Интересным вопросом является изучение поведения заданной хореографии, периодические решения задачи $N$ тел, когда в (4) изменяется $a$. Рассмотрим сначала задачу четырех тел с малой петлей длиной $[l]=1$ внутри большей петли. Мы знаем, что она существует для сильного взаимодействия, но, по-видимому, не существует для ньютонова потенциала. На рис. 4.3 показана эволюция траекторий при изменении $a$ в потенциале $r^{-a}$. Посмотрим на внутреннюю петлю, с уменьшением $a$ величина петли сначала уменьшается. Первые четыре кривые (в смысле уменьшения размера внутренней петли) соответствуют $a=2,1.4,1.1$ и 1.03445 . Около этого значения происходит бифуркация седло-узел ( $c-y$ ), и семейство может быть продолжено, но для возрастающих значений $a$. Следующие кривые соответствуют $a=1.1,1.2,1.4$ и 1.5373 . Близко к этому последнему значению появляется новый $c y$, и семейство продолжается с убывающим $a$. Позже оно, по-видимому, приближается к двойному столкновению. Заметим, что точка возврата кривой при $a \simeq 1.2$ переходит в очень малую дополнительную петлю при $a=1.4$, а такая же точка при $a=1.5373$ дает еще более малую петлю, повернутую дважды. Следовательно, по-видимому, при $a=1$ невозможно достичь такого решения.
Рис. 4. Несколько семейств для различных потенциалов
С другой стороны, рассмотрим также $N=4$ как показано на рис. 4.1. Посмотрим на малую петлю в верхней части, этим траекториям соответствуют значения $a=2,1.4,1.1$ и 1 . С уменьшением $a$ размер этой петли
уменьшается. Семейство можно продолжить, снова уменьшая $a$, как показано на рис. 4.2, но при $a \simeq 0.98267$ оно имеет $c-y$, и далее продолжение семейства происходит при увеличении $a$. На рисунке приведены решения для значений $a=1,0.98267,1$ и 1.05 . В частности, при $a=1$ есть два очень близких решения, а решение при $a=1.05$ крайне близко к столкновению.

Таким образом, при любом доказательстве существования или несуществования конкретного вида решения следует уметь различать очень близкие значения $a$ с различными свойствами.

Все решения, показанные на рис. 4 , являются минимумами действия, однако при продолжении для $N=5$ возникли седловые точки (см. [3]). Интересный вопрос представляет изучение того, что происходит с траекторией, задающей локальный минимум, когда мы проходим ее несколько раз. В частности, можно рассмотреть правильный $N$-угольник. Я обнаружил, что простейший пример возникает при $N=7$, проходимому дважды. Мы рассматриваем ту же траекторию с периодом $4 \pi$ вместо $2 \pi$. При $a=$ $=1$ (ньютонов случай) она больше не является локальным минимумом. Но близкая орбита (рис.3.10) с двумя слегка отличными петлями уже является локальным минимумом. Она существует для значительной области значений $a$, которая включает интервал [1,2] и значения больше $a=2$. Однако при уменьшении $a$ здесь снова появляется бифуркация $c-y$, близкая к $a=-0.3046$ и продолжение семейства требует увеличения $a$.

Все эти трудности возникают при прохождении вблизи столкновений. Предположим, что $r_{i, j}$ становится малым. Тогда лучше изучить относительное движение, то есть поведение $r_{i, j}(t)$ (или для краткости $r(t)$ ) и вклад этого прохождения в действие. В целях упрощения мы полагаем, что все остальные тела находятся на конечном расстоянии. При подходе к столкновению $r(t)=\alpha t^{\beta} \times(1+o(1))$, где $\beta=2 /(2+a)$ и $\alpha$ также зависит от $a$, вклад в действие, от $r=r^{*}$ до $r=0$, приведен в (6). В ньютоновом случае после прохождения близко от столкновения два тела (двигающиеся близко от вырожденного эллипса), по существу, «отскакивают». Это можно увидеть, используя изменение на $2 \pi$ аргумента $r(t)$. Для произвольного $0<a<2$ изменение аргумента составляет $1 /(2-a)$. Откуда видно, почему при $a=2-1 / n, n \in N$ столкновение можно регуляризовать с помощью отскакивания, а при $a=2-2 /(2 n+1) n \in N-$ с помощью «перекрещивания». В пределе тела совершают целое или полуцелое число обращений вокруг общего центра масс. С приближением к $a=2$ число обращений возрастает. Случай $a \geqslant 2$ ведет себя как «черная дыра» в том, что касается столкновений.

Локальный анализ прохождения, вблизи столкновения, показывает следующее:

Предположим, что мы должны связать две точки $P_{1}$ и $P_{2}$ с малыми $\left|P_{1}\right|=\left|P_{2}\right|$ по сравнению с решением $r_{i, j}(t)$ задачи двух тел с потенциалом $r^{-a}, a \in(0,2)$. Пусть $\delta$ – изменение (при движении тел по орбитам) аргумента $r_{i, j}(t)$ от одной точки к другой. Пусть $A_{\delta}$ – минимум действия вдоль этой траектории, при рассмотрении всех значениий энергии. Мы можем также связать эти две точки, двигаясь от $P_{1}$ к столкновению, и затем к $P_{2}$, согласовав два решения задачи. Тогда действие принимает значение $A_{c}=2 A_{\text {двойное столкновение }}$, которое задано в (6) с $r=\left|P_{1}\right|$.
Утверждение 6.1. $A_{c}<A_{\delta}$ тогда и только тогда, когда $\delta>1 /(2-a)$.
То есть прохождение через столкновение дешевле с точки зрения действия только для больших изменений аргумента $r$. Более того, если $\delta<1 /(2-a)$, то значение $A_{\delta}$ достижимо при $h=0$.

Это, по-видимому, объясняет, почему малая петля внутри большой не может существовать для ньютонова потенциала, как это показано на рис. 4.3.

Форма кривой вызывает изменение аргумента больше допустимого без столкновений значения. Конечно, полное доказательство требует оценки влияния остальных тел. Оно также предполагает
Гипотезу 6.2. Все линейный прямые цепочки существуют при $a=1$.
Есть несколько особых цепочек. При нечетном $N$ мы можем поискать кривую, имеющую форму симметричной восьмерки, при этом в начале координат первоначально находится одно тело. Пример приведен на рис. 3.8 для $N=19$. Еще один особый случай – цепочка с $l_{j}=j, j=1, \ldots, N-2$. В обоих примерах представляется, что кривые стремятся (после соответствующего масштабирования) к некоторому пределу.