Мы выяснили, что удобным сечением Пуанкаре является сечение $Q_{2}=0\left(\dot{Q}_{2}>0\right)$, изображаемое на плоскости $Q_{1}$ и $P_{1}$. На рис. 4 представлены сечения Пуанкаре для различных энергий при положительных $c_{H}$. На всех рисунках орбиты, изображенные слева, являются обратными. Видно, что некоторые орбиты, лежащие на торах (которые изображены на рисунках в виде инвариантных кривых), могут частично располагаться как в левой так и в правой частях рисунка. Такие орбиты носят обратный характер.

При $h \approx 0\left(c_{H} \rightarrow \infty\right)$ начало координат является устойчивой неподвижной точкой. Когда $c_{H}$ становится положительной конечной величиной, на сечении Пуанкаре появляются две устойчивые неподвижные точки. Эти точки соответствуют п.о. Хилла. Правая точка соответствует луноподобной орбите и является прямой п.о. Левая неподвижная точка соответствует обратному движению Луны. При увеличении энергии торы, соответствующие прямым движениям, деформируются быстрее, чем обратные.

Правая устойчивая неподвижная точка испытывает бифуркацию типа «вилки» при $h \approx 0.0523785$. При этом она становится неустойчивой и появляются две новые устойчивые луноподобные орбиты. Бифуркация типа

Рис. 4. 1000 итераций сечения Пуанкаре $Q_{2}=0$ для нескольких начальных условий. Слева направо и сверху вниз: a) $h=0.001\left(c_{H}=13.572089\right)$; b) $h=0.053\left(c_{H}=\right.$ $=4.4647393) ;$ c $\left.) h=0.0555\left(c_{H}=4.3296356\right) ; \mathrm{d}\right) h=0.0558\left(c_{H}=4.3254802\right)$; e) $h=0.057\left(c_{H}=4.2533402\right) ;$ f) $h=0.065\left(c_{H}=3.8967671\right)$. Итерации в левой части всех рисунков соответствуют обратным орбитам вилки показана на рис. 5. На рис. 9 (в декартовых переменных) эта бифуркация изображена как $e$-семейство. Отметим, что бифуркация происходит до того, как КНС размыкается. Бифурцировавшие семейства п. о. заканчиваются на траекториях столкновения и могут быть продолжены далее, если допустить наличие дополнительных петель. Более детально это обсуждается в следующих разделах, вместе с детальным описанием большинства п. о. малого периода при энергиях, меньших критической ( $h<\frac{1}{18}$ ).

Рис. 5. Бифуркация типа «вилки» при $h=0.0523785$ после которой появляются две устойчивые лунообразные орбиты. При этом исходная орбита становится неустойчивой. В физических переменных см. рис. 9 и рис. 11 для $h<\frac{1}{18}$

После бифуркации типа «вилки», при увеличении энергии правая область становится все более и более хаотичной. Фактически, если оставить в стороне малые островки регулярности, соответствующие устойчивым бифурцировавшим семействам, динамика становится полностью хаотичной в области, имеющей вид кленового листа, как показано на рис. 4c. Все это происходит до размыкания КНС и появления ляпуновских решений. Обратите внимание, как меняется число итераций в «кленовом листе» при переходе от рис. 4 с к рис. $4 \mathrm{~d}$ когда энергия увеличивается с $h \approx 0.0555$ до $h \approx 0.0558$, т. е. при не очень большом ее изменении. Разница в рисунках объясняется «бегством» траекторий через «дыры», которые появляются в

Рис. 6. Две п. о. с числом вращения $\frac{1}{6}$ при $h=0.0541$. Также на рисунке изображена п. о. с $\rho=\frac{3}{19}$

КНС. Однако после «размыкания» КНС некоторая часть этого стохастического слоя снова начинает демонстрировать все более регулярное поведение (организовываться), и справа (рис. 4е) появляются довольно большие острова устойчивости (преимущественно периода пять). Другие точки из ранее хаотической области «убегают» на бесконечность (см. рис. 4d-f).

На рис. 6 показано необычное множество п. о. Две п. о. с числом вращения $\frac{1}{6}$ выглядят как множество из 12 островов. Они соответствуют энергии $h=0.0541$. Конечно, такое поведение системы можно создать теоретически с помощью нормальных форм, однако интересно обнаружить его в такой классической задаче, как задача Хилла. Эта задача демонстрирует множество бифуркаций, которые очень далеки от обычных, даже если мы примем во внимание симметрии задачи, что и проиллюстрировано на рис. 6. Далее в п. 6 будет обсуждаться появление незакручивающих инвариантных кривых и их роль в образовании стохастического слоя при $h<\frac{1}{18}$.

