Перед описанием визуализирующего метода давайте обратимся к описанию использованной нами модели и к ее свойствам. Следуя Карлесону [3], будем рассматривать отображение $F2$-тора ${\mathbb{T}}^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ на самого себя определенное формулой
$$F:\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}gf(x)-y\\ x\end{array}\right).$$

Здесь $f$ — гладкая вещественнозначная периодическая функция периода 1 , имеющая конечное число критических точек на периоде, а $g$ — параметр. Будем предполагають, что все критические точки являются невырожденными. Это отображение сохраняет площадь. Оно может служить в качестве хорошей модели для изучения стохастических явлений в консервативной динамике [4],[3]. Заметим, что при $g=0$ отображение является поворотом на $\pi /2$. Пусть $h-$ первообразная функции $f$. Если $g$ мало, тогда $F^4$ близко к потоку гамильтониана $H(x,y)=h(x)+h(-x)+h(y)+h(-y)$ по времени $g$. Разумеется, если $f$ четная, как в нашем случае, то слагаемые порядка $g$ в выражении $F^4-Id$ сократятся и необходимо перейти ко второму порядку. Тогда, если $f$ четна, то $F^4$ близко к потоку гамильтониана $H(x,y)=f(x)f(y)$ по времени $g^2$. Некоторые свойства этого отображения в другом контексте рассматривались в $\mathrm{\$}3.4$ [2]. В частности похоже, что для любого значения $g$ отображение не имеет инвариантных кривых вращения, т. е. инвариантных кривых, которые не стягиваются в точку на торе, в противоположность тому, что происходит для стапдартіого отображения Чирикова.

Рис. 2. График функции $f$ с двумя критическими точками $c_1,c_2$. Полосы в фазовом пространстве со слабыми гиперболическими свойствами, возникающие после первой итерации отображения (3), показаны на правой части рисунка

Отображение (1) является частным случаем отображения (3) при $f(x)=\cos 2\pi x$ и $g=0.2$. Как видно из рис. 1 , это отображение может демонстрировать хаотическое движение. Численные эксперименты показыают, что доля хаотического движения возрастает при возрастании параметра $g$ (см. к примеру рис. 11e). Для больших значений параметра хаотическая компонента визуально заполняет почти все фазовое пространство за исключением, возможно, нескольких маленьких островов (см. [16]). Можно попытаться рассмотреть большие значения $g$ и создать некоторого рода «асимптотическую» теорию хаоса. Гиперболичность, которая отвечает за наличие хаотического движения, согласно Песину, возникает благодаря касательному отображению, матрица которого в точке $p=(x,y)$ имеет вид
$$F^{\prime }(p)=\left(\begin{array}{cc}g{f}^{\prime }(x)& -1\\ 1& 0\end{array}\right).$$

Матрицу (4) можно разложить в произведение матрицы линейного гиперболического отображения и двух матриц поворота на один и тот же угол $\alpha$ :
$$\left(\begin{array}{cc}g{f}^{\prime }(x)& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=R(\alpha )\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& {\lambda }^{-1}\end{array}\right)R(\alpha ),$$

где $\lambda -{\lambda }^{-1}=g{f}^{\prime }(x)$ и $\tan \alpha ={\lambda }^{-1}$.
Если координата $x$ точки $p$ не близка к критической точке $f$, тогда, предполагая, что параметр $g$ велик, можно вычислить, что $F^{\prime }(p)$ близка к диагональной гиперболической матрице с большой величиной $\lambda$ на первой позиции в диагонали и с ${\lambda }^{-1}$ на второй позиции. Видно, что отображение $F$ показывает хорошие гиперболические свойства повсюду на фазовом пространстве, за исключением узких полос, где $x$ близко к критической точке $f$ (см. рис. 2).

Наш метод заключается в изучении образов ${\xi }_n=F^n{\xi }_0$, получающихся при итерациях гладкого слоения ${\xi }_0$ под действием отображения $F$. Выберем в качестве ${\xi }_0$ слоение горизонтальными линиями $y=$ const. Первое наблюдение заключается в том, что после первой итерации в слоении возникают складки. Это те точки, в которых ${\xi }_1$ вертикально. Линия складок для ${\xi }_1$ (или в общем случае для ${\xi }_n$ ) — это геометрическое место точек, в которых ${\xi }_1$ вертикально. Каждая складка соответствует критической точке $f$. Чтобы объяснить это, давайте представим отображение $F$, заданное (3), как суперпозицию двух отображений: $F=F_2\circ F_1$, где
$$F_1:\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)⟼\left(\begin{array}{c}x\\ y-gf(x)\end{array}\right),F_2=R(\pi /2):\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)⟼\left(\begin{array}{c}-y\\ x\end{array}\right).$$

Рис. 3. Возникновение складок после первой итерации
Рис. 4. Сжатие угла с коэффициентом ${\lambda }^{-2}$

Рсзультаты послсдоватсльного примснсния отображсний $F_1$ и $F_2$ показаны на рис. 3 .

Первое отображение $F_1$ создает складки в ветикальном направлении (см. рис. 3), а второе отображение $F_2$ поворачивает результат на $\pi /2$. Заметим, что в случае больших $g$ касательное направление (в проективном смысле) ${\xi }_1$ близко к касательному направлению ${\xi }_0$ за исключением узких горизонтальных полос, которые являются образами критических вертикальных полос, показанных на рис. 2.

Что происходит со складками, если мы производим дальнейшие итерации? Каждая складка сжимается, и это сжатие можно разложить на две операции различной природы:
(1) Динамическое сжатие. Это означает, что любой квадрат, содержащий складку, становится прямоугольником после применения линейного отображения с диагональной матрицей вида $\left(\begin{array}{ll}\lambda & 0\\ 0& {\lambda }^{-1}\end{array}\right)$ (напомним, что вдали от критической линии из представления (5) мы получаем матрицу, близкую к диагональной) и все вертикальные расстояния тем самым подвергаются сжатию с коэффициентом ${\lambda }^{-1}$.

(2) Геометрическое сжатие. Каждый угол после применения диагонального линейного отображения сжимается с коэффициентом ${\lambda }^{-2}$ (см. рис. 4). Если мы регулируем изображение с помощью измерения угла между линиями и горизонтальным направлением, мы должны уменьшить размер полосы с указанным коэффициентом ${\lambda }^{-2}$ для того, чтобы увидеть внутри полосы то же самое отклонение от горизонтального направления.
Общий коэффициент сжатия для кривых, в котором учитываются оба механизма, равен ${\lambda }^{-3}$. Это будет проиллюстрировано позже на рис. 8, 9 .

Идея доказательства существования гиперболической структуры заключается в проведении всех итераций, исключении всех «плохих» полос и в получении сходимости касательных направлений (в проективном смысле) к неустойчивым направлениям ( $n\to \mathrm{\infty }$ ) на дополнении к плохим полосам. Дополнение должно иметь большую меру, если $g$ велико.