Прежде чем рассмотреть следующие случаи движения тела, приведем некоторую общую конструкцию, позволяющую сопоставить уравнениям (1.1), (1.2), (1.3) некоторое точечное взаимно однозначное отображение в трехмерном пространстве. Компьютерный анализ этого отображения, в котором используется численное интегрирование указанной системы при фиксированном значении энергии, позволяет обнаружить и дать наглядную интерпретацию различным возможностям существования меры и интегралов – в их различных комбинациях.

Для построения трехмерного отображения мы используем переменные Андуайе – Депри ( $L, G, H, l, g, h)$, которые систематически использовались в нашей книге [5] для компьютерного (и аналитического исследования) гамильтоновых уравнений Эйлера-Пуассона, Кирхгофа и пр. В отличие от неголономной ситуации в классическом случае эти переменные канонические, и в силу того, что для уравнений типа Эйлера Пуассона всегда имеется интеграл площадей, здесь можно ограничиться двумерными отображениями. Для описанных выше постановок задач

уже не хватает двух интегралов движения, поэтому необходимо использовать трехмерные отображения, к тому же не обязательно обладающие инвариантной мерой (в отличие от гамильтоновой механики). Переход от переменных $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})$ к переменным Андуайе-Депри происходит по известным формулам
\[
\begin{array}{c}
M_{1}=\sqrt{G^{2}-L^{2}} \sin l, \quad M_{2}=\sqrt{G^{2}-L^{2}} \cos l, \quad M_{3}=L, \\
\gamma_{1}=\left(\frac{H}{G} \sqrt{1-\left(\frac{L}{G}\right)^{2}}+\frac{L}{G} \sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \cos g\right) \sin l+\sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \sin g \cos l \\
\gamma_{2}=\left(\frac{H}{G} \sqrt{1-\left(\frac{L}{G}\right)^{2}}+\frac{L}{G} \sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \cos g\right) \cos l-\sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \sin g \sin l \\
\gamma_{3}=\left(\frac{H}{G}\right)\left(\frac{L}{G}\right)-\sqrt{1-\left(\frac{L}{G}\right)^{2}} \sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \cos g,
\end{array}
\]

в которых можно выразить энергию $E=E(L, G, H, l, g)$.
В уравнениях Эйлера-Пуассона величина $H=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})$ является постоянной, для уравнений (1.1), (1.2), (1.3) это уже не так. Фиксируя уровень энергии $E=E_{0}$ и выбирая секущую плоскость, например, в виде $g=$ $=g_{0}=$ const, получаем трехмерное отображение, индуцируемое последовательными пересечениями фазовой траектории с выбранной секущей плоскостью. Мы выводим отображение в переменных $(L / G, H / G, l)$ из соображений его компактности в силу того, что $\left|\frac{L}{G}\right| \leqslant 1,\left|\frac{H}{G}\right| \leqslant 1$. Типич-

Рис. 3. Трехмерное отображение, описанное в п. 4 для случая шара Чаплыгина. На рисунке хорошо видно, что все траектории ложатся на совместные поверхности уровня двух интегралов $H=$ = const и $\boldsymbol{M}^{2}=$ const $\left(I_{1}=1, I_{2}=2\right.$, $I_{3}=3$ )
ные примеры трехмерных отображений приведены на рис. 3,5 , 6,7 . Очевидно, что наличие одного дополнительного интеграла приводит к тому, что траектории ложатся на двумерные инвариантные многообразия точечного отображения, а двух дополнительных

интегралов – к тому, что трехмерное пространство расслоено на инвариантные кривые 3. В общем случае, когда отсутствуют как интегралы, так и мера, возможно сложное поведение траекторий, при котором хаотические движения чередуются с асимптотическими притягивающими свойствами, типичными для диссипативных систем. Отметим также, что переменные $L, G, H, l, g, h$ в отличие от ( $\boldsymbol{M}, \gamma$ ) являются более удобными для анализа трехмерного отображения вследствие того, что в них разделены линейная и угловые компоненты, а также вследствие прозрачного геометрического смысла (см. [5]).

Одним из примеров трехмерного отображения, не сохраняющего меру, но заданного аналитическими формулами, является хорошо известное отображение Смейла-Вильямса, другие могут быть получены при изучении общих (неконсервативных) возмущений двухстепенных гамильтоновых систем.