Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Перед описанием визуализирующего метода давайте обратимся к описанию использованной нами модели и к ее свойствам. Следуя Карлесону [3], будем рассматривать отображение $F 2$-тора $\mathbb{T}^{2}=\mathbb{R}^{2} / \mathbb{Z}^{2}$ на самого себя определенное формулой Здесь $f$ – гладкая вещественнозначная периодическая функция периода 1 , имеющая конечное число критических точек на периоде, а $g$ – параметр. Будем предполагають, что все критические точки являются невырожденными. Это отображение сохраняет площадь. Оно может служить в качестве хорошей модели для изучения стохастических явлений в консервативной динамике [4],[3]. Заметим, что при $g=0$ отображение является поворотом на $\pi / 2$. Пусть $h-$ первообразная функции $f$. Если $g$ мало, тогда $F^{4}$ близко к потоку гамильтониана $H(x, y)=h(x)+h(-x)+h(y)+h(-y)$ по времени $g$. Разумеется, если $f$ четная, как в нашем случае, то слагаемые порядка $g$ в выражении $F^{4}-I d$ сократятся и необходимо перейти ко второму порядку. Тогда, если $f$ четна, то $F^{4}$ близко к потоку гамильтониана $H(x, y)=f(x) f(y)$ по времени $g^{2}$. Некоторые свойства этого отображения в другом контексте рассматривались в $\$ 3.4$ [2]. В частности похоже, что для любого значения $g$ отображение не имеет инвариантных кривых вращения, т. е. инвариантных кривых, которые не стягиваются в точку на торе, в противоположность тому, что происходит для стапдартіого отображения Чирикова. Рис. 2. График функции $f$ с двумя критическими точками $c_{1}, c_{2}$. Полосы в фазовом пространстве со слабыми гиперболическими свойствами, возникающие после первой итерации отображения (3), показаны на правой части рисунка Отображение (1) является частным случаем отображения (3) при $f(x)=\cos 2 \pi x$ и $g=0.2$. Как видно из рис. 1 , это отображение может демонстрировать хаотическое движение. Численные эксперименты показыают, что доля хаотического движения возрастает при возрастании параметра $g$ (см. к примеру рис. 11e). Для больших значений параметра хаотическая компонента визуально заполняет почти все фазовое пространство за исключением, возможно, нескольких маленьких островов (см. [16]). Можно попытаться рассмотреть большие значения $g$ и создать некоторого рода «асимптотическую» теорию хаоса. Гиперболичность, которая отвечает за наличие хаотического движения, согласно Песину, возникает благодаря касательному отображению, матрица которого в точке $p=(x, y)$ имеет вид Матрицу (4) можно разложить в произведение матрицы линейного гиперболического отображения и двух матриц поворота на один и тот же угол $\alpha$ : где $\lambda-\lambda^{-1}=g f^{\prime}(x)$ и $\tan \alpha=\lambda^{-1}$. Наш метод заключается в изучении образов $\xi_{n}=F^{n} \xi_{0}$, получающихся при итерациях гладкого слоения $\xi_{0}$ под действием отображения $F$. Выберем в качестве $\xi_{0}$ слоение горизонтальными линиями $y=$ const. Первое наблюдение заключается в том, что после первой итерации в слоении возникают складки. Это те точки, в которых $\xi_{1}$ вертикально. Линия складок для $\xi_{1}$ (или в общем случае для $\xi_{n}$ ) – это геометрическое место точек, в которых $\xi_{1}$ вертикально. Каждая складка соответствует критической точке $f$. Чтобы объяснить это, давайте представим отображение $F$, заданное (3), как суперпозицию двух отображений: $F=F_{2} \circ F_{1}$, где Рис. 3. Возникновение складок после первой итерации Рсзультаты послсдоватсльного примснсния отображсний $F_{1}$ и $F_{2}$ показаны на рис. 3 . Первое отображение $F_{1}$ создает складки в ветикальном направлении (см. рис. 3), а второе отображение $F_{2}$ поворачивает результат на $\pi / 2$. Заметим, что в случае больших $g$ касательное направление (в проективном смысле) $\xi_{1}$ близко к касательному направлению $\xi_{0}$ за исключением узких горизонтальных полос, которые являются образами критических вертикальных полос, показанных на рис. 2. Что происходит со складками, если мы производим дальнейшие итерации? Каждая складка сжимается, и это сжатие можно разложить на две операции различной природы: (2) Геометрическое сжатие. Каждый угол после применения диагонального линейного отображения сжимается с коэффициентом $\lambda^{-2}$ (см. рис. 4). Если мы регулируем изображение с помощью измерения угла между линиями и горизонтальным направлением, мы должны уменьшить размер полосы с указанным коэффициентом $\lambda^{-2}$ для того, чтобы увидеть внутри полосы то же самое отклонение от горизонтального направления. Идея доказательства существования гиперболической структуры заключается в проведении всех итераций, исключении всех «плохих» полос и в получении сходимости касательных направлений (в проективном смысле) к неустойчивым направлениям ( $n \rightarrow \infty$ ) на дополнении к плохим полосам. Дополнение должно иметь большую меру, если $g$ велико.
|
1 |
Оглавление
|