Выполним качественный анализ динамики диска, который заключается в классификации возможных движений в зависимости от констант первых интегралов. В рассматриваемом случае имеются особенности, существенно усложняющие эту задачу по сравнению со случаем волчка Лагранжа в уравнениях Эйлера-Пуассона. Для единообразия мы рекомендуем ознакомиться с таким анализом случая Лагранжа по книге [2]. Сложность анализа связана с тем, что интегралы движения не выражаются в элементарных функциях (а лишь в специальных), и система не имеет естественного гамильтонова описания. Кроме того, помимо движения апексов тела (диска) необходимо классифицировать траектории точки контакта, которые получаются дополнительными квадратурами квазипериодических функций.

3.1. Бифуркационный анализ приведенной системы

Возможные типы движения оси симметрии тела полностью определяются видом гироскопической функции $P(\theta)$ и уровнем энергии. Критические значения интегралов движения $C_{1}, C_{2}, h$ определяются уравнениями
\[
P(\theta)=0, \quad \frac{d P(\theta)}{d \theta}=0 .
\]

В трехмерном пространстве с координатами $C_{1}, C_{2}, h$ уравнения (3.1) задают трехмерную поверхность, так называемую поверхность регулярных прецессий [2] (см. рис. 3). Это название связано с тем, что при данных значениях интегралов монета совершает движение с фиксированным углом $\theta$ = const, которое является аналогом прецессии для волчка Лагранжа [14]. Полный атлас сечений поверхности регулярных прецессий (бифуркационных диаграмм) плоскостями $C_{1}+C_{2}$ = const и $C_{1}-C_{2}=$ const приведен на рис. 4 и 5 соответственно. На рис. 6 и 7 для двух разных сечений показаны виды гироскопической функции $P(\theta)$ соответствующие различным значениям интегралов $C_{1}, C_{2}, h$.

Рис. 4. Сечения поверхности регулярных прецессий изображенной на рис. 3 плоскостями $C_{1}+C_{2}=$ const.

Пользуясь этими рисунками (и правилом знаков) несложно установить устойчивость соответствующих решений, расположенных на ветвях бифуркационной диаграммы (ветви соответствующие неустойчивым

Рис. 5. Сечения поверхности регулярных прецессий изображенной на рис. 3 плоскостями $C_{1}-C_{2}=$ const.

Рис. 6. Различные типы гироскопической функции для сечения поверхности регулярных прецессий плоскостью $C_{1}+C_{2}=0.08$.

Рис. 7. Различные типы гироскопической функции для сечения поверхности регулярных прецессий плоскостью $C_{1}-C_{2}=0.08$.

решениям изображены на диаграмме пунктиром). На рис. 6 и 7 вертикальными прямыми изображены случаи когда $C_{1}=0$ или $C_{2}=0$. В этих случаях движение диска представляет собой падение, а плоскости задаваемые этими равенствами задают в пространстве интегралов $C_{1}, C_{2}, h$ двумерное многообразие падений. Таким образом почти для всех начальных условий диск не упадет при качении по плоскости.

Другие замечательные движения соответствуют случаям $C_{1}=C_{2}-$ качение диска, и $C_{1}=-C_{2}$ – верчение диска вокруг своей оси, проходящей через диаметр, при котором наклон диска относительно вертикали остается постоянен.

ЗАмЕчАНИЕ 3. Отличие бифуркационной диаграммы (рис. 3, 4, 5) от приводимых в работах $[27,12]$ заключается в том, что вместо значения энергии было взято значение угла наклона соответствующей прецессии $\theta_{0}$, а эта функция не имеет физического смысла для остальных движений (при которых этот угол не сохраняется). Физическим смыслом обладают только точки на поверхности регулярных прецессий. В то же время каждому значению постоянных $C_{1}, C_{2}, h$ в пространстве интегралов на рис. 3 соответствует некоторое движение, вне зависимости попадает ли эта точка на поверхность регулярных прецессий или нет, что важно для качественного анализа.

ЗАМЕЧАНИЕ 4. Одно из сечений трехмерной диаграммы плоскостью $h=$ $=$ const и соответствующие гироскопические функции приведены в работе [22].

3.2. Качественный анализ движения апексов

Поведение углов собственного вращения $\varphi$ и прецессии $\psi$, совместно с $\theta$ определяющих движение апексов, задается соотношениями (2.25) Важной особенностью является то, что поведение каждого из этих углов является двухчастотным, что не является обычным для интегрируемых систем. Так для волчка Ковалевской угол $\psi(t)$ определяется тремя частотами [2]. В данном случае это связано с возможностью двух способов приведения по симметриям системы (2.12), (2.15).

