Рассмотрим задачу о качении шара при условии, что его центр масс движется по цилиндрической поверхности. Оказывается, что эта система в случае отсутствия внешнего поля интегрируется в квадратурах, а в случае, когда внешняя сила направлена вдоль образующей цилиндра, уравнения приводятся к гамильтоновой системе с полутора степенями свободы.

Выберем неподвижную систему координат, одна из осей которой ( $Oz)$ направлена вдоль образующей цилиндра (см. рис. 6), при этом для вектора нормали имеем
$$\gamma =({\gamma }_1,{\gamma }_2,0),{\gamma }_1^2+{\gamma }_2^2=1.$$

Обозначим проекции нормали и радиуса-вектора центра масс шара на нормальное сечение как $\tilde{\mathit{r}}=(r_1+R{\gamma }_1,r_2+R{\gamma }_2),\tilde{\gamma }=({\gamma }_1,{\gamma }_2)$, для них выполняются очевидные геометрические соотношения
$$(\dot{\tilde{r}},\tilde{\gamma })=(\dot{\tilde{\gamma }},\tilde{\gamma })=0.$$

Отсюда заключаем, что $\dot{\tilde{\gamma }}$ параллельна $\dot{\tilde{r}}$
$$\dot{\tilde{\gamma }}=\lambda (\gamma )\dot{\tilde{\mathit{r}}}$$

причем коэффициент $\lambda (\gamma )$ полностью определяется геометрией сечения цилиндра и не зависит от угловой скорости.

Используя уравнения (2.3), получим уравнения движения шара по поверхности цилиндра в предположении, что вдоль образующей цилиндра действует сила с потенциалом $U(z)$, где $z=\frac{r_3}{R}$ :
$$\begin{array}{c}\dot{\mathit{M}}=\frac{M_3}{\mu +D}\lambda (\gamma )\frac{D}{\mu +D}(\mathit{M}\times \gamma ,{\mathit{e}}_z)\gamma +\frac{\partial U}{\partial z}{\mathit{e}}_z\times \gamma ,\\ \dot{\mathit{\gamma }}=\frac{M_3}{\mu +D}\lambda (\gamma ){\mathit{e}}_z\times \gamma ,\dot{z}=\frac{1}{\mu +D}(\mathit{M}\times \gamma ,{\mathit{e}}_z).\end{array}$$

Уравнения (5.2) всегда допускают помимо интеграла энергии проекцию момента (угловой скорости) на ось цилиндра:
$$\begin{array}{c}H=\frac{1}{2}(\mathit{M},\mathit{\omega })+U(z),\\ F_2=M_3=(\mu +D){\omega }_3=\text{ const. }\end{array}$$

Кроме того, система (5.3) обладает инвариантной мерой с плотностью
$$\rho (\gamma )={\lambda }^{-1}(\gamma )$$

Как следует из (5.2), уравнения для вектора $\gamma$ отделяются. Воспользуемся параметризацией
$${\gamma }_1=\cos \phi ,{\gamma }_2=\sin \phi .$$

Для угла $\phi (t)$ получим уравнение
$$\dot{\phi }=\frac{M_3}{\mu +D}\lambda (\cos \phi ,\sin \phi )=Q^{-1}(\phi ),$$

где $Q(\phi )$ в общем случае $2\pi$-периодическая функция от $\phi$, определяемая видом поперечного сечения цилиндра.

В оставшихся уравнениях системы (5.2) выполним замену переменных
$$K_1=M_1{\gamma }_1+M_2{\gamma }_1,K_2=M_1{\gamma }_2-M_2{\gamma }_1,$$

а вместо времени в качестве независимой переменной будем использовать угол $\phi$, получим неавтономную систему с $2\pi$-периодическими коэффициентами
$$\begin{array}{c}\frac{d{K}_1}{d\phi }=-\frac{\mu }{\mu +D}{K}_2,\frac{d{K}_2}{d\phi }=K_1-Q(\phi )U^{\prime }(z),\\ \frac{dz}{d\phi }=\frac{Q(\phi )}{\mu +D}{K}_2\end{array}$$

с интегралом энергии
$$\tilde{H}=\frac{1}{2}(\frac{K_1^2}{\mu }+\frac{K_2^2}{\mu +D})+U(z).$$

