В этом параграфе мы рассмотрим случай переменных масс, при этом снова возьмем значения $h=-1/2,c=0$ энергии и кинетического момента. В качестве подходящего сечения будем использовать $\mathcal{C}$. Нас интересует эволюция периодических траекторий в зависимости от масс тел и, главным образом, свойство устойчивости. После изменения величин масс периодические траектории больше не будут хореографиями.

Рассмотрим массы как барицентрические координаты в равностороннем треугольнике с вершинами в точках $(0,0),(1,0),(1/2,\sqrt{3}/2)$. Координаты точки треугольника представлены в виде $(\mu ,u)$. Значения $({\mu }_0,u_0)=$ $=(1/2,\sqrt{3}/6)$ соответствуют случаю равных масс, эту точку в пространстве масс мы обозначим как М. По заданным $(\mu ,u)$ массы восстанавливаются следующим образом $m_3=2u/\sqrt{3},m_2=\mu -m_3/2,m_1=1-m_2-m_3$.

Локально вблизи М также существуют четыре периодических траектории и они имеют тот же тип, что и в точке М. Как мы увидим в дальнейшем, нам следует ограничиться очень маленькой областью вокруг $\mathrm{M}$, если нас интересуют устойчивые траектории. Следовательно, одно из собственных значений всегда остается эллиптическим (быстрая мода). Мы сконцентрируем наши усилия на изучении другой моды. Когда мы ссылаемся на след, мы имеем ввиду след связанный с этой (медленной) модой.

Рис. 9. Слева: область на треугольнике масс, где периодические траектории являются устойчивыми. Справа: график следа близюого к двум в зависимости от масс для части треугольника. Проекция этой части также показана слева

На рис. 9 слева показана область на треугольнике масс вблизи М, на которой траектория, полученная эволюцией точки Е, является полностью эллиптической. Другие три траектории все еще существуют в этой области и являются гиперболическо-эллиптическими. Ввиду симметрии в пространстве масс достаточно исследовать, что происходит в одной шестой треугольника. Однако для лучшей иллюстрации мы рассмотрим полосу на треугольнике, покрывающую почти его половину и вычислим на ней периодические траектории и связанный с ними след. В правой части рисунка показан след на рассматриваемой полосе. Ясно, что при приближении к крайней левой вершине треугольника след стремится к двум. При движении к этой вершине вдоль $m_1=m_3$ мы имеем такое же поведение, как на передней линии правого графика.

Для начала отметим, что треугольник очень маленький. На прямой $\mu =1/2(m_1=m_2)$ нижняя вершина отстоит от центра треугольника на $\mathrm{\Delta }{u}_{-}=-2.32\times {10}^{-5}$. Центральная точка верхней стороны отстоит от центра на $\mathrm{\Delta }{u}_{+}=0.77\times {10}^{-5}$. Это означает, что минимальные и максимальные значения масс в треугольнике примерно равны $\approx 0.33330654$ и $\approx 0.33334673$, соответственно.

Рис. 10. Слева: проекции следов в зависимости от $u$ для значений $\mu$ из отрезка $[0.499979,0.5]$ с шагом ${10}^{-6}$. Справа: аналогичная проекция ${\dot{x}}_2$ в зависимости от $u$. Отметим, что различные дуги в правой части проектируются на одну и ту же линию в левой части
Рис. 11. Трехмерный вид рисунка 10
Вдоль границы треугольника возникает эллиптически-гиперболическая бифуркация, на каждой стороне треугольника гиперболические траектории является различными. Для лучшего понимания этой бифуркации на рис. 10 изображены следы всех траекторий полученных эволюцией точек Е и Н, на различных слоях $\mu =$ ctant. Сплошная линия, видимая в нижней части рисунка 10 слева, и соответствующая $\mu =1/2$, изгибается при $u=u_0+\mathrm{\Delta }{u}_{+}$ и идет вверх вблизи верхнего левого угла. В нижней части, в точке $u=u_0+$ $+\mathrm{\Delta }{u}_{-}$(т. е. в вершине треугольника) возникает еще одна бифуркация. Это бифуркация типа вилки. Двигаясь слева направо вдоль кривой на графике, мы переходим от гиперболической траектории к эллиптической плюс две
гиперболических траектории. На этом графике обе новых гиперболических траектории имеют одинаковую проекцию. Чтобы увидеть это, см. различные проекции на правой части рис. 10.

Когда $\mu$ уходит от $1/2$ соответствующие кривые на левой части рис. 10 либо не имеют бифуркаций, либо имеют две эллиптическо-гиперболических бифуркации. Всегда существуют (по крайней мере не слишком далеко от $M$ ) две гиперболических периодических траектории полученных эволюцией траекторий, существовавших в точке $\mathrm{M}$, а четыре решения существуют только внутри треугольника. На рис. 11 показан трехмерный вид следа в зависимости от ( $\mu ,u)$ (слева) и от ( ${\dot{x}}_2,u)$ (справа).
Рис. 12. Области устойчивости для близких масс. Величины масс см. в тексте
Какое действие изменения масс оказывают на области устойчивости, подобные тем, которые показаны на рис. 2? Мы видели, что для равных масс область устойчивости относительно велика. Разумеется, когда полностью эллиптическая траектория отсутствует (вне треугольника, показанного на рис. 9), все устойчивые объекты, которые достаточно близки к Е, должны исчезнуть. Эффект малых изменений $(\mu ,u)$ является весьма значительным. Уже при очень малых изменениях (порядка ${10}^{-5}$ ) возникает некоторое уменьшение области устойчивости. На рис. 12 показаны некоторые случаи. Верхний левый рисунок соответствует случаю $m_1=m_2$ и бифуркации типа вилки. Верхний правый рисунок соответствует случаю $m_1=m_2$ и эллиптическо-гиперболической бифуркации. Изменения параметра относительно равных масс на графиках внизу слева и справа равны $(\mathrm{\Delta }\mu ,\mathrm{\Delta }u)=(-1,-4)\times {10}^{-5}$ и $(-3,-5)\times {10}^{-5}$ соответственно.

Приведем здесь некоторые данные сделанных вычислений: при использовании очень грубой сетки с шагом 0.005 в обеих направлениях в диапазоне $[0,2]$ число точек остающихся в области после 5000 полных итераций отображения Пуанкаре равно (слева направо и сверху вниз) 1741, 1991, 1545 and 1338 , соответственно. Отметим, что эти значения примерно равны $1\mathrm{\%}$ точек рис. 2 , где использовалась сетка с шагом 0.0005 .

Ограничиваясь случаем $\mu =0.5$, получаем, что эти данные несколько меньше при $\mathrm{\Delta }u=\pm {10}^{-4}$, когда число остающихся точек примерно равно 1000 . Их остается несколько сотен, когда $\mathrm{\Delta }u$ равно примерно $\pm {10}^{-3}$, и, в сущности, ни одной точки не остается при $|\mathrm{\Delta }u|$ порядка ${10}^{-2}$.