Рассмотрим подробнее динамику шара при условии, что его центр масс движется по поверхности второго порядка
\[
\left(\boldsymbol{r}+R \boldsymbol{\gamma}, \mathbf{B}^{-1}(\boldsymbol{r}+R \boldsymbol{\gamma})\right)=1, \quad \mathbf{B}=\operatorname{diag}\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) .
\]

В этом случае уравнения движения представляются в форме (2.3).
Оказывается, что эти уравнения при произвольной (невырожденной) матрице В обладают инвариантной мерой с плотностью $\rho$ и квадратичным интегралом $F_{2}$, которые представляются в форме
\[
\begin{array}{c}
\rho=(\gamma, \mathbf{B} \gamma)^{-2}, \\
F_{2}=\frac{\left(\gamma \times M \cdot \mathbf{B}^{-1}(\gamma \times M)\right)}{(\gamma, \mathbf{B} \gamma)} .
\end{array}
\]

Комментарий I. Плотность инвариантной меры была найдена авторами без особого труда, когда были получены уравнения (2.3) для качения однородного шара по эллипсоиду, описывающие неголономную задачу Якоби. Такое название естественно связано с тем, что при стремлении радиуса шара к нулю кажется, что получается обычная голономная классическая задача о геодезических на эллипсоиде, разрешенная К. Якоби в эллиптических функциях. Видимо, следует убедиться в корректности такого предельного перехода, что, однако, не мешает воспользоваться приведенной терминологией. Можно представить себе интеграл (4.2), как обобщение квадратичного интеграла Иоахимсталя, имеющегося в задаче Якоби. Этот интеграл был первоначально найден авторами численно при использовании трехмерного отображения Пуанкаре в переменных Андуайе – Депри ( $L, G, H, l, g, h)$. Эти переменные для использования в неголономной механике мы ввели в [5] (см. также более раннюю работу [2]), где и имеются также соответствующие формулы пересчета.

На рис. 5 показаны трехмерные сечения фазового потока в переменных $(l, L / G, H, g)$ на уровне энергии $E=$ const. Секущей плоскостью является $g=$ $=\pi / 2$. Как видно, уровни интеграла $F_{2}=$ const «расслаивают» трехмерный хаос на двумерные хаотические поверхности. Последнее обстоятельство, т. е. наличие хаотических движений на двумерных поверхностях $F_{2}=$ const показывает также, что еще одного дополнительного независимого интеграла, обеспечивающего уже полную интегрируемость в рассматриваемом случае заведомо не существует.

Рассмотрим различные частные и вырожденные случаи поверхностей второго порядка, допускающие интеграл типа (4.2).

1. Эллиптический (гиперболический) параболоид. Пусть центр масс шара движется по поверхности эллиптического параболоида, заданного уравнением
\[
\frac{x^{2}}{b_{1}}+\frac{y^{2}}{b_{2}}=2 z .
\]

Хотя все результаты в этом случае могут быть получены из предыдущих путем предельного перехода, приведем их здесь в явном виде.
Гауссово отображение (2.2) в этом случае имеет вид:
\[
r_{1}+R \gamma_{1}=-b_{1} \frac{\gamma_{1}}{\gamma_{3}}, \quad r_{2}+R \gamma_{2}=-b_{2} \frac{\gamma_{2}}{\gamma_{3}}, \quad r_{3}+R \gamma_{3}=\frac{b_{1} \gamma_{1}^{2}+b_{2} \gamma_{2}^{2}}{2 \gamma_{3}^{2}}
\]

а уравнения движения (2.3) представляются в форме
\[
\dot{\boldsymbol{M}}=-\frac{D}{\mu+D}(\boldsymbol{M}, \dot{\gamma}) \gamma, \quad \dot{\boldsymbol{\gamma}}=\frac{R \gamma_{3}}{\mu+D} \gamma \times\left(\gamma \times \mathbf{B}^{i}(\gamma \times \boldsymbol{M})\right),
\]

где $\mathbf{B}^{i}=\operatorname{diag}\left(b_{1}^{-1}, b_{2}^{-1}, 0\right)$ – вырожденная матрица.
Плотность инвариантной меры зависит только от $\gamma_{3}$
\[
\rho=\frac{1}{\gamma_{3}^{4}},
\]

а квадратичный интеграл (4.2) записывается в форме
\[
F_{2}=\frac{\left(\gamma \times M, \mathbf{B}^{i}(\gamma \times M)\right)}{\gamma_{3}^{2}} .
\]

Комментарий II. Интегралы (4.2), (4.4), хотя и квадратичны по скоростям ( $\boldsymbol{M}$ или $\boldsymbol{\omega}$ ), зависят от позиционных переменных весьма сложным образом. Видимо, вследствие этого они не были отмечены классиками (в частности, Раусом и Ф.Нётером, которые получили только частные результаты). Как уже отмечалось, первоначально наличие интегралов (4.2), (4.4) было обнаружено при

Рис. 5. Примеры трехмерных отображений (слева) и соответствующие поверхности уровня интеграла $F_{2}$ (справа). Все отображения построены на уровне энергии $E=1$ при $\mathbf{B}=\operatorname{diag}(1,4,9)$. Сверху вниз рисункам соответствуют значения интеграла $F_{2}=1.7,2,4,8,10$.