В случае поля тяжести $U(z)=mgz$ и уравнения (5.6) интегрируются в квадратурах:
$$\begin{array}{l}{K}_1(\phi )=-umg{\int }_{{\phi }_0}^{\phi }\sin u(\tau -\phi )Q(\tau )d\tau +uA\cos u\phi +uB\sin u\phi ,\\ K_2(\phi )=-mg{\int }_{{\phi }_0}^{\phi }\cos u(\tau -\phi )Q(\tau )d\tau +A\sin u\phi -B\cos u\phi ,\end{array}$$

где $A,B-$ константы интегрирования, $u^2=\frac{\mu }{\mu +D}$.
Покажем, что интегралы в (5.8) являются ограниченными функциями. Разложим функцию $Q(\tau )$ в ряд Фурье
$$Q(\tau )=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{Q}_n{e}^{in\tau }.$$

Интегралы входящие в выражения для $K_1(\phi )$ и $K_2(\phi )$ в (5.8) можно рассматривать как действительную и мнимую части интеграла
$$\int e^{iu\tau }Q(\tau )d\tau =\int \sum _n{Q}_n{e}^{i(n+u)\tau }d\tau .$$

Пользуясь известными теоремами Фурье-анализа и тем, что $n+ueq0$ (так как $0<u<1$ ) внесем интеграл под знак суммы и проинтегрируем ряд почленно:
$$\int \sum _n{Q}_n{e}^{i(n+u)\tau }d\tau =\sum _n\frac{Q_n}{i(n+u)}{e}^{i(n+u)\tau .}$$

Полученный ряд сходится к некоторой квазипериодической функции, следовательно, $K_1(\phi )$ и $K_2(\phi )$ являются ограниченными. Из доказанной ограниченности $K_1(\phi )$ и $K_2(\phi )$, а также из сохранения энергии приведенной системы (5.7) следует ограниченность $z(\phi )$.

Таким образом, при качении шара по абсолютно шероховатой цилиндрической поверхности с произвольным поперечным сечением в поле тяжести не наблюдается вертикального векового ухода.

Зависимость угла от времени (и, следовательно, всех остальных функций) дается квадратурой (5.5).

Эллиптический (гиперболический цилиндр).
Рассмотрим подробнее частный случай, при котором центр масс шара движется по эллиптическому цилиндру, так что поперечное сечение задается уравнением
$$\frac{x^2}{b_1}+\frac{y^2}{b_2}=1$$

При этом
$$r_1+R{\gamma }_1=\frac{b_1{\gamma }_1}{\sqrt{b_1{\gamma }_1^2+b_2{\gamma }_2^2}},r_2-R{\gamma }_2=\frac{b_2{\gamma }_2}{\sqrt{b_1{\gamma }_1^2+b_2{\gamma }_2^2}},r_3=Rz$$

и, соответственно,
$$\begin{array}{rl}\lambda (\gamma )& =\frac{R(\gamma ,\mathbf{B}\gamma {)}^{3/2}}{b_1{b}_2},\mathbf{B}=\mathrm{diag}(b_1,b_2,0),\\ Q^{-1}(\phi )& =\frac{M_{3}R}{(\mu +D)b_1{b}_2}{(b_1{\cos }^2\phi +b_2{\sin }^2\phi )}^{3/2}.\end{array}$$

Отметим важное отличие эллиптического цилиндра от кругового (см. выше): в этом случае вместо одночастотных функций зависимость динамических переменных $K_1,K_2,z$ определяется двумя частотами ${\omega }_1=$ $=1,{\omega }_2=u$. Таким образом, интегралы в (5.8) берутся от квазипериодических функций и имеют очень сложный характер, их аналитические

Рис. 7. Вертикальная координата точки контакта $z$ в зависимости от угла $\phi$ для различных начальных значений $K_1,K_2,z$. Рисунок соответствует следующим параметрам: $E=1,\mu =1,D=1(u=2^{-1/2}),b_1=1,b_2=2,R=1$.

свойства подробно обсуждаются в [7]. На рис. 7 изображены примеры зависимостей $z(\phi )$ для различных начальных значений $K_1$ и $K_2$. Основной результат заключается в том, что для всех соотношений частот переменные $K_1$ и $K_2$, а с ними и смещение $z$, испытывают ограниченные квазипериодические колебания.

Авторы благодарят В. В. Козлова за полезные замечания и обсуждения.