Перед описанием визуализирующего метода давайте обратимся к описанию использованной нами модели и к ее свойствам. Следуя Карлесону [3], будем рассматривать отображение $F 2$-тора $\mathbb{T}^{2}=\mathbb{R}^{2} / \mathbb{Z}^{2}$ на самого себя определенное формулой
\[
F:\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}
g f(x)-y \\
x
\end{array}\right) .
\]

Здесь $f$ — гладкая вещественнозначная периодическая функция периода 1 , имеющая конечное число критических точек на периоде, а $g$ — параметр. Будем предполагають, что все критические точки являются невырожденными. Это отображение сохраняет площадь. Оно может служить в качестве хорошей модели для изучения стохастических явлений в консервативной динамике [4],[3]. Заметим, что при $g=0$ отображение является поворотом на $\pi / 2$. Пусть $h-$ первообразная функции $f$. Если $g$ мало, тогда $F^{4}$ близко к потоку гамильтониана $H(x, y)=h(x)+h(-x)+h(y)+h(-y)$ по времени $g$. Разумеется, если $f$ четная, как в нашем случае, то слагаемые порядка $g$ в выражении $F^{4}-I d$ сократятся и необходимо перейти ко второму порядку. Тогда, если $f$ четна, то $F^{4}$ близко к потоку гамильтониана $H(x, y)=f(x) f(y)$ по времени $g^{2}$. Некоторые свойства этого отображения в другом контексте рассматривались в $\$ 3.4$ [2]. В частности похоже, что для любого значения $g$ отображение не имеет инвариантных кривых вращения, т. е. инвариантных кривых, которые не стягиваются в точку на торе, в противоположность тому, что происходит для стапдартіого отображения Чирикова.

Рис. 2. График функции $f$ с двумя критическими точками $c_{1}, c_{2}$. Полосы в фазовом пространстве со слабыми гиперболическими свойствами, возникающие после первой итерации отображения (3), показаны на правой части рисунка

Отображение (1) является частным случаем отображения (3) при $f(x)=\cos 2 \pi x$ и $g=0.2$. Как видно из рис. 1 , это отображение может демонстрировать хаотическое движение. Численные эксперименты показыают, что доля хаотического движения возрастает при возрастании параметра $g$ (см. к примеру рис. 11e). Для больших значений параметра хаотическая компонента визуально заполняет почти все фазовое пространство за исключением, возможно, нескольких маленьких островов (см. [16]). Можно попытаться рассмотреть большие значения $g$ и создать некоторого рода «асимптотическую» теорию хаоса. Гиперболичность, которая отвечает за наличие хаотического движения, согласно Песину, возникает благодаря касательному отображению, матрица которого в точке $p=(x, y)$ имеет вид
\[
F^{\prime}(p)=\left(\begin{array}{cc}
g f^{\prime}(x) & -1 \\
1 & 0
\end{array}\right) .
\]

Матрицу (4) можно разложить в произведение матрицы линейного гиперболического отображения и двух матриц поворота на один и тот же угол $\alpha$ :
\[
\left(\begin{array}{cc}
g f^{\prime}(x) & -1 \\
1 & 0
\end{array}\right)=R(\alpha)\left(\begin{array}{cc}
\lambda & 0 \\
0 & \lambda^{-1}
\end{array}\right) R(\alpha),
\]

где $\lambda-\lambda^{-1}=g f^{\prime}(x)$ и $\tan \alpha=\lambda^{-1}$.
Если координата $x$ точки $p$ не близка к критической точке $f$, тогда, предполагая, что параметр $g$ велик, можно вычислить, что $F^{\prime}(p)$ близка к диагональной гиперболической матрице с большой величиной $\lambda$ на первой позиции в диагонали и с $\lambda^{-1}$ на второй позиции. Видно, что отображение $F$ показывает хорошие гиперболические свойства повсюду на фазовом пространстве, за исключением узких полос, где $x$ близко к критической точке $f$ (см. рис. 2).

Наш метод заключается в изучении образов $\xi_{n}=F^{n} \xi_{0}$, получающихся при итерациях гладкого слоения $\xi_{0}$ под действием отображения $F$. Выберем в качестве $\xi_{0}$ слоение горизонтальными линиями $y=$ const. Первое наблюдение заключается в том, что после первой итерации в слоении возникают складки. Это те точки, в которых $\xi_{1}$ вертикально. Линия складок для $\xi_{1}$ (или в общем случае для $\xi_{n}$ ) — это геометрическое место точек, в которых $\xi_{1}$ вертикально. Каждая складка соответствует критической точке $f$. Чтобы объяснить это, давайте представим отображение $F$, заданное (3), как суперпозицию двух отображений: $F=F_{2} \circ F_{1}$, где
\[
F_{1}:\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right) \longmapsto\left(\begin{array}{c}
x \\
y-g f(x)
\end{array}\right), \quad F_{2}=R(\pi / 2):\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right) \longmapsto\left(\begin{array}{c}
-y \\
x
\end{array}\right) .
\]

Рис. 3. Возникновение складок после первой итерации
Рис. 4. Сжатие угла с коэффициентом $\lambda^{-2}$

Рсзультаты послсдоватсльного примснсния отображсний $F_{1}$ и $F_{2}$ показаны на рис. 3 .

Первое отображение $F_{1}$ создает складки в ветикальном направлении (см. рис. 3), а второе отображение $F_{2}$ поворачивает результат на $\pi / 2$. Заметим, что в случае больших $g$ касательное направление (в проективном смысле) $\xi_{1}$ близко к касательному направлению $\xi_{0}$ за исключением узких горизонтальных полос, которые являются образами критических вертикальных полос, показанных на рис. 2.

Что происходит со складками, если мы производим дальнейшие итерации? Каждая складка сжимается, и это сжатие можно разложить на две операции различной природы:
(1) Динамическое сжатие. Это означает, что любой квадрат, содержащий складку, становится прямоугольником после применения линейного отображения с диагональной матрицей вида $\left(\begin{array}{ll}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1}\end{array}\right)$ (напомним, что вдали от критической линии из представления (5) мы получаем матрицу, близкую к диагональной) и все вертикальные расстояния тем самым подвергаются сжатию с коэффициентом $\lambda^{-1}$.

(2) Геометрическое сжатие. Каждый угол после применения диагонального линейного отображения сжимается с коэффициентом $\lambda^{-2}$ (см. рис. 4). Если мы регулируем изображение с помощью измерения угла между линиями и горизонтальным направлением, мы должны уменьшить размер полосы с указанным коэффициентом $\lambda^{-2}$ для того, чтобы увидеть внутри полосы то же самое отклонение от горизонтального направления.
Общий коэффициент сжатия для кривых, в котором учитываются оба механизма, равен $\lambda^{-3}$. Это будет проиллюстрировано позже на рис. 8, 9 .

Идея доказательства существования гиперболической структуры заключается в проведении всех итераций, исключении всех «плохих» полос и в получении сходимости касательных направлений (в проективном смысле) к неустойчивым направлениям ( $n \rightarrow \infty$ ) на дополнении к плохим полосам. Дополнение должно иметь большую меру, если $g$ велико.