помощи численных экспериментов. Аналитически их вид был получен с использованием следующих соображений.

Как было показано выше, задача о качении шара по параболоиду вращения $\left(b_{1}=b_{2}\right)$ является интегрируемой и имеет два дополнительных линейных интеграла, которые (в отсутствие вращения $\Omega=0$ ) могут быть записаны следующим образом
\[
\begin{array}{c}
I_{1}=\gamma_{3}^{\sqrt{1-k}-1}\left(\sigma_{1}-\sigma_{2} \gamma_{3}+\sigma_{2} \gamma_{3} \sqrt{1-k}\right) \\
I_{2}=\gamma_{3}^{-\sqrt{1-k}-1}\left(\sigma_{1}-\sigma_{2} \gamma_{3}-\sigma_{2} \gamma_{3} \sqrt{1-k}\right), \quad k=\frac{D}{\mu+D},
\end{array}
\]

где $\sigma_{1}=\omega_{3}, \sigma_{2}=(\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\gamma})$. Произведение этих интегралов – квадратичный по $\sigma_{i}$ интеграл, являющийся рациональной функцией $\sigma_{1}, \sigma_{2}$ и $\gamma_{3}$
\[
J=\frac{\left(\sigma_{2} \gamma_{3}-\sigma_{1}\right)^{2}}{\gamma_{3}^{2}}-\sigma_{2}^{2}(1-k)=\frac{\sigma_{1}^{2}}{\gamma_{3}^{2}}-2 \sigma_{2} \frac{\sigma_{1}}{\gamma_{3}}+k \sigma_{2}^{2} .
\]

Исключим из интеграла (4.6) слагаемое $k \sigma_{2}^{2}$, используя выражение для энергии (3.7) и рассмотрим интеграл вида
\[
F_{2}=J+2 E=\frac{\omega_{3}^{2}}{\gamma_{3}^{2}}-2 \sigma_{2} \frac{\omega_{3}}{\gamma_{3}}+\boldsymbol{\omega}^{2} .
\]

Подставив выражения для $\sigma_{2}$ в (4.7) и выделив полные квадраты, получим
\[
F_{2}=\frac{\left(\gamma_{2} \omega_{3}-\gamma_{3} \omega_{2}\right)^{2}+\left(\gamma_{3} \omega_{1}-\gamma_{1} \omega_{3}\right)^{2}}{\gamma_{3}^{2}} .
\]

Записанный в такой форме $F_{2}$ легко обобщается на случай произвольного параболоида ( $b_{1}
eq b_{2}$ )
\[
F_{2}=\frac{\frac{1}{b_{1}}\left(\gamma_{2} \omega_{3}-\gamma_{3} \omega_{2}\right)^{2}+\frac{1}{b_{2}}\left(\gamma_{3} \omega_{1}-\gamma_{1} \omega_{3}\right)^{2}}{\gamma_{3}^{2}}=\frac{\left(\boldsymbol{\gamma} \times \boldsymbol{\omega}, \mathbf{B}^{i}(\boldsymbol{\gamma} \times \boldsymbol{\omega})\right)}{\gamma_{3}^{2}},
\]

и вообще поверхности второго порядка (4.2). Использование интегралов (4.2), (4.4) возможно при изучении устойчивости стационарных движений шара вблизи точек пересечений поверхности с главными осями. В симметричном случае эту задачу рассматривал Э. Раус [10].

2. Движение шара по эллиптическому конусу. Рассмотрим задачу о качении шара, когда его центр масс движется по поверхности эллиптического конуса, заданного уравнением
\[
\left(\boldsymbol{r}_{c}, \mathbf{B}^{-1} \boldsymbol{r}_{c}\right)=0, \quad \mathbf{B}=\operatorname{diag}\left(b_{1}, b_{2},-1\right),
\]

где $\boldsymbol{r}_{c}=\boldsymbol{r}+R \boldsymbol{\gamma}$ координаты цектра масс, а $b_{1}, b_{2}$ – положительные величины корни которых определяют наклон образующих прямых в направлениях осей координат. Зависимость нормали к поверхности $\gamma$ от координат центра масс на конусе имеет вид
\[
\gamma=\frac{\mathbf{B}^{-1} \boldsymbol{r}_{c}}{\sqrt{\left(\mathbf{B}^{-1} \boldsymbol{r}_{c}, \mathbf{B}^{-1} \boldsymbol{r}_{c}\right)}} .
\]

