldsymbol{M}-\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\gamma}) \boldsymbol{\gamma}
\]

уравнения (2.1) можно представить в виде
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{\boldsymbol{Q}}=\boldsymbol{Q} \times \boldsymbol{\omega}+\gamma \times \frac{\partial V}{\partial \gamma}, \\
\dot{\boldsymbol{\gamma}}=\gamma \times \boldsymbol{\omega}
\end{array}\right.
\]

с интегралами $F_{1}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{\omega})+V, F_{2}=(\boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\gamma})$ и связью $(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{\gamma})=d$.
Уравнения (3.7) отличаются от (2.1) «правильным» вхождением потенциала, а связь $(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{\gamma})=d$ може: рассматриваться как интеграл площадей. Однако, они не являются замкнутыми: выражение $\boldsymbol{\omega}$ через $\boldsymbol{Q}$ из (3.6) не получается однозначным (оно определено с точностью до вектора $\gamma$ ), то есть уравнения (3.7) описывают эволюцию проекции вектора $M$ на плоскость, ортогональную вектору $\gamma$.

Вопрос о гамильтоновости уравнений (2.1), возможно после преобразования времени, аналогичному исследованному в шаре Чаплыгина (см. статью 7), не является решенным. Несмотря на некоторую аналогию на уровне инвариантных торов, указанную в [9], возможно, что эти две задачи все же являются существенно различными, даже при нулевой постоянной площадей. Действительно, если приведенный в статье 7 изоморфизм задачи Чаплыгина с задачей о движении точки на сфере имеет естественное гамильтоново происхождение, то в случае задачи Веселовой ее сведение к задаче Неймана носит несколько искусственный и негамильтонов характер (оно использует интеграл энергии).

ЗАМЕЧАНИЕ 1. В работе [2] развит общий формализм для описания неголономных систем с правоинвариантными и левоинвариантными связями, а также соответствующими формами кинетической энергии. Для некоторых неголономных аналогов уравнений Эйлера – Пуанкаре указаны условия существования инвариантной меры. При этом алгебра Ли (соответствующая уравнениям ЭйлераПуанкаре) должна быть унитарной [2].

В работе [13] рассмотрены обобщения некоторых задач неголономной механики (задача Чаплыгина, Суслова, Веселовой) на $n$-мерный случай. Однако, для полной интегрируемости этих систем, которые, как правило, обладают инвариантной мерой, найденного набора «естественных» интегралов недостаточно. Необходимой для интегрируемости наборов интегралов для многомерной задачи Суслова при дополнительных специальных предположениях приведен в [13]. Интегрируемость многомерной задачи Чаплыгина о качении шара до сих пор остается невыясненной.

Недавно Ю.Н.Федоров информировал авторов о доказанной им интегрируемости многомерной задачи Веселовой. При этом необходимы некоторые ограничения на компоненты тензора инерции многомерного твердого тела, а сама интегрируемость показывается при помощи явного указания преобразования многомерной задачи Веселовой к многомерной задаче Неймана.

Рассмотрим еще одну задачу, в некотором смысле, являющуюся комбинацией задачи Веселовой и задачи о шаре Чаплыгина.