А.П.Маркеев объяснил некоторые свойства движения кельтских камней, исследуя нелинейные малые колебания вблизи положения рав-
новесия, т.е. при $\omega_{0}=0$. При этом характеристический полином (13) становится биквадратным и при $a_{1}>h, a_{2}>h$ его корнями являются две пары чисто мнимых чисел.
В работе [7] построена нормальная форма системы (2) вблизи положения равновесия с точностью до членов третьего порядка. Она имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{\rho}_{1}=-a \Omega_{1}^{2} \rho_{1} \rho_{3}, \quad \dot{\rho}_{2}=a \Omega_{2}^{2} \rho_{2} \rho_{3}, \quad B \dot{\rho}_{3}=a\left(\Omega_{1}^{4} \rho_{1}^{2}-\Omega_{2}^{2} \rho_{2}^{2}\right), \\
\dot{\sigma}_{1}=\Omega_{1}, \quad \dot{\sigma}_{2}=\Omega_{2},
\end{array}
\]
где $\rho_{1}, \rho_{2}, \rho_{3}$ – некоторые полярные координаты, $\sigma_{i}$ – угловые координаты, $\Omega_{1}, \Omega_{2}$ – частоты нормальных колебаний системы, $a, B=$ const.
При этом отделяется укороченная трехмерная система (для $\rho_{1}, \rho_{2}, \rho_{3}$ ), которая является интегрируемой. Уравнения (14) имеют интегралы
\[
\Omega_{1}^{2} \rho_{1}^{2}+\Omega_{2}^{2} \rho_{2}^{2}+B \rho_{3}^{2}=\mathrm{const}, \quad \rho_{1}^{\alpha} \rho_{2}=\mathrm{const}, \quad \alpha=\Omega_{2}^{2} / \Omega_{1}^{2},
\]
которые и позволяют провести качественный анализ движения.
Замечание. Явные выражения координат $\rho_{i}, \sigma_{i}$ и частот нормальных колебаний $\Omega_{i}$ через фазовые переменные и интегралы системы (2) получаются из решения задачи на собственные векторы и собственные числа и имеют сложный вид, их можно найти в статье [7].
Для нормальной формы полной системы (14) траектории представляют собой обмотки трехмерных инвариантных торов.
Кроме того, у нормальной формы системы (14) существует особая трехмерная поверхность, заполненная двоякоасимптотическими траекториями, при которых тело выходит из вращения в одну сторону и приходит к вращению в другую сторону. Таким образом, при $t \rightarrow+\infty$ вблизи рассматриваемого положения равновесия система (14) (и, следовательно, система (2)) имеет почти гамильтонов характер.
Вследствие обратимости в окрестности положения равновесия выполняются условия КАM-теоремы, причем в качестве невозмущенной системы можно взять нормальную форму (14), а в качестве малого параметра – отклонение энергии от минимального значения $E_{\min }=m g h$.
Таким образом, при малых энергиях в полной системе (2) существуют трехмерные колмогоровские торы. На рис. 7 приведены трехмерные сечения торов, вложенных в четырехмерное пространство.
Приведенные соображения из КАМ-теории дополняют результаты А. П. Маркеева [7], имеющие асимптотический характер и справедливые на ограниченных временах.
ЗАМЕЧАНИЕ. В приложении 2 мы привели анализ обратимого плоского отображения, предложенного Квиспелом и Робертсом, обладающего неподвижными точками различного типа. Здесь также вблизи «гамильтоновых неподвижных точек» (с чисто мнимыми характеристическими показателями) сохраняются инвариантные кривые.
