Система (2) в терминологии углов Эйлера, описывает поведение углов нутации $\theta\left(\cos \theta=\gamma_{3}\right)$ и собственного вращения $\varphi \operatorname{tg} \varphi=\frac{\gamma_{1}}{\gamma_{2}}$. В дальнейшем мы сосредоточимся именно на изучении этой системы, не забывая при этом, что поведение угла прецессии $\psi$ и точки контакта, зная решение (2) можно получить простыми квадратурами [2].

Вместо углов Эйлера и переменных ( $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma}$ ) для численного изучения наиболее приемлемы переменные Андуайе – Депри $(L, G, H, l, g)$ с физическим смыслом которых можно ознакомиться, например, по книге [2]. Здесь мы приведем только явные формулы пересчета
\[
\begin{array}{c}
M_{1}=\sqrt{G^{2}-L^{2}} \sin l, \quad M_{2}=\sqrt{G^{2}-L^{2}} \cos l, \quad M_{3}=L, \\
\gamma_{1}=\left(\frac{H}{G} \sqrt{1-\left(\frac{L}{G}\right)^{2}}+\frac{L}{G} \sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \cos g\right) \sin l+\sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \sin g \cos l, \\
\gamma_{2}=\left(\frac{H}{G} \sqrt{1-\left(\frac{L}{G}\right)^{2}}+\frac{L}{G} \sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \cos g\right) \cos l-\sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \sin g \sin l, \\
\gamma_{3}=\left(\frac{H}{G}\right)\left(\frac{L}{G}\right)-\sqrt{1-\left(\frac{L}{G}\right)^{2}} \sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \cos g .
\end{array}
\]

На уровне двух известных интегралов движения (3) уравнения (2) задают четырехмерный фазовый поток, сечение которого трехмерной гиперплоскостью приводит к некоторому точечному трехмерному отображению (отображение Пуанкаре). Отметим, что для переменных $L, G, H, l, g$ из (8) заведомо выполнено $(\gamma, \gamma)=1$, поэтому на уровне этого интеграла формулы (8) задают взаимно однозначное преобразование. Трехмерное сечение четырехмерного уровня энергии $\mathscr{H}(L, G, H, l, g)=E$ мы зададим .лоскостью $g=g_{0}=$ const, на которой выберем координаты $\left(l, \frac{L}{G}, \frac{H}{G}\right)$.

Отметим, что в классических уравнениях Эйлера – Пуассона, в силу наличия дополнительного интеграла площадей $H=$ const (да и вообще для всех двухстепенных гамильтоновых систем) исследование динамики сводится к двумерному отображению, сохраняющему меру.

В нашем случае ситуация существенно более сложная (что, кстати, подчеркивает нетривиальность описания динамических эффектов кельтских камней) – отображение является трехмерным и, вообще говоря, не сохраняет меру. Подобное свойство приближает нашу систему к «диссипативному» типу и обуславливает существование сложных притягивающих множеств (странных аттракторов), обсуждаемых далее. В качестве

простого трехмерного отображения, обладающего хаотическим аттрактором укажем на известное отображение Смейла-Вильямса.

Таким образом, задача об исследовании фазового потока уравнений (2) на уровне энергии приводится к исследованию отображения
\[
x_{n+1}=\mathscr{F}\left(x_{n}\right), \quad x_{n}=\left(l, \frac{L}{G}, \frac{H}{G}\right) .
\]

Вследствие наличия соотношений $0<l \leqslant 2 \pi,-G \leqslant L \leqslant G$, $-G \leqslant H \leqslant G$, точечное отображение (9) определено в некоторой компактной области.

Ранее аналогичные трехмерные отображения были введены и исследовались нами при изучении проблем интегрируемости в статьях 15, 16 в этом сборнике.

Очевидно, что неподвижным точкам отображения (9) соответствуют периодические решения фазового потока (2), его инвариантным кривым – двумерные торы, двумерным точечным многообразиям – трехмерные многообразия. В дальнейшем мы будем пользоваться как терминологией для потока, так и для отображения, надеясь, что это не вызовет путаницы.

Замечание. Согласно формулам (8) на каждом уровне $\frac{H}{G}=$ const необходимо отождествить точки с координатами $l$ и $l+2 \pi$, а также заклеить всю прямую $\frac{L}{G}=1$ в одну точку. После такого отождествления получается двумерная сфера $S^{2}$. Таким образом фазовое пространство отображения (9) гомеоморфно $S^{2} \times I$, где $I-$ отрезок $[-1,1]$.