В рассматриваемом случае уже нельзя однозначно выразить $\boldsymbol{r}$ (или $\boldsymbol{r}_{c}$ ) в зависимости от $\gamma$ (так как одному и тому же значению $\gamma$ соответствует целая направляющая конуса). Поэтому в качестве фазовых переменных мы будем использовать не $\left(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma}\right.$ ), как ранее, а ( $\left.\boldsymbol{M}, \boldsymbol{r}_{\boldsymbol{c}}\right)$. Подставив (4.2) в уравнения движения (2.3), получим уравнения движения системы в переменных $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{r}_{c}$ :
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{\boldsymbol{r}}_{c}=\frac{R}{(\mu+D) \sqrt{\left(\mathbf{B}^{-1} \boldsymbol{r}_{c}, \mathbf{B}^{-1} \boldsymbol{r}_{c}\right)}}\left(\boldsymbol{M} \times \mathbf{B}^{-1} \boldsymbol{r}_{c}\right), \\
\dot{\boldsymbol{M}}=\frac{D R}{(\mu+D)^{2}\left(\mathbf{B}^{-1} \boldsymbol{r}_{c}, \mathbf{B}^{-1} \boldsymbol{r}_{c}\right)^{5 / 2}} g, \\
g=\left(\mathbf{B}^{-1}\left(\boldsymbol{M} \times \mathbf{B}^{-1} \boldsymbol{r}_{c}\right), \mathbf{B}^{-1} \boldsymbol{r}_{c} \times\left(\mathbf{B}^{-1} \boldsymbol{r}_{c} \times \boldsymbol{M}\right)\right) \mathbf{B}^{-1} \boldsymbol{r}_{c} .
\end{array}\right.
\]

Уравнения (4.3) обладают интегралом энергии
\[
H=\frac{1}{2(\mu+D)}\left(\boldsymbol{M}^{2}+\frac{D\left(\boldsymbol{M}, \mathbf{B}^{-1} \boldsymbol{r}_{c}\right)^{2}}{\mu\left(\mathbf{B}^{-1} \boldsymbol{r}_{c}, \mathbf{B}^{-1} \boldsymbol{r}_{c}\right)}\right)
\]

и инвариантной мерой
\[
\rho=\sqrt{\left(\mathbf{B}^{-1} \boldsymbol{r}_{c}, \mathbf{B}^{-1} \boldsymbol{r}_{c}\right)} .
\]

Произведем теперь следующую замену переменных и времени
\[
\boldsymbol{y}=\mathbf{B}^{-1} \boldsymbol{r}_{c}, \quad d \tau=\frac{R}{(\mu+D) \sqrt{\left(\mathbf{B}^{-1} \boldsymbol{r}_{c}, \mathbf{B}^{-1} \boldsymbol{r}_{c}\right)}} d t .
\]

После такой замены получается следующая система
\[
\left\{\begin{array}{l}
\boldsymbol{y}^{\prime}=\mathbf{B}^{-1}(\boldsymbol{M} \times \boldsymbol{y}), \\
\boldsymbol{M}^{\prime}=\frac{D}{(\mu+D)(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{y})^{2}}\left(\mathbf{B}^{-1}(\boldsymbol{M} \times \boldsymbol{y}), \boldsymbol{y} \times(\boldsymbol{y} \times \boldsymbol{M})\right) \boldsymbol{y}
\end{array}\right.
\]

которая обладает двумя естественными интегралами: интегралом энергии, имеющим теперь вид
\[
H=\frac{1}{2(\mu+D)}\left(\boldsymbol{M}^{2}+\frac{D}{\mu} \frac{(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{y})^{2}}{(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{y})}\right),
\]

и геометрическим интегралом
\[
(\boldsymbol{y}, B \boldsymbol{y})=0,
\]

задающим поверхность по которой движется центр масс шара в новых переменных. Кроме того уравнения (4.4) обладают инвариантной мерой с постоянной плотностью. Обобщение нетривиального интеграла (4.2) на уравнения (4.4) имеет вид
\[
F_{2}=\left((\boldsymbol{M} \times \boldsymbol{y}), \mathbf{B}^{-1}(\boldsymbol{M} \times \boldsymbol{y})\right),
\]

или в исходных физических переменных
\[
F_{2}=\left(\left(\boldsymbol{M} \times \mathbf{B}^{-1} \boldsymbol{r}_{c}\right), \mathbf{B}^{-1}\left(\boldsymbol{M} \times \mathbf{B}^{-1} \boldsymbol{r}_{c}\right)\right) .
\]

Вопрос о существовании еще одного дополнительного интеграла для уравнений (4.4) остается открытым. По-видимому, в общем случае $b_{1}
eq$ – $b_{2}$ он не существует.