Напомним действие группы Клейна $\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$ на $\mathbb{R} / \bar{T} \mathbb{Z}$ и $\mathbb{R}^{2}$. Если $\sigma$ и $\tau$ – образующие, то
\[
\sigma \cdot t=t+\frac{\bar{T}}{2}, \tau \cdot t=-t+\frac{\bar{T}}{2}, \sigma \cdot(x, y), \tau \cdot(x, y)=(x,-y)
\]

Лемма 6. После симметризации в соответствии с эквипотенциальной кривой Эйлера на форм-сфере минимизирующая траектория х определяет периодическую петлю $\bar{T}=12 T$ (все еще называемую $x$ ), с нулевым моментом количества движения, которая с точностью до сдвига времени и вращения пространства, имеет вид
\[
x(t)=(q(t), q(t+\bar{T} / 3), q(t+2 \bar{T} / 3)),
\]

описанный в теореме.
Доказательство леммы 6 состоит из трех шагов.
Шаг 1. Заметим, что минимизирующая дуга ортогональна обоим многообразиям $E_{3}$ и $M_{1}$, ограничивающим ее концевые точки. Это следует из граничного члена, появляющегося в формуле для первой вариации действия.

Шаг 2. Заметим, что при отражении этой дуги относительно одного из трех меридианов или экватора мы получим еще одну дугу, минимизирующую действие, дугу с переставленными условиями концевых точек; например, с $E_{i}$ и $I_{k}$ вместо $E_{3}$ и $M_{1}$. Используя эти отражения, строим полностью замкнутую кривую решения в приведенном конфигурационном пространстве. Оно состоит из 12 частичных дуг, все они конгруэнтны нашей первоначальной точке минимума. Ортогональность обеспечивает их гладкое соединение друг с другом, таким образом образуя единственное решение.

Рассмотрим теперь более подробно эту процедуру. Ввиду того что отражение относительно меридиана $M_{1}$ является симметрией приведенного действия (и следовательно, уравнений) и так как минимизирующая дуга
ортогональна меридиану в его концевой точке, когда мы продолжаем решение, представленное дугой через меридиан $M_{1}$, то результат окажется тот же самый, как если бы мы отразили его относительно меридиана и затем обратили направление времени. То есть $x(\bar{T} / 12+t)=s_{1}(x(\bar{T} / 12-t))$, где $s_{1}$ – отражение относительно меридиана $M_{1}$, и где $\bar{T}=12 T$ будет периодом полной орбиты. ( $T$ – время, которое требуется, чтобы попасть на меридиан.)

Отражение $s_{1}$ можно выполнить в инерциальной плоскости следующим образом: в момент времени $T=\bar{T} / 12$ треугольник является равнобедренным типа $M_{1}$ и, следовательно, имеет зеркальную симметрию $\tau$. Выберем координаты в $\mathbb{R}^{2}$ так чтобы $\tau(x, y)=(x,-y)$, т.е. так, чтобы перпендикуляр, делящий пополам грань, соединяющую тела 2 и 3, являлся осью $x$. Пусть $S_{1}\left(x_{1}, x_{3}, x_{2}\right)$ – операция перестановки масс 2 и 3 . Тогда $s_{1}=S_{1} \circ \tau=\tau \circ S_{1}$.

Таким образом, получили решение от $E_{3}$ до $E_{2}$ за время $2 T=\bar{T} / 6$. С помощью аналогичного рассуждения для продолжения этой дуги решения за $E_{2}$ мы должны выполнить полуповорот $H_{2}$ относительно $E_{2}$ и обратить время: $x(-t)=H_{2}(x(t))$. Полуповорот – это симметрия действия, являющаяся композицией отражения относительно экватора и отражения относительно меридиана $M_{2}$. В инерциальной системе оно соответствует перестановке масс 1 и 3 , и затем выполнению инерциального полуповорота $\sigma \circ \tau(x, y)=(-x,-y)$ относительно начала координат.

Таким образом, получаем дугу решения от $E_{3}$ до $E_{1}$ за время $4 T=$ $=\bar{T} / 3$.

Продолжая далее, используя соответствующие отражения или полуповороты вокруг экватора, мы строим гладкую кривую в приведенном конфигурационном пространстве, которое состоит из 12 конгруэнтных арок, чередующихся парами выше и ниже экватора. Таким образом получаем $\bar{T}$-периодическую по модулю вращения траекторию, имеющую ту же симметрию, что и эквипотенциальная кривая.