Интересную особенность демонстрирует левая неподвижная точка отображения Пуанкаре (рис.7). Она очень устойчива, и как уже было замечено, соответствует «обратным лунам». Численные эксперименты показывают, что она существует при сколь угодно больших отрицательных Рис. 7. 1000 итераций сечения Пуанкаре $Q_{2}=0$ для нескольких начальных условий, иллюстрирующих очень устойчивую обратную п.о. слева на рис. 4. Слева направо и сверху вниз: а) $c_{H}=0.62996052(h=1.0)$; b) $c_{H}=0.02137470(h=160)$; c) $c_{H}=$ $=0.01(h=500)$; d) $c_{H}=-0.5(h=1.41421356)$; e) $c_{H}=-2.0(h=0.17677670)$; f) $c_{H}=-4.0(h=0.0625)$.

значениях константы Якоби. При стремлении $c_{H}$ к $0^{+}(h \rightarrow \infty)$ в точке $c_{H}=0.0123884,(h=261.928)$ она проходит резонанс $1-3$, и треугольник после уменьшения его до нуля становится направленным в другую сторону. Обратите внимание на изменения на рис. $7 \mathrm{a}-\mathrm{c}$ и разницу в масштабах. Инвертированный треугольник продолжает расти до нового прохождения резонанса 1-3 (при $c_{H}=-1.411618, h=0.298122$ ), при котором треугольник сокращается до нуля, а затем неограниченно растет при $c_{H} \rightarrow-\infty$ $(h \rightarrow 0)$. Рис. 7е и $\mathrm{f}$ иллюстрируют такое поведение после второго прохождения резонанса. Случай $c_{H}=0(h \rightarrow \infty)$ является необычным только с точки зрения масштабного преобразования координат, и фактически никаких интересных особенностей в этой точке не наблюдается (см. рис. 8).

При прохождении константой $c_{H}$ значений от $\infty$ до $-\infty$ след матрицы монодромии, обратной п.о. Хилла, изменяется от двух и снова до двух, проходя через минимум $\approx-1.382066$ при $c_{H} \approx-0.66084$ ( $h \approx 0.93073$ ). Это сильно контрастирует с тем, что происходит с прямой хилловской орбитой, устойчивой при малых $h$, но затем теряющей устойчивость вследствие бифуркации типа «вилки».

В конце этого раздела мы обсудим поведение орбит, когда член $\frac{1}{r}$, возникающий в (5), становится малым, т. е. частица движется на относительно больших расстояниях от второго тела. Использование гамильтониана (5) упрощает уравнения, кроме того, он более близок к интерпретациям ОЗТT. Запишем уравнения второго порядка:
\[
\ddot{q}_{1}=2 \dot{q}_{2}+3 q_{1}: \quad \ddot{q}_{2}=-2 \dot{q}_{1} .
\]

Для того, чтобы найти симметричные п.о., проинтегрируем (19) с начальными условиями $q_{2}=\dot{q}_{1}=0$ при $t=0$. Решение при этом имеет вид:
\[
\begin{array}{cc}
q_{1}=d+a \cos (t), & q_{2}=-2 a \sin (t)-\frac{3}{2} d t, \\
\dot{q}_{1}=-a \sin (t), & \dot{q}_{2}=-2 a \cos (t)-\frac{3}{2} d .
\end{array}
\]

Параметры $a$ и $d$ в (20) связаны уравнением $c_{H}=-a^{2}+\frac{3}{4} d^{2}$. Ясно, что п. о. появляется, если и только если $d=0$. Тогда $a=\sqrt{-c_{H}}$, знак выбирается таким образом, чтобы при $t=0$ выполнялось $\dot{q}_{2}<0$. При использовании полного гамильтониана орбита немного изменится. С помощью численного продолжения можно показать, что рассматриваемая орбита является обратной п.о. и принадлежит к семейству обратных п.о. Хилла, рождающихся при $h=0$. Для подобных орбит с $\dot{q}_{2}>0$ при $t=0$, должно выполнятся $d
eq 0$, следовательно в этом случае они не могут быть периодическими. Таким образом, хилловские прямые п.о. должны проходить вблизи второго тела при $c_{H}<0$ и больших $\left|c_{H}\right|$, это и яляется источником неустойчивости.