Рассмотрим уравнения качения без проскальзывания (и без отрыва) динамически симметричного шара, центральный тензор инерции I которого является шаровым $\mathbf{I}=\mu \mathbf{E}, \mu \in \mathbb{R}, \mathbf{E}=\left\|\delta_{i}^{j}\right\|$, по произвольной поверхности. При изучении движения шара удобнее записывать уравнения движения в неподвижной системе координат. В этой системе уравнения для импульса и момента импульса относительно центра масс шара с учетом реакции и внешних сил имеют вид (см., например, [1])
\[
m \dot{\boldsymbol{v}}=\boldsymbol{N}+\boldsymbol{F}, \quad(\mathbf{I} \boldsymbol{\omega})^{\cdot}=\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{N}+\boldsymbol{M}_{\boldsymbol{F}},
\]

а условие отсутствия проскальзывания (скорость точки контакта шара с поверхностью равна нулю) –
\[
v+\omega \times a=0 .
\]

Рис. 1. Качение шара по поверхности ( $G$ – центр масс, $Q$ точка контакта с поверхностью)
Здесь $m$ – масса шара, $\boldsymbol{v}$ – скорость его центра масс, $\boldsymbol{\omega}$ – угловая скорость, $\mathbf{I}=\mu \mathbf{E}$ (шаровой) центральный тензор инерции, $\boldsymbol{a}$ – вектор из центра масс в точку контакта, $R$ – радиус шара, $N-$ реакция в точке контакта (см. рис. 1), $\boldsymbol{F}$, $M_{F}$ – внешняя сила и момент сил относительно точки контакта соответственно.
Исключая из этих уравнений реакцию $N$ и добавляя кинематическое уравнение равенства скоростей точки контакта на поверхности и на шаре, получаем систему шести уравнений, описывающую динамику вектора кинетического момента относительно точки контакта $\boldsymbol{M}$ и вектора нормали к поверхности $\gamma=-R^{-1} \boldsymbol{a}$ (рис. 1):
\[
\dot{\boldsymbol{M}}=D \dot{\gamma} \times(\boldsymbol{\omega} \times \gamma)+M_{F}, \quad \dot{\boldsymbol{r}}+R \dot{\gamma}=\boldsymbol{\omega} \times R \gamma,
\]

где $D=m R^{2}$. Векторы $\boldsymbol{r}$ (радиус-вектор точки контакта) и $\gamma$ выражаются через уравнение поверхности $F(\boldsymbol{r})=0$ следующим образом
\[
\gamma=\frac{
abla F(\boldsymbol{r})}{|
abla F(\boldsymbol{r})|},
\]

а векторы $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega}$ связаны соотношением
\[
M=\mu \boldsymbol{\omega}+D \boldsymbol{\gamma} \times(\boldsymbol{\omega} \times \gamma) .
\]

Уравнения (1.3) в случае потенциального поля с потенциалом $U(\boldsymbol{r}+$ $+R \gamma)$ обладают интегралами энергии и геометрическим интегралом
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega})+U(\boldsymbol{r}-R \boldsymbol{\gamma}), \quad F_{1}=\boldsymbol{\gamma}^{2}=1 .
\]

Кроме этих двух интегралов в случае произвольной поверхности $F(\boldsymbol{r})=$ $=0$ и потенциала $U(\boldsymbol{r}+R \boldsymbol{\gamma})$ система (1.3) не обладает ни мерой, ни двумя дополнительными интегралами, необходимыми для интегрируемости

по теории последнего множителя (теории Эйлера-Якоби). Ее поведение является хаотическим. Авторами было показано, что для поверхности трехосного эллипсоида существует еще один интеграл, квадратичный по моментам $M$ [2]. Как заметил Раус, для поверхности вращения имеется два дополнительных интеграла, система интегрируема, а ее поведение является регулярным.