Приведем здесь наиболее полный список известных интегрируемых задач неголономной механики, имеющих явную механическую реализацию или интересную математическую структуру. Все другие интегрируемые неголономные системы представляют собой либо комбинации приведенных, либо имеют элементарную постановку. Частично с ними можно познакомиться по книге [2]. Мы приведем также ссылки на статьи в этой книге и другую литературу, где эти задачи рассматриваются.

1. Задача Чаплыгина о качении без проскальзывания тяжелого тела вращения по плоскости обсуждается в статьях $9,15,18$. Заметим, что в этой задаче всегда можно интегрируемым образом добавить постоянный гироскопический момент, направленный вдоль оси вращения.
2. Задача Аппеля-Кортевега, или задача о качении тяжелого круглого диска по горизонтальной плоскости – частный случай предыдущей задачи Чаплыгина. Она обсуждается в статьях 9, 18 этого сборника.
3. Задача Воронца о качении тела вращения по поверхности сферы (в частности – круглого диска), обсуждается в работе [1].
4. Задача Рауса о качении полностью динамически симметричного шара по произвольной поверхности вращения обсуждается в статье 16 . Задача остается интегрируемой, если поверхность вращается вокруг оси вращения с некоторой постоянной угловой скоростью.
5. Качение полностью динамически симметричного шара по поверхности произвольного цилиндра, рассмотрен в статьях 11, 16. Частный случай кругового цилиндра был рассмотрен Раусом. Общий интегрируемый случай, несмотря на свою простоту, видимо, впервые указан А. В. Борисовым, И.С.Мамаевым, А. А. Килиным.
6. Сани Чаплыгина – движение твердого тела по горизонтальной плоскости, опирающегося на нее тремя точками, две из которых свободно скользят по плоскости, а третья есть точка опоры лезвия, жестко связанного с телом. Эта задача кратко затронута в статье 2 , и обсуждается в книге [2]. С. А. Чаплыгин свел эту задачу к квадратурам при помощи метода приводящего множителя в работе [4]. Независимо от Чаплыгина частный случай уравновешенных саней (конька) рассматривал Каратеодори [6].
7. Задача Суслова – «компактная» версия задачи о санях Чаплыгина и описывающая твердое тело с неинтегрируемой связью типа $\omega_{3}=0$. ( $\omega_{3}-$ проекция угловой скорости на одну из осей в теле.) Эта задача и ее обобщения на случай добавления потенциальных полей рассмотрена в статьях $2,10,14$.
8. Задача Веселовой – в некотором смысле система, взаимная задаче Суслова, в которой угловая скорость $\Omega_{3}=0$, уже на ось не в теле, а в пространстве. Эта задача и ее сбобщения рассмотрены в статье 10.
9. Задача Чаплыгина о качении динамически несимметричного уравновешенного шара по горизонтальной плоскости, одна из самых известных и классических задач, она рассмотрена в статьях $7,8,10,12$, 15. Обобщение этой задачи на случай введения постоянного гироскопического момента в теле получено $\Lambda$. П. Маркеевым (см. статыо 1), а на случай добавления поля Бруна – В. В. Козловым (см. статью 14). Качение шара по наклонной плоскости рассматривалось Е. И. Харламовой [3].
10. Движение тела в шаровом подвесе предложено Ю.Н.Федоровым и является интересным обобщением задачи Чаплыгина о движения шара. Она обсуждается в работе 5 .
11. Движение твердого тела в сферическом подвесе. Эта задача, дополняющая предыдущую, была предложена А. В. Борисовым, который указал также ее интегрируемое обобщение на поле Бруна. Она обсуждается в статье 6. Ю.Н.Федсров показал, что при помощи линейного преобразования эта задача сводится к задаче Чаплыгина о качении шара.
12. Задача о качении динамически несимметричного шара (шара Чаплыгина) по прямой рассматривалась А.П.Веселовым и Л.Е.Веселовой, она обсуждается в статье 10 , где имеется более подробная литература.
13. Задача о качении тяжелого симметричного круглого диска по гладкому льду. Была поставлена В.В.Козловым, Н. Н. Колесниковым в работе 3. При этом на диск накладывается неинтегрируемая связь,
состоящая в том, что вектор скорости точки контакта диска и льда параллелен горизонтальному диаметру окружности диска.
14. Аналогичная предыдущей задача, только без поля тяжести, была рассмотрена А.Г.Холмской [7, 8], в случае когда «ледяная» поверхность является сферой. Задача также оказалась интегрируемой. Заметим, что этот результат не является вполне тривиальным. Например, при наличии полного скольжения (в этом случае система является гамильтоновой), в отличие от случая плоскости при движении круглого диска пропадает интеграл центра масс и система становится неинтегрируемой.
15. Неголономный осциллятор. Эта система описывает движение точки в трехмерном пространстве [5], с координатами $x, y, z$, на которую наложена связь $\dot{z}=y \dot{x}$ в потенциальном поле с потенциалом $U(x, y, z)$. Несложно показать, что уравнения движения точки имеют вид
\[
\begin{array}{c}
m\left(1+y^{2}\right) \dot{v}_{x}=-m y v_{x} v_{y}-\frac{\partial U}{\partial x}-y \frac{\partial U}{\partial z}, \\
m \dot{v}_{y}=-\frac{\partial U}{\partial y}, \\
\dot{x}=v_{x}, \quad \dot{y}=v_{y}, \quad \dot{z}=y v_{x} .
\end{array}
\]

Эти уравнения допускают интеграл энергии
\[
H=\frac{1}{2} m\left(\left(1+y^{2}\right) v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)+U(x, y, z)
\]

и инвариантную меру с плотностью $\rho=\left(1+y^{2}\right)^{1 / 2}$.
Для интегрируемости системы не хватает еще трех интегралов, которых для произвольного поля $U(x, y, z)$ не существует. В случае $U=$ $=\frac{k}{2} y^{2}, k=$ const (при котором, собственно, и получается система, называемая неголономным осциллятором), система интегрируется в элементарных функциях. Действительно, легко показать, что
\[
y=A \sqrt{m} \sin \left(\omega_{0} t+t_{0}\right), \quad v_{y}=A \sqrt{k} \cos \left(\omega t+t_{0}\right), \quad \omega_{0}=\frac{k}{m},
\]

а для других переменных имеются более сложные, но элементарные тригонометрические квадратуры.
16. Еще одна интегрируемая задача была рассмотрена С. А. Чаплыгиным в работе [4], где он развивал теорию интегрирующего множителя. Речь идет о качении по горизонтальной плоскости уравновешенного
эллипсоида вращения, плоскость, перпендикулярная оси вращения которого (т.е. экваториальная плоскость), пересекает горизонтальную плоскость по семейству параллельных прямых. К сожалению, неясно, как реализовать такую связь.
В заключении укажем также на задачу Больцмана – Гамеля, на которой обычно иллюстрируют возможность реализации нелинейных неголономных связей. Как показано в статье 14 , она легко сводится к обычной гамильтоновой системе.