Имеют ли уравнения Навье-Стокса в трехмерной области $\Omega$ в $\mathbb{R}^{3}$ единственное гладкое решение, определенное для всех значений времени?

Возможно, это самая знаменитая задача в дифференциальных уравнениях в частных производных. Рассмотрим ее более определенно. Уравнения Навье-Стокса можно записать в форме
\[
\frac{d u}{d t}+(u \cdot
abla) u-
u \triangle u+\operatorname{grad} p=0, \quad \operatorname{div} u=0,
\]

где необходимо найти $C^{\infty}$-отображения $u: \mathbb{R}_{+} \times \Omega \rightarrow R^{3}$ и $p: \Omega \rightarrow R$, удовлетворяющие этим уравнениям, с заданным $u$ на границе $\partial \Omega$ и при $t=0$. Здесь $\mathbb{R}_{+}=[0, \infty),(u \cdot
abla)$ — оператор $\sum_{i=1}^{3} u_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}$, а $
u-$ положительная константа. Подробнее см., например, [11].

В понимание этой задачи внесли вклад многие математики. В случае размерности 2 на поставленный вопрос дан утвердительный ответ, в случае размерности 3 положительный ответ дан только для значений времени $t$ в малом интервале $[0, T]$. Дополнительную информацию см. в [67].

Решение этой задачи может стать важным шагом к пониманию турбулентности. Например, оно могло бы помочь обосновать идеи Рюэля и Такенса [48], вводящих понятие хаотического аттрактора в модель турбулентности. См. также [12].

В [65] я задал вопрос, должны ли решения двумерного уравнения Навье-Стокса с вынуждающим членом на торе стремиться к равновесию при стремлении времени к бесконечности. Бабик и Вишик в [2] привели некоторый довод в пользу обратного. Впоследствии Лиу [33] привел примеры, которые доказывают сходимость к более сложному аттрактору.