Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике В этом параграфе мы рассмотрим случай переменных масс, при этом снова возьмем значения $h=-1 / 2, c=0$ энергии и кинетического момента. В качестве подходящего сечения будем использовать $\mathcal{C}$. Нас интересует эволюция периодических траекторий в зависимости от масс тел и, главным образом, свойство устойчивости. После изменения величин масс периодические траектории больше не будут хореографиями. Рассмотрим массы как барицентрические координаты в равностороннем треугольнике с вершинами в точках $(0,0),(1,0),(1 / 2, \sqrt{3} / 2)$. Координаты точки треугольника представлены в виде $(\mu, Локально вблизи М также существуют четыре периодических траектории и они имеют тот же тип, что и в точке М. Как мы увидим в дальнейшем, нам следует ограничиться очень маленькой областью вокруг $\mathrm{M}$, если нас интересуют устойчивые траектории. Следовательно, одно из собственных значений всегда остается эллиптическим (быстрая мода). Мы сконцентрируем наши усилия на изучении другой моды. Когда мы ссылаемся на след, мы имеем ввиду след связанный с этой (медленной) модой. Рис. 9. Слева: область на треугольнике масс, где периодические траектории являются устойчивыми. Справа: график следа близюого к двум в зависимости от масс для части треугольника. Проекция этой части также показана слева На рис. 9 слева показана область на треугольнике масс вблизи М, на которой траектория, полученная эволюцией точки Е, является полностью эллиптической. Другие три траектории все еще существуют в этой области и являются гиперболическо-эллиптическими. Ввиду симметрии в пространстве масс достаточно исследовать, что происходит в одной шестой треугольника. Однако для лучшей иллюстрации мы рассмотрим полосу на треугольнике, покрывающую почти его половину и вычислим на ней периодические траектории и связанный с ними след. В правой части рисунка показан след на рассматриваемой полосе. Ясно, что при приближении к крайней левой вершине треугольника след стремится к двум. При движении к этой вершине вдоль $m_{1}=m_{3}$ мы имеем такое же поведение, как на передней линии правого графика. Для начала отметим, что треугольник очень маленький. На прямой $\mu=1 / 2\left(m_{1}=m_{2}\right)$ нижняя вершина отстоит от центра треугольника на $\Delta Рис. 10. Слева: проекции следов в зависимости от $ Когда $\mu$ уходит от $1 / 2$ соответствующие кривые на левой части рис. 10 либо не имеют бифуркаций, либо имеют две эллиптическо-гиперболических бифуркации. Всегда существуют (по крайней мере не слишком далеко от $M$ ) две гиперболических периодических траектории полученных эволюцией траекторий, существовавших в точке $\mathrm{M}$, а четыре решения существуют только внутри треугольника. На рис. 11 показан трехмерный вид следа в зависимости от ( $\mu, Приведем здесь некоторые данные сделанных вычислений: при использовании очень грубой сетки с шагом 0.005 в обеих направлениях в диапазоне $[0,2]$ число точек остающихся в области после 5000 полных итераций отображения Пуанкаре равно (слева направо и сверху вниз) 1741, 1991, 1545 and 1338 , соответственно. Отметим, что эти значения примерно равны $1 \%$ точек рис. 2 , где использовалась сетка с шагом 0.0005 . Ограничиваясь случаем $\mu=0.5$, получаем, что эти данные несколько меньше при $\Delta
|
1 |
Оглавление
|