В начале на рис. 1 показана восьмеркообразная траектория (вверху слева) в том виде, в котором она впервые была получена, т. е. с начальными условиями на оси $x$ в Эйлеровой конфигурации. Также как и для бо́льшей части вычислений в статье полная энергия имеет фиксированное значение, равное $h=-1 / 2$. Восьмеркообразное решение существует при нулевом значении интеграла кинетического момента $c=0$. Общая масса равна 1 . Положим, что три тела равной массы пронумерованы $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ слева направо. Начальные условия:
\[
\begin{array}{c}
E: \dot{x}_{3} \approx 0.7494421910777922289898659, \\
\dot{y}_{3} \approx 1.1501789857502275024030202 .
\end{array}
\]

Тогда $\dot{x}_{1}=\dot{x}_{2}=-\frac{1}{2} \dot{x}_{3}, \dot{y}_{1}=\dot{y}_{2}=-\frac{1}{2} \dot{y}_{3}$. Координаты (на оси $x$ ) можно определить из значений интегралов энергии, кинетического момента и центра масс, если известны значения скоростей. Период равен $T \approx$ $1.676118923759279 .$. При необходимости будем ссылаться на эту траекторию, как на траекторию Е.

Рис. 1. Слева вверху: восьмеркообразное решение с начальными условиями в эйлеровой конфигурации на оси $x$. Справа: Одна из трех гиперболическо-эллиптических сопутствующих траекторий. Внизу: путь одного из тел на полностью эллиптической траектории (сплошная линия) и на гиперболическо-эллиптических траекториях (пунктирные линии). См. раздел 5

При вычислениях систематически использовался метод рядов Тейлора. Большая часть вычислений была проделана с двойной точностью и при этом оптимальный порядок обычно был примерно равен 24 (см. [11]). Некоторые вычисления были проделаны с учетверенной точностью.

После соответствующего поворота, восьмеркообразное решение становится симметричным относительно обеих осей $x$ и $y$. Я не знаю, является ли эта кривая алгебраической или трансцендентной. Кривая близка к аффинному преобразованию лемнискаты, но графики все-таки различаются. Принимая во внимание симметрии, можно попробовать аппроксимацию кривой алгебраическими кривыми вида
\[
f(x, y)=\sum_{k=1}^{m} \sum_{j=0}^{k} c_{2(k-j), 2 j} x^{2(k-j)} y^{2 j}=0
\]

для различных значений $m$ и при некоторой нормализации (например, $c_{2,0}=$ $=1$ ). При использовании значений $m=2,3,4$ величина максимальной ошибки меньше $1,3 \times 10^{-4}, 1,7 \times 10^{-7}$ и $5 \times 10^{-9}$ соответственно. Даже при $m=2$ невозможно отличить восьмерку от $f(x, y)=0$ без использования увеличения.

Вблизи восьмеркообразной траектории при сохранении равенства масс были найдены еще три дополнительных периодических траектории. В этих решениях три тела движутся по другим восьмеркообразным кривым. Обозначим эти траектории символами $\mathrm{H} 1, \mathrm{H} 2$ и Н3. Для них начальные условия имеют вид:
\[
\begin{aligned}
H 1: \dot{x}_{3, H 1} & \approx 0.758816280668459, & \dot{y}_{3, H 1} \approx 1.147934258554521, \\
\dot{x}_{2, H 1} & \approx-0.400093163024594, & \dot{y}_{2, H 1} \approx-0.587915312382955, \\
H 2: \dot{x}_{3, H 2} & =\dot{x}_{3, H 1}, & \dot{y}_{3, H 2}=\dot{y}_{3, H 1}, \\
\dot{x}_{2, H 2} & =\dot{x}_{1, H 1}, & \dot{y}_{2, H 2}=\dot{y}_{1, H 1}, \\
H 3: \dot{x}_{3, H 3} & \approx 0.731439355699435, & \dot{y}_{3, H 3} \approx 1.155504509033398, \\
\dot{x}_{2, H 3} & =-\frac{1}{2} \dot{x}_{3, H 3}, & \dot{y}_{2, H 3}=-\frac{1}{2} \dot{y}_{3, H 3},
\end{aligned}
\]

координаты (снова на оси $y=0$ ) определяются по этим значениям также как и раньше. Мы обнаруживаем, что $\mathrm{H} 1$ и $\mathrm{H} 2$ симметричны друг другу относительно перестановки тел $m_{1}$ и $m_{2}$. С другой стороны Н3 имеет общие с Е начальные условия: $\dot{x}_{2}=-\frac{1}{2} \dot{x}_{3}, \dot{y}_{2}=\frac{1}{2} \dot{y}_{3}$. Все три траектории $\mathrm{H}$ имеют общий период $T \approx 1.676119195947797$. Фактически, все три траектории получаются из одной из них с помощью подходящих поворотов. Действительно, при использовании трансверсального сечения $\mathcal{C}$ (см. следующий раздел), получаем, что три Н траектории и Е траектория являются неподвижными точками шестого порядка отображения первого возвращения на сечение. В подходящих нормализованных координатах три Н точки находятся в вершинах равностороннего треугольника с центром в точке Е.