Компьютерные исследования, хотя и носящие предварительный характер, позволяют разбить область возможных энергий $\left(E_{\min }, \infty\right)$, где $E_{\min }=m g h=100$, на пять областей, в каждой из которых динамика носит сходный характер.

I. $\boldsymbol{E}>\boldsymbol{E}_{*}$ (рис. 3). В фазовом пространстве имеется только вертикальное вращение (в одну сторону), которое является асимптотически устойчивым (в отображении имеется регулярный аттрактор). Вследствие обратимости при $t \rightarrow-\infty$ все решения стремятся к вертикальному вращению, но в другую сторону. Заметим, что здесь мультипликаторы

Рис. 3. $E=2000, \delta=0.005, g_{0}=0.5 \pi$. Иллюстрируется поведение при больших энергиях $E>E_{*}$ : все траектории сматываются с неустойчивого нормального вращения (при $t \rightarrow \infty$ ) и наматываются на устойчивое. (Здесь для увеличения времени, проводимого вблизи перманентных вращений взято $\delta=0.005$, что не соответствует указанному в тексте.)

устойчивого перманентного вращения меньше 1, один – вещественный и два комплексно сопряженных. Видимо, на одномерной сепаратрисе, выходящей из неустойчивого вращения расположен также неустойчивый предельный цикл, являющийся неподвижной точкой отображения (рис. 3).

II. $\boldsymbol{E}_{1}<\boldsymbol{E}<\boldsymbol{E}_{*}\left(\mathbf{9 3 3}<\boldsymbol{E}_{\mathbf{1}}<\mathbf{9 4 1}\right.$, рис. 4). При уменьшении энергии ниже $E_{*}$ происходит описанная выше (см. разд. 6) бифуркация Андронова – Хопфа, и вблизи становящегося неустойчивым вертикально-

го вращения рождается предельный цикл. Вблизи второго вертикального вращения происходит обратная бифуркация и также рождается предельный цикл, притягивающий траектории при $t \rightarrow-\infty$.

Кроме того, и это является удивительным фактом, который, видимо, нельзя предсказать аналитически, в фазовом пространстве рождаются еще два устойчивых цикла, отличных от цикла Карапетяна (рис. 4). Пара аналогичных циклов (устойчивых при $t \rightarrow-\infty$ ) рождаются вблизи неустойчивых перманентных вращений. (Эти циклы сохраняются при малых изменениях параметров.)

На этом режиме все траектории сматываются с трех неустойчивых циклов и наматываются на три устойчивых. Два из них являются непосредственными продолжениями (по энергии) циклов Карапетяна, а четыре остальных найдены нами в численных экспериментах. В фазовом пространстве имеются также неустойчивые неподвижные точки, соответствующие вертикальным вращениям.

III. $\boldsymbol{E}_{2}<\boldsymbol{E}<\boldsymbol{E}_{1}\left(560,7<\boldsymbol{E}_{2}<561,9\right.$, рис. 5.) При прохождении через $E_{1}$ происходит потеря устойчивости одного цикла Карапетяна, при этом два другие устойчивые циклы сохраняют устойчивость. В фазовом пространстве остаются регулярные аттракторы (при $t \rightarrow \pm \infty$ ), соответственно два устойчивых и неустойчивых предельных цикла. На фазовом портрете также имеется 4 неустойчивых неподвижных точки: два вертикальных вращения и два неустойчивых цикла Карапетяна.

IV. $\boldsymbol{E}_{3}<\boldsymbol{E}<\boldsymbol{E}_{2}-\varepsilon_{1}, \varepsilon_{1}>0$ и мало. Рождение странного аттрактора, рис. 6. В этой области теряют устойчивость два оставшихся предельных цикла и возникает притягивающее множество сложной структуры. Как показывают вычисления, максимальный показатель Ляпунова для траекторий этого множества положителен, что позволяет отнести его к странным аттракторам. Его возникновение в динамике кельтского камня является не очевидным и замечательным, тем более что первоначальная система (2) является консервативной. Сценарий перехода к странному аттрактору связан с потерей устойчивости нескольких предельных циклов, при этом динамика кельтского камня на соответствующих уровнях энергии становится глобально хаотической. Отметим, что на предыдущих режимах также наблюдались хаотические стадии колебаний, тем не менее их эволюция заканчивалась выходом на регулярный периодический режим. При дальнейшем уменьшении энергии $E$ также наблюдаются сложные хаотические режимы, имеющие характер перемежаемости, их сложно описать даже численно.

V. $\boldsymbol{E}_{\min }<\boldsymbol{E}<\boldsymbol{E}_{\min }+\varepsilon_{2}, \varepsilon_{2}>\mathbf{0}$ и мало, рис. $\mathbf{7}$ Т. е. имеется ввиду окрестность малых колебаний вблизи положения равновесия (ситуация Маркеева). Как уже указывалось, при малых $\varepsilon_{2}$ здесь имеются трехмерные инвариантные колмогоровские торы, запирающие остальные траектории системы.

При $E_{\min }+\varepsilon_{2} \leqslant E \leqslant E_{3}$ поведение системы остается неисследованным. Более детальный анализ требует компьютерного исследования поведения сепаратрис неподвижных точек и предельных циклов. Необходимо также дать более точные значения для значений $E_{3}$ и $\varepsilon_{2}$, при которых возникает странный аттрактор и дать его более строгое математическое описание.