Наша первая последовательность рисунков (рис. 6) соответствует модели (3) с $f(x)=\cos 2 \pi x$ и значением $g=3.1$, которое следует считать большим, поскольку величину соответствующего увеличивающего коэффициента $\lambda$ можно оценить максимальным значением $\lambda=2 \pi g \approx 19.48$. Первый рисунок из этой последовательности показывает часть плоскости $\mathbb{R}^{2}$, определенную неравенствами $-1.1 \leqslant x \leqslant 1.1,-1.1 \leqslant y \leqslant 1.1$, которая представляет собой развертку тора (см. рис. 5). Число итераций равно $n=$ $=1$. Выберем для этого и для всех последующих рисунков этой последовательности граничное значение $\delta=0.5$.

Следующий ряд рисунков показывает три последовательных шага процесса перенормировки. Начнем с увеличения (рис. 6) области, отмеченной на рис. 5 , увеличим число итераций до $n=2$ (рис. $6 \mathrm{~b}$ ), выберем небольшую область на рис. $6 \mathrm{~b}$ и увеличим ее (рис. $6 \mathrm{c}$ ), затем увеличим число итераций до $n=3$ (рис. 6d), снова выберем область на рис. 6d и увеличим ее (рис. 6e), и, наконец, увеличим число итераций до $n=4$ (рис. 6f).

Сравнивая рис. $6 \mathrm{~d}$ и рис. $6 \mathrm{f}$, можно заметить большое сходство и точно так же для рис. 6с и рис. 6е. Оба рисунка содержат в сущности только два цвета. Черный цвет почти не виден на обоих рисунках, поскольку черные полосы очень тонкие. Напомним, что ширина черных полос, согласно сжимающему свойству, описанному в п. 2 , уменьшается при каждой итерации с коэффициентом $\lambda^{-3}$, в то время как размер ячейки уменьшается с коэффициентом $\lambda^{-1}$. Рисунок выглядит как (неоднородная) шахматная доска, но углы не являются в действительности пересечениями граничных линий. В микроскопическом масштабе можно заметить те же самые квазипересечения что и на рис. 5. Это проиллюстрировано на рис. 7a, перекресток, отмеченный на рис. $6 \mathrm{~d}$, как центр окружности, увеличен и ширина квадрата при этом близка к $1.4 \times 10^{-5}$.

На рис. $7 \mathrm{~b}$ изображено то же, что и на рис. $7 \mathrm{a}$, но после 12 итераций (в то время как для рис. 7 а использовалось 3 итерации). Маленький квадрат на рис. $7 \mathrm{~b}$ в увеличенном виде показан на рис. $7 \mathrm{c}$. На нем можно заметить, как место квазипересечения заполнено «гиперболическими блоками».

Теперь мы должны вспомнить, что обозначают цвета на рисунках. Они показывают знак определителя (11). Структура, подобная шахматной доске, ячейки которой становятся меньше и меньше с увеличением числа итераций, показывает, что векторы базиса $\left\{\vec{e}_{n}^{s}(p), \vec{e}_{n}^{u}(p)\right\}$ поворачиваются очень

Рис. 6. Графики, соответствующие $g=3.1, \delta=0.5$. Области и числа итераций для них приведены в следующем порядке: а) $\left[-0.2383 \pm 3.955 \times 10^{-1}\right] \times[0.2540 \pm$ $\left.3.955 \times 10^{-1}\right], n=1$. b) Область та же, что и в a), $n=2$ c) $[-0.24681 \pm 1.977 \times$ $\left.10^{-2}\right] \times\left[0.27382 \pm 1.977 \times 10^{-2}\right], n=2$ d) Область та же, что и в с), $n=3$. е) $\left[-0.247326 \pm 9.89 \times 10^{-4}\right] \times\left[0.275563 \pm 9.89 \times 10^{-4}\right], n=3$ f) Область та же, что и в е), $n=4$. Области в с) и е) являются увеличениями областей, обозначенных маленькими квадратами на b) и d) соответственно. Площадь вокруг центра окружности, отмеченной на d), показана на рис. $7 \mathrm{a}$

Рис. 7. Графики, соответствующие $g=3.1, \delta=0.5$. Области и числа итераций для них приведены в следующем порядке: а) $\left[-0.23518286 \pm 7.06 \times 10^{-6}\right] \times[0.28809545 \pm$ $\left.7.06 \times 10^{-6}\right], n=3$. b) Область та же, что и в a), $n=12$. c) $[-0.2351771968 \pm 1.513 \times$ $\left.10^{-7}\right] \times\left[0.2880994148 \pm 1.513 \times 10^{-7}\right], n=12$. На рис. с) изображена с увеличением область, отмеченная на b) вблизи правого нижнего угла

Рис. 8. Слева: квазиразбиение линиями нулевых значений $\sin \alpha_{n}$. Положения системы координат, определенной $\vec{e}_{n}^{s}(p), \vec{e}_{n}^{u}(p)$ в различных ячейках сети. Справа: изображение поворотов системы координат в перешейке при использовании $g=2.2 ; n=$ $=11, \delta=0.5$ в области $\left[0.230717083 \pm 1.872 \times 10^{-5}\right] \times\left[0.26928602 \pm 1.872 \times 10^{-5}\right]$.

быстро, когда точка $p$ пересекает площадь, занятую этой структурой. Также эта система координат поворачивается на угол $\pi$, когда $p$ проходит через перешеек квазипересечения (см. рис. 8).

Заметим также, что размеры ячеек квазиразбиения на рис. 8 имеют порядок $e^{-n \chi}$, поскольку противоположные стороны возникают из различных

Рис. 9. Квазипересечение двух линий складок и эффект отображения $F$. а) Линии постоянных значений аргумента $\xi_{n}$ показаны для $n=2$ и $g=2 \cdot 1$. Значения аргумента $\vec{X}_{2}(p)$ для различных линий кратны $\pi / 8$ и перечисляются в порядке пересечения с правой частью рамки сверху вниз: $1,2,3,4$ (линия складки), $5,6,7,8$ (эквивалентно -8), $-7,-6,-5,-4$ (линия складки), $-3,-2,-1$ и затем снова $-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8$. b) Аналогично для $n=3$ с расположением вблизи образа отображения $F$ в случае a). Значения аргументов $\vec{X}_{3}(p)$ для различных линий кратны $\pi / 8$, перечисляются в порядке пересечения с левой частью рамки снизу вверх и проходят от -8 до -1 , затем от 0 до 7 и снова от 7 до 0 . с) Образы линий рисунка а) при действии отображения $F$ в области, изображенной на рисунке b). Показанные линии соответствуют линиям с рисунка а), повернутым почти на $\pi$. Линии с метками -2 и -1 лежат вне изображения.

критических значений функции $f$. Например, стороны, которые параллельны $\vec{e}_{n}^{s}$, переходят в вертикальные полосы на рис. 2 , после применения $F^{n}$. Направления сторон ячейки близки к устойчивому и неустойчивому направлению в центре ячейки. Как говорилось в п. 2, масштабирование с коэффициентом $\lambda^{-1}$ размеров ячеек в квази-разбиении соответствует масштабированию с коэффициентом $\lambda^{-3}$ кривых в углах структуры и размеров перешейков (см. снова рис. 8).