Термин «неголономная система» в механику ввел Г. Герц [64]. Так называются материальные системы, стесненные связями, которые налагают ограничения на скорости точек системы, но не ограничивают положение (конфигурацию) системы.

Более точно. Пусть в области $G\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ заданы $m$ векторных полей $X_{1}, \ldots, X_{m}$. Координаты каждого из векторов $X_{i}$ обозначаются $\xi_{i}^{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \ldots, \xi_{i}^{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ и предполагаются непрерывно дифференцируемыми функциями до $k$-го порядка включительно. Каждому вектору $X_{i}$ сопоставим оператор
\[
X_{i}=\xi_{i}^{1} \frac{\partial}{\partial x_{1}}+\ldots+\xi_{i}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{n}} .
\]

Траектории каждого такого оператора $X_{i}$ определяются дифференциальными уравнениями
\[
\frac{d x_{1}}{d t_{i}}=\xi_{i}^{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \ldots \frac{d x_{n}}{d t_{i}}=\xi_{i}^{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]

где $t_{i}$ – параметр, к которому отнесены траектории оператора $X_{i}$.
В $n$-мерной области $G$ в каждой точке векторы $X_{i}$ образуют $m$-мерное направление. Поле этих $m$-мерных направлений называется вполне неголономным, если система дифференциальных уравнений с частными производными
\[
X_{1} f=X_{2} f=\ldots=X_{m} f=0,
\]

где $f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ – искомая функция, имеет только тривиальное решение $f \equiv$ const. Как известно, для этого достаточно, чтобы среди операторов $X_{1}, \ldots, X_{m}$ и полученных из них составлением коммутаторов

(нагромождая коммутаторов друг на друга, если требуется) нашлись $n$ линейно независимых операторов во всех точках области $G$.

Пусть операторы $X_{1}, \ldots, X_{m}$ порождают вполне неголономное поле $m$-мерных направлений в области $G$. Тогда из любой точки области $G$ можно попасть в любую другую точку этой области, смещаясь конечное число раз по траекториям операторов $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{m}$ [24].

Неголономные связи возникают в системах с качением твердых тел по поверхностям без скольжения. В качестве примера рассмотрим тяжелый однородный обруч радиуса 1, который катится и вертится по неподвижной горизонтальной плоскости. Выберем неподвижные оси $O X$ и $O Y$ в опорной плоскости, а неподвижную ось $O Z$ направим вертикально вверх. Пусть $\xi, \eta, z-$ координаты центра тяжести $G$ обруча относительно этих осей, а $\varphi, \psi, \theta$ – эйлеровы углы поворота обруча вокруг осей Кенига $G X^{\prime} Y^{\prime} Z^{\prime}$, параллельных неподвижным осям $O X Y Z$.
Уравнения связей имеют вид [48]:
\[
\begin{array}{l}
\dot{\xi}-\dot{\theta} \sin \psi \sin \theta+\dot{\psi} \cos \psi \cos \theta+\dot{\varphi} \cos \psi=0, \\
\dot{\eta}+\dot{\theta} \cos \psi \sin \theta+\dot{\psi} \sin \psi \cos \theta+\dot{\varphi} \sin \psi=0, \\
\dot{z}-\dot{\theta} \cos \theta=0 .
\end{array}
\]

Третье уравнение выражает конечную геометрическую связь $z=\cos \theta$, а два первых уравнения – неголономные связи. Действительно, в каждой точке $(\xi, \eta, \theta, \psi, \varphi)$ конфигурационного многообразия они задают 3 -х мерное направление с базисными векторами, например, равными
\[
\begin{array}{l}
X_{1}=\sin \psi \sin \theta \frac{\partial}{\partial \xi}-\cos \psi \sin \theta \frac{\partial}{\partial \eta}+\frac{\partial}{\partial \theta} \\
X_{2}=-\cos \psi \cos \theta \frac{\partial}{\partial \xi}-\sin \psi \cos \theta \frac{\partial}{\partial \eta}+\frac{\partial}{\partial \psi} \\
X_{3}=-\cos \psi \frac{\partial}{\partial \xi}-\sin \psi \frac{\partial}{\partial \eta}+\frac{\partial}{\partial \varphi}
\end{array}
\]

Поле этих 3-х мерных направлений является вполне неголономным, так как операторы $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ и $^{1}$
\[
\begin{array}{l}
X_{4}=\left(X_{2}, X_{3}\right)=\sin \varphi \frac{\partial}{\partial \xi}-\cos \psi \frac{\partial}{\partial \eta} \\
X_{5}=\left(X_{2}, X_{4}\right)=\cos \psi \frac{\partial}{\partial \xi}-\sin \psi \frac{\partial}{\partial \eta}
\end{array}
\]

линейно независимы в каждой точке $(\xi, \eta, \theta, \psi, \varphi)$ конфигурационного многообразия. Следовательно, из любого положения обруч можно перекатить (в соответствии с уравнениями связей (1.1)) в другое положение, в котором обруч касается произвольно заданной точкой своего обода заранее определенной произвольной точки опорной плоскости и при этом имеет произвольно заданную ориентацию в пространстве. Впрочем, это утверждение геометрически очевидно.