Напомним, что мы обозначили $\Lambda$ подпространство $H^{1}([0, T], \mathcal{X})$, состоящее из траекторий, которые начинаются при эйлеровой конфигурации $E_{3}$ произвольного размера и заканчиваются на равнобедренной конфигурации типа $M_{1}$ также произвольного размера. Этот и следующий параграфы посвящены доказательству следующего утверждения:

Утверждение. Траектория $\Lambda$, которая минимизирует действие $\mathcal{A}=$ $=\int_{0}^{T}\left(\frac{1}{2} K+U\right) d t$, не имеет столкновений.

Доказательство утверждения. Удивительно, но можно рассмотреть двойные и тройные столкновения одновременно. Первый основной пункт

– это (тривиальное) замечание, что действие
\[
\mathcal{A}\left(m_{1}, m_{2}, m_{3} ; x\right)=\int_{0}^{T}\left(\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3} m_{i}\left|\dot{x}_{i}(t)\right|^{2}+\sum_{1 \leqslant i<j \leqslant 3} \frac{m_{i} m_{j}}{\left|x_{j}(t)-x_{i}(t)\right|}\right) d t
\]

вдоль заданной траектории $t \mapsto x(t)=\left(x_{1}(t), x_{2}(t), x_{3}(t)\right)$ является возрастающей функцией любой из масс. Установив, например, $m_{1}$ равное нулю, получаем
\[
\mathcal{A}(x)=\mathcal{A}(1,1,1 ; x)>\mathcal{A}(0,1,1 ; x) .
\]

Последний член является действием задачи 2 тел с равными массами. Мы используем это наблюдение в следующей лемме:

Лемма 1. Если $x \in H^{1}([0, T], \mathcal{X})$ имеет двойное или тройное столкновение, то его действие больше $A_{2}$, где $A_{2}$ – действие коллинеарного решения задачи двух тел, в которой траектории единичных масс начинаются со столкновения и заканчиваются нулевой скоростью в момент времени $T$, центр масс при этом неподвижен в продолжение всего времени (такую траекторию можно назвать эллиптической столкновительноиспускающей полуорбитой). Явная формула для $A_{2}$ будет приведена ниже.

Примечание. Лемма утверждает, что инфимум действия $A(x)$ по всем траекториям столкновения $x \in H^{1}([0, T], \mathcal{X})$ больше или равен $A_{2}$. Несомненно, этот инфимум равняется $A_{2}$. Представим последовательность траекторий $