С геометрической точки зрения все пространство переменных $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ расслоено на трехмерные торы, которые определяются как совместные поверхности уровня интегралов $C_{1}, C_{2}, h$ и геометрических интегралов. Движение представляется собой обмотку трехмерного тора с частотами $\omega_{\theta}, \omega_{\varphi}, \omega_{\psi}$ [13]. (Для приведенных систем (2.12) и (2.15) соответствующие торы являются двумерными.)

Вследствие того, что частоты зависят лишь от констант первых интегралов, все движения на торе совершаются с одинаковой частотой, что для неголономных систем неочевидно даже для интегрируемых неголономных систем на двумерных торах имеется неравномерное прямолинейное движение и, вообще говоря, возможно перемешивание (см. статью 14).

Практически тем самым доказана гамильтоновость данной системы в аналитическом смысле (хоты функция Гамильтона может быть отличной от энергии (2.9) [13]. Более того с чисто аналитической точки зрения вблизи неособого тора система является гамильтоновой бесконечным числом способов [6].

ЗАМЕЧАНИЕ 5. Родственное наблюдение было сделано Н. К. Мощуком в [16], который изучал неголономные системы Чаплыгина, обладающие некоторым числом линейных по скоростям первых интегралов.

В тоже время существование естественной (алгебраической) пуассоновой структуры с гамильтонианом, определяемым энергией (2.9) оста-

Рис. 8. Траектории точки контакта диска в абсолютном пространстве при различных значениях интеграла энергии. Параметры системы соответствуют рисунку а). Замкнутые траектории во вращающейся с угловой скоростью $\omega_{\psi}$ системе координат (см. объяснения в тексте) приведены в правом верхнем углу каждого рисунка (за исключением инфинитных движений). На рисунках а) и b) приведены различные типы движения диска при энергии $h=0.86$. Рисунки с) и d) соответствуют энергии $h=0.92217$, при которой одно из движений становится резонансным $\left(\omega_{\theta}=\omega_{\psi}^{(2)}\right)$ и наблюдается вековой уход (рис. d). При увеличении энергии – рисунки е) и f) при $h=0.961$ – оба типа движения снова становятся ограниченными. На рисунке g) приведено движение диска при $h=1.1$, после того как две ОВД, соответствующие различным типам движения сливаются. Инфинитное движение на рисунке $\mathrm{h}$ ) соответствует резонансу $\omega_{\psi}=2 \omega_{\theta}$ при энергии $h=1.18169$. На рисунке і) приведено движение точки контакта диска при дальнейшем увеличении энергии до $h=1.4$.

ется открытым вопросом. Как показано А. В. Борисовым и И.С.Мамаевым, приведенная система (2.19) является гамильтоновой с некоторой алгебраической нелинейной скобкой (см. статью 7), однако возможность ее поднятия на системы (2.12) и (2.15) также до сих пор не выяснена.

3.3. Анализ движения точки контакта

Для анализа движения точки контакта разложим скорость (2.26) в ряд Фурье по времени, тогда из (2.25) следует
\[
\dot{Z}=\sum_{n \in \mathbb{Z}} v_{n} e^{i\left(\omega_{\psi}+n \omega_{\theta}\right) t} .
\]

Интегрируя по времени находим
\[
Z(t)=Z_{0}+e^{i \omega_{\psi} t} \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{v_{n}}{i\left(\omega_{\psi}+n \omega_{\theta}\right)} e^{i n \omega_{\theta} t} .
\]

Таким образом, при $\omega_{\psi}+n \omega_{\theta}
eq 0$, если перейти в систему координат, вращающуюся вокруг точки $Z_{0}$ с угловой скоростью $\omega_{\psi}$, то точка контакта будет описывать некоторую замкнутую кривую см. [10, 13]. Различные типы таких замкнутых кривых и соответствующие им траектории в неподвижном пространстве приведены на рисунке 8.

При резонансе $\omega_{\psi}+n \omega_{\theta}=0$ наблюдается вековой уход точки контакта. Графики частот $\omega_{\psi}(h), \omega_{\theta}(h), \omega_{\varphi}(h)$ при фиксированных значениях интегралов $C_{1}, C_{2}$ приведены на рис. 9. Из них видно, что соотношение $\omega_{\psi}+n \omega_{\theta}=0$ может выполняться как в случае существования одной, так и трех регулярных прецессий. Причем при одной и той же энергии одни начальные условия могут приводить к вековому уходу, а другие нет (см. рис. 8). Так как все частоты зависят только от значений первых интегралов, то соотношение $\omega_{\psi}+n \omega_{\theta}=0$ задает в трехмерном пространстве интегралов некоторое двумерное многообразие соответствующее инфинитным траекториям диска.

Таким образом, для почти всех начальных условий (за исключением указанного многообразия) траектории диска являются ограниченными.

Этот результат можно противопоставить исследованию динамики точки контакта шара Чаплыгина на горизонтальной плоскости (см. [25] или статью 8), где большинство траекторий, наоборот, оказались неограниченными.