Шаг 3. До сих пор мы рассматривали проекции нашей кривой решения на приведенное конфигурационное пространство. Достроим теперь полную кривую в $\mathcal{X}$, т.е. включающую инерциальные движения, и докажем, что получившаяся кривая удовлетворяет всем свойствам, описанным в теореме. Выполним доказательство, используя правило площадей и симметрии кривой для реконструирования первсначальной динамики по приведенной.

На рис. 3 показаны сегменты приведенной орбиты на форм-сфере и ожидаемая реконструированная орбита в инерциальной системе.

Рис. 3.

Правило плошадей позволяет нам восстановить движение тел в инерциальной плоскости, по кривой, представляющей это движение на формсфере. Предположим, что кривая на форм-сфере замкнута. Тогда исходный и конечный треугольники в плоскости подобны. Угол вращения, который связывает эти два треугольника с точностью до масштаба, равен удвоенной сферической площади, ограниченной замкнутой кривой. (Площадь сферы радиуса $1 / 2$ равна $\pi$. Множитель 2 в формуле площади обеспечивает хорошо определенный ответ по модулю $2 \pi$.) Доказательство правила площадей см., например, в [9], а также в указанных там работах. Если напротив, кривая формы не замкнутая, а начинается и кончается на экваторе, соответствующем коллинеарным конфигурациям, то мы замыкаем ее, перемещаясь «назад» вдоль экватора от концевой точки до исходной. А затем вычисляем двойную площадь со знаком, окруженную этой замкнутой кривой. Для любой кривой нулевого количества движения на форм-сфере она равняется углу между двумя линиями в инерциальной плоскости, которые содержат исходную и конечную конфигурации ${ }^{2}$. Наконец, если кривая начинается или
${ }^{2}$ Существует два способа сомкнуть кривую в петлю в зависимости от способа, которым мы перемещаемся по экватору. Оба подобным образом вычисленные угла отличаются на $\pi$, что равно двум площадям полусферы радиуса одна вторая. Однако это не представляет затруд

заканчивается на одном из наших трех равнобедренных меридианов, мы можем рассчитать угол между начальной и конечной осью симметрии равнобедренного треугольника, двигаясь вверх или вниз по соответствующему меридиану, а затем вдоль экватора, чтобы замкнуть кривую и вычислить площадь.
Рис. 4.
Тот факт, что снабженные знаком площади, показанные на рисунке, равны нулю, означает, что при перемещении вдоль кривой решения имеют место следующие свойства:
a) если мы начинаем с эйлеровой конфигурации и следуем вдоль траектории в течение времени $\bar{T} / 3=4 T$, проходя через промежуточную эйлерову конфигурацию в момент времени $2 T$, то достигаем эйлеровой конфигурации с тремя массами, расположенными на той же линии, что и линия исходной эйлеровой конфигурации. То есть в данном случае отсутствует вращение эйлеровой линии, в противоположность тому, что происходило в промежуточное время $2 T$;

нений, поскольку угол между двумя неориентированными линиями определяется только по модулю $\pi$.

б) через время $\bar{T} / 2$ равнобедренная конфигурация возвращается к себе с точностью до отражения (или, что то же самое, с точность до перестановки симметричных вершин). В этом случае отсутствует вращение оси симметрии треугольника.

Выберем начало отсчета времени $t=0$ так, чтобы оно соответствовало эйлеровой конфигурации $E_{3}$. Установим $q(t)=x_{3}(t)$, где $x(t)=$ $=\left(x_{1}(t), x_{2}(t), x_{3}(t)\right)-$ наше решение. Первое свойство означает, что
\[
\left\{\begin{array}{l}
q(t)=x_{3}(t) \text { для } 0 \leqslant t \leqslant \bar{T} / 3, \\
q(t)=x_{2}(t-\bar{T} / 3) \text { для } \bar{T} / 3 \leqslant t \leqslant 2 \bar{T} / 3, \\
q(t)=x_{1}(t-2 \bar{T} / 3) \text { для } 2 \bar{T} / 3 \leqslant t \leqslant \bar{T}
\end{array}\right.
\]

Таким образом, через время $\bar{T} / 3(2 \bar{T} / 3)$ тела $2,3,1$ заменяются телами 3 , $1,2(1,2,3)$ с теми же скоростями. Все три тела двигаются вдоль одной и той же замкнутой кривой $q(t)$ периода $\bar{T}$ со сдвигом по фазе относительно друг друга . Из б) легко вытекает симметрия Клейна полученной кривой.

На рис. 4 показана проекция (все еще называемая $x$ ) орбиты в приведенном конфигурационном пространстве.