Для того чтобы уменьшить громоздкость обозначений, введем обозначения $\left(Q_{1}, Q_{2}, P_{1}, P_{2}\right)=\left(x, y, p_{x}, p_{y}\right)$. На сечении Пуанкаре $\Sigma$, определенном равенством $y=0$, ( $\left.H=h, p_{y}>0\right)$ п.о. являются неподвижными точками с координатами $(x, 0)$. Используя откорректированную по времени матрицу монодромии $M$, можно рассчитать дифференциал отображения Пуанкаре $D_{z} \mathscr{P}\left(x, p_{x}\right)\left(\boldsymbol{z}=\left(x, p_{x}\right)\right)$.

Сначала опишем простой, чисто численный метод вычисления инвариантных многообразий, неподвижных точек или п.о., который будет проиллюстрирован на примере п.о. Используя методы, представленные в [15], можно получить локальное аналитическое представление этих многообразий в виде рядов Тейлора по амплитуде п.о. и по некоторому параметру вдоль многообразия, коэффициенты которых суть ряды Фурье по углу вдоль п.о. Такое разложение также позволяет представить главное собственное значение и частоту, как функции амплитуды. По существу, выражения для

Рис. 17. Слева: неустойчивое многообразие ляпуновских орбит вокруг $L_{1}$ (в физических переменных) с начальным условием $x=0.6265940$. Заметим, что оно довольно далеко от столкновений при прохождении около Земли. Справа: неустойчивое относительно столкновений многообразие (в ЛЧ-переменных, при $h=0.07033103$ ) до первого столкновения. Соответствующее сечение Пуанкаре приведено на рис. $21 \mathrm{e}$

орбиты и вариации частоты даются процедурой Линштедта. Глобализация многообразий может быть получена введением требования инвариантности. Условие на вариацию собственного значения получается на уровне вариаций первого порядка.

Собственный вектор дифференциала отображения Пуанкаре $v_{u}$, соответствующий собственному значению $\lambda_{u}>1$, является касательным к сечению $W_{p . o .}^{U} \cap y=0$, то есть сечению неустойчивого многообразия. Это позволяет рассмотреть линейное приближение для $W_{p . o}^{U}$. Рассмотрим сегмент $\boldsymbol{z}+\varepsilon \boldsymbol{v}_{u}$ в направлении $\boldsymbol{v}_{u}$, где $\varepsilon=\varepsilon_{0} \exp \left(-p \log \lambda_{S}\right), p \in[0,1)$. При изменении $p$ в промежутке $[0,1)$ мы покрываем фундаментальную область $W_{p . o .}^{U} \cap y=0$, что гарантирует правильное расположение образа этой области. Затем начальные условия на фундаментальной области продолжаются с помощью численного интегрирования гамильтоновых уравнений. Эта процедура дает численное приближение $W_{p . o .}^{U}$. Будем говорить о ней, как о численной глобализации инвариантных многообразий. Затем мы можем получить желаемое сечение Пуанкаре, которое необязательно совпадает с сечением, использованным при нахождении п.о.
Симметрия $S_{2}$, заданная вторым уравнением (21) вместе с симметри-

Рис. 18. Сечение Пуанкаре $y=0$ устойчивых (пунктирная линия) и неустойчивых (сплошная линия) многообразий п.о. вокруг $L_{1}$ и $L_{2}: c_{H}=4.32639940$ ( $h=$ $=0.055562284$ ) при $x= \pm 0.69192741$ соответственно. Слева направо и сверху вниз: а) 10 срезов (1 – локальный срез) показывающих гомоклинические точки п.о. вокруг $L_{1}$; b) то же самое для п.о. вокруг $L_{2}$ (1 – первый нелокальный срез); c) гетероклинические точки; d) объединение четырех многообразий (число срезов удвоено) плюс часть близлежащей КАМ-структуры

ями, порожденными двойным накрытием ЛЧ-преобразования, могут быть просуммированы следующим образом:
\[
\begin{array}{lllll}
g_{1}: & \left(x, y, p_{x}, p_{y}, t\right), & \text { Сечение: } & \left(y=0, p_{y}>0\right) & W_{L_{1}}^{U} ; \\
g_{2}: & \left(-x, y, p_{x},-p_{y},-t\right), & \text { Сечение: } \quad\left(y=0, p_{y}<0\right) & W_{L_{1}^{\prime}}^{S} ;
\end{array}
\]

\begin{tabular}{lllll}
$g_{3}:$ & $\left(y, x,-p_{y},-p_{x},-t\right)$, & Сечение: & $\left(x=0, p_{x}<0\right)$ & $W_{L_{2}}^{S} ;$ \\
$g_{4}:$ & $\left(-y, x,-p_{y}, p_{x}, t\right)$, & Сечение: & $\left(x=0, p_{x}>0\right)$ & $W_{L_{2}}^{U} ;$ \\
$g_{5}:$ & $\left(y,-x, p_{y},-p_{x}, t\right)$, & Сечение: & $\left(x=0, p_{x}<0\right)$ & $W_{L_{2}^{\prime}}^{U} ;$ \\
$g_{6}:$ & $\left(-y,-x, p_{y}, p_{x},-t\right)$, & Сечение: & $\left(x=0, p_{x}>0\right)$ & $W_{L_{2}^{\prime}}^{S} ;$ \\
$g_{7}:$ & $\left(x,-y,-p_{x}, p_{y},-t\right)$, & Сечение: & $\left(y=0, p_{y}>0\right)$ & $W_{L_{1}}^{S} ;$ \\
$g_{8}:$ & $\left(-x,-y,-p_{x},-p_{y}, t\right)$, & Сечение: & $\left(y=0, p_{y}<0\right)$ & $W_{L_{1}^{\prime}}^{U}$.
\end{tabular}

Таблица строится с использованием генераторов $g_{2}$ и $g_{3}$ и содержит подробности, проанонсированные в разделе 7. Мы можем сделать четыре сечения каждого витка орбит, стартующих на фундаментальном интервале, описанном выше, для ляпуновских орбит вблизи $L_{1}$. Затем мы автоматически размещаем каждое пересечение в соответствующий ему виток многообразия, полученный с помощью вышеприведенной таблицы. Любое пересечение, если потребуется, может затем быть переведено в физические переменные. В этом случае мы получим только две неподвижные точки и четыре инвариантных многообразия (см. рис. 3). Два примера неустойчивых многообразий показаны на рис. 17 в физических и ЛЧ-переменных. На рис. $17 \mathrm{~b}$ показано неустойчивое многообразие, проходящее через солкновение.

На рис. 18 показаны 10 срезов сечением $y=0$ малых ляпуновских орбит вблизи $L_{1}$ при $x= \pm 0.69192741$ и $h=0.055562528\left(c_{H}=4.326386673\right)$. Гомоклинические срезы $W_{p . o .}^{U}$ и $W_{p . o}^{S}$ вблизи $L_{1}$ и $L_{2}$ показаны на рис. 18 а и $18 \mathrm{~b}$ соответственно. Заметим, что не существует гомоклинических пересечений на первых четырех срезах, которые имеют сходные характеристики благодаря вышеописанным симметриям. На рис. 18 с изображены гетероклинические пересечения. Они начинаются раньше, чем в предыдущем случае – уже на втором срезе. Заметим, что срез, помеченный цифрой 1 вблизи оси $x$, является локальным срезом устойчивого и неустойчивого многообразий $L_{1}$, одновременно такая же метка обозначает первое прохождение многообразий $L_{2}$ через сечение. И, наконец, на рисунке $18 \mathrm{~d}$ показаны 20 срезов четырех многообразий с двумя КАМ-островами в центре и внешней КАМ-структурой. Удваивая число срезов, заметим, что срезы устойчивых/неустойчивых многообразий покрывают большую область. Три среза каждого из восьми исходных многообразий в ЛЧ переменных, из которых составлен рисунок 18 , представлены на рис. 19. ляпуновские орбиты, 1-4 соответствуют $L_{1}, L_{2}, L_{1}^{\prime}$ и $L_{2}^{\prime}$ соответственно. Первая цифра, присутствующая в метках, соответствует номеру многообразия, за ней следуют «u» (неустойчивый) или «s» (устойчивый) и номер отрезка. Как и ранее, срез 1 – локальный срез устойчивого и неустойчивого многообразий ляпуновской п.о. вблизи $L_{1}$.

Рис. 19. Три среза четырех многообразий из рисунка 18. Первое число соответствует многообразию, а второе – пересечению. Рисунок приведен в ЛЧ-переменных

На рис. 20a и b показано одно и то же сечение Пуанкаре в физических и ЛЧ-переменных соответственно при $h=0.057107310\left(c_{H}=4.2482189\right)$. На рисунках приведены только прямые траектории. Ясно, что, не говоря уже о возможности численного расчета траекторий вблизи столкновений, регуляризованные переменные деформируют орбиты более подходящим образом. На рис. 21 a-f показана эволюция рассмотренных ранее срезов и КАМструктуры. Как ожидалось и как показано на рис. $18 \mathrm{a}-\mathrm{c}$, срезы устойчивых и неустойчивых многообразий становятся тоньше и длиннее с увеличением номера отрезка. При увеличении $h$ (уменьшении $c_{H}$ ) первые срезы также становятся больше и больше и наконец пересекают друг друга. Говоря «первый срез», мы подразумеваем первый нелокальный срез, как на рис. 18. Так или иначе, вся структура срезов до некоторого значения энергии остается справа от главной оставшейся КАМ-структуры, заполняя стохастическую зону в виде кленового листа. Некоторые типичные примеры показаны на рис. $21 \mathrm{a}-\mathrm{d}$.

Рис. 20. Инвариантные многообразия при $c_{H}=4.2482189(h=0.05710310)$. Слева направо: а) в физических переменных присутствует 6 срезов неустойчивых и устойчивых многообразий; b) в ЛЧ-переменных 24 среза, распределенных по восьми многообразиям.

При малых значениях энергии инвариантные устойчивые и неустойчивые многообразия ляпуновских п.о. не связаны с этой стохастичностью, так как она появляется до размыкания КНС (см. рис.4). Как было показано в п. 6, ее порождает другой механизм. Отметим некоторые ключевые факты для бо́льших значений энергии. Когда устойчивые/неустойчивые многообразия проходят через столкновение, происходит смена топологии. Срезы начинают переходить на левую сторону сечения Пуанкаре и «охватывают» все сохранившиеся КАМ-торы. Это происходит при $h=h_{C_{1}}^{*}=0.07033103$, рис. 21 е. Неустойчивое многообразие до первого столкновения показано на рис. $17 \mathrm{~b}$. Конечно, орбиты столкновения появляются немногим ранее, если мы разрешаем существование больших частей $W_{p . o . L_{1}}^{U}$ (см. далее). Заметим, что второй срез многообразий, в форме языка, увеличивает часть, которая в конце концов идет на левую сторону сечения, к прохождению столкновения. На рис. $21 \mathrm{f}$ показаны многообразия .тпуновских п.о. при $h=0.09305603$ после столкновения, когда они охватывают оставшиеся КАМ-торы. На самом деле, даже при меньших значениях энергии некоторая часть КАМструктуры ограничена этими многообразиями. Мы имеем в виду острова, рожденные вследствие бифуркации типа «вилки», которые сохраняются даже после размыкания КНС до того момента, когда они в конце концов будут «раздавлены» многообразиями ляпуновских орбит.

Другое интересное явление показано на рис. $21 \mathrm{~b}$ и с. Стохастическая зона вновь реорганизуется и появляются острова периода пять. Вспомним из п. 6 , что период 5 не представлен при $h<\frac{1}{18}$. Однако п.о. с наибольшим числом вращения вблизи хилловской (теперь уже неустойчивой) прямой орбиты, имеют $\rho$, очень близкое к $\frac{1}{5}$. Такой же период предсказывается формой кленового листа хаотической зоны при $h=\frac{1}{18}$. Устойчивые/неустойчивые многообразия должны испытать топологическое изменение, чтобы «предоставить место» 5 -периодическим островам.

Вернемся к пересечениям п.о. вблизи $L_{1}$ со столкновениями. Они происходят при $h=h_{C_{1}}^{*}$, если мы ищем только первое прохождение $W_{p . o . L_{1}}^{U}$ вблизи гравитирующего тела (см. рис. 17 справа). Если разрешены дальнейшие прохождения, они произойдут при меньших, но требующих дальнейших рассмотрений значениях $h: h_{C_{k}}^{*}: k=2,3, \ldots$ В пределе можно искать критическое значение $h$, для которого инвариантная кривая, проходя через начало координат (в ЛЧ-переменных), разрушается. Альтернативная процедура – поиск столкновительных орбит как инвариантных многообразий. Это может быть достигнуто с использованием некоторых других временных масштабов. Рассмотрим цилиндр орбит столкновений, само же столкновение является окружностью $\mathbb{S}^{1}$. Значения угла на $\mathbb{S}^{1}$ соответствуют направлениям, вдоль которых происходит столкновение. После этого мы можем рассматривать упомянутые выше пересечения как гетероклинические орбиты из п.о. вблизи $L_{1}$ к столкновительному многообразию начала координат. Используя подходящие сечения, можно искать пересечения соответствующих многообразий.