Ключевым свойством восьмеркообразного решения является устойчивость. Во-первых, можно вычислить собственные числа отображения Пуанкаре на $\mathcal{C}$, ограниченного на уровень $c=0$. Они равны $\lambda=$ $=\exp \left( \pm 2 \pi \mathrm{i}
u_{j}\right), j=1,2$. Полученные нами численные значения равны $
u_{1} \approx 0.008422724708131$ и $
u_{2} \approx 0.298092529004750$. Малая величина $
u_{1}$ связана с медленной модой, а $
u_{2}$ с быстрой модой. Из всего вышеперечисленного следует линейная устойчивость.

Чтобы получить информацию о нелинейных свойствах, нам нужно представить отображение Пуанкаре вокруг неподвижной точки в виде степенного ряда. Мы знаем, что отображение является аналитическим, ввиду аналитичности векторного поля вдали от столкновений. Одним из возможных путей получения этой информации является интегрирование вариационных уравнений высокого порядка. Формулировки и примеры см. в [7]. Здесь мы успешно применили другой подход: численное дифференцирование.

Хорошо известно, что для функции $F(X), X \in \mathbb{R}^{n}$, компоненты $D^{k} F(X)$ можно аппроксимировать с помощью линейной комбинации значений $F$ в точках сетки вокруг $X$ с шагом $\varepsilon$, взятых с подходящими весами (см., например, [12]). В одинаковом шаге сетки по всем $n$ координатам нет необходимости, но для простоты мы предположим, что это так.

Пусть $\mathcal{D}^{k} F(X, i \varepsilon)$ — значения полученные с помощью этой аппроксимации. Отметим, что в практических целях все компоненты $\mathcal{D}^{k} F(X, \varepsilon)$ вычислялись с использованием одной и той же решетки, и вычислялись лишь те значения, которые действительно необходимы.

Если $F$ принадлежит классу $\mathcal{C}^{k+2}$, тогда если мы выберем формулы численного дифференцирования с обрывом на втором порядке по $\varepsilon$, то для фиксированного $X$ погрешность вычислений имеет вид
\[
\mathcal{E}(\varepsilon):=\left\|\mathcal{D}^{k} F(X, \varepsilon)-D^{k} F(X)\right\| \approx A \varepsilon^{2}+B / \varepsilon^{k} .
\]

Здесь $A$ и $B$ связаны с границами $\left\|D^{k+2} F\right\|$ в окрестности $X$ и с ошибками, возникающими при вычислении значений $F$ на использованной сетке. Очевидно, что они зависят от $k$. Эти значения можно оценить, используя сетки с различными значениями $\varepsilon$.

В представленной задаче эта процедура была реализована автоматически. Переменная $X$ состоит из параметров в $\mathcal{C}:\left(\dot{x}_{2}, \dot{y}_{2}, \dot{x}_{3}, \dot{y}_{3}\right)$. В соответствии со сказанным, мы можем сравнить $\mathcal{E}\left(\varepsilon_{1}\right)$ с $\mathcal{E}\left(\varepsilon_{2}\right)$, используя $\varepsilon_{2}=\gamma \varepsilon_{1}, \gamma \in\left(\gamma_{0}, \gamma_{1}\right), 0<\gamma_{0}<\gamma_{1}<1$ для последовательности значений $\varepsilon_{1}$. В качестве представления этих разностей $\Delta \mathcal{E}\left(\varepsilon_{1}\right)$ мы используем максимум значений, полученных для всех компонентов $\mathcal{D}^{k} F\left(X, \varepsilon_{1}\right)-\mathcal{D}^{k} F\left(X, \varepsilon_{2}\right)$. Результат мы получим в виде
\[
\Delta \mathcal{E}\left(\varepsilon_{1}\right) \approx \hat{A} \varepsilon^{2}+\hat{B} / \varepsilon^{k},
\]

где $\hat{A}$ и $\hat{B}$ отличаются от $A$ и $B$ на постоянный множитель, зависящий от $\gamma$.
На рис. 8 вверху слева показаны результаты, полученные при использовании в качестве $X$ точки, соответствующей восьмеркообразному решению и отображения Пуанкаре в качестве $F$. На рисунке мы строим график оцениваемых значений $\log |\Delta \mathcal{E}(\varepsilon)|$ в зависимости от $|\log \varepsilon|$. При малых $\varepsilon$ коэффициент наклона равен $k$, в то время как для больших $\varepsilon$ он должен равняться -2 . На рис. 8 сплошная линия и линия плюсов показывает результаты, полученные с учетверенной точностью для значений $k=1, \ldots, 15$, в то время как пунктирная линия соответствует двойной точности и значениям $k=1, \ldots, 11$. Можно проверить, что совпадение с предсказанным поведением является превосходным.

Наилучшие оценки компонентов $D^{k} F(X)$ получены для таких значений $\varepsilon$, при которых значение $|\Delta \mathcal{E}(\varepsilon)|$ минимально. Очевидно, что для различных $k$ оптимальными являются различные значения $\varepsilon$. Пусть $\varepsilon_{k}-$ оптимальное значение для порядка $k$. Предположим аналитичность (как в рассматриваемом случае), и что наибольший коэффициент порядка $k$ ряда

Рис. 8. Вверху: слева поведение оценок ошибки численного дифференцирования в зависимости от $k$ и $\varepsilon$. Справа: поведение оптимальной величины шага в зависимости от порядка. Внизу: границы ошибок модели в зависимости от порядка в различных областях

Тейлора ведет себя как $c d^{k}$ с некоторыми положительными константами $c$ и $d$, тогда получим формулу
\[
\log \varepsilon_{k} \approx \alpha+\frac{\beta}{k+2},
\]

где $\alpha, \beta$ — положительные константы. Такое поведение отмечено на рис. 8 вверху справа. Это довольно интересно, поскольку благодаря этому мы получаем хорошие предсказания для значений $\varepsilon_{k}$, поэтому необходимо проверить лишь несколько значений $\varepsilon$ для каждого $k$. Графики представленные здесь используют слишком много значений $\varepsilon$ лишь с целью иллюстрации.

Аппроксимировав коэффициенты представления отображения Пуанкаре в виде ряда Тейлора вплоть до некоторого порядка $k$, мы получаем простую аналитическую модель. Мы можем получить оценки ошибок, возникающих при использовании модели вокруг точки Е вместо прямого использования отображения Пуанкаре. Эти ошибки могут быть оценены на сетке в сфере радиуса $\rho$ на $\mathcal{C}$. Результаты представлены на рис. 8 внизу. Мы строим график $\log _{10}$ (максимальная ошибка) в зависимости от $k$ для $\rho=0.001 \times 2^{j}, j=-2, \ldots, 6$. Различные значения $\rho$ соответствуют различным линиям снизу вверх. Результаты, представленные на графике были получены с использованием учетверенной точности, но они не слишком отличаются (за исключением тех случаев когда $\rho$ очень мало) от результатов, полученных с использованием двойной точности.

Следует отметить, что ошибки, связанные с образами трех неподвижных точек $\mathrm{H} 1, \mathrm{H} 2$ и $\mathrm{H} 3$ в рассматриваемой модели меньше $10^{-12}$ при использовании разложения до девятого порядка. При использовании более высокого порядка никаких дальнейших улучшений не происходит. Даже для $\rho=0.06$ можно получить ошибки порядка $10^{-6}$.
Отсюда возникают два следствия:
— При использовании модели получение нормальной формы является рутинной операцией. То, что используемые координаты не являются симплектическими, не имеет значения. В частности использование модели с разложением до третьего порядка позволяет сделать вывод, что закручивание является невырожденным. Следовательно, можно применить КАМ-теорему, которая гарантирует, что большая часть «видимых» торов в модели действительно существуют.
— Хорошее качество модели в окрестности, включающей точку Е и три точки Н позволяет построить полуглобальную модель, т. е. модель, верную в сравнительно большой области. В частности, в этой модели можно проверить свойства устойчивости точек Н. Приближенно определяются следы, т.е. значения ${ }^{t} r_{1}=\lambda_{1}+\lambda_{1}^{-1}, t r_{2}=\lambda_{2}+\lambda_{2}^{-1}$, где $\lambda_{1}, \lambda_{1}^{-1}, \lambda_{2}, \lambda_{2}^{-1}$ — собственные значения дифференциала отображения Пуанкаре, вычисленного в точках Н. Прямым вычислением получаем значения
\[
t r_{1} \approx 2.008387735062189, \quad t r_{2} \approx-0.588955402202053 .
\]

Из этих значений очевидно, что точки $\mathrm{H}$ имеют гиперболическоэллиптический тип. Собственные значения равны
\[
\begin{array}{c}
\lambda_{1} \approx 1.095874419378570, \\
\lambda_{2}=\exp \left(2 \pi \mathrm{i}
u_{3}\right),
u_{3} \approx 0.297572835261762 .
\end{array}
\]

Мы можем сделать вывод, что отображение Пуанкаре вблизи Е имеет 4 неподвижные точки: три в вершинах треугольника и одну в центре. Эти точки близки к 2D подмногообразию. В остальных направлениях мы, в сущности, имеем закручивающее отображение. Как уже упоминалось, отображение Пуанкаре близко к произведению. Также отметим, что 1D инвариантные многообразия точек Н почти «совпадают» с гомоклиническими пересечениями. Расстояние между этими многообразиями экспоненциально мало относительно расстояния между точками, которое в рассматриваемом случае мало. Это подтверждает контрастность границ, показанную на рис. 3 вверху справа. Точки внутри произведения «треугольника» на круг остаются внутри области (за исключением эффектов диффузии Арнольда и малого несовпадения многообразий, которые являются экспоненциально малыми). С другой стороны, начальные данные за пределами треугольника приводят к быстрому уходу за пределы области.

Границы области устойчивости вблизи Е являются устойчивым/ неустойчивым многообразиями центрального многообразия точек Н. Когда мы двигаемся вдоль границы уходя от точки Е несовпадение многообразий становится более значимым, что видно на рис. 2. Похоже, что это является разумным объяснением наблюдаемого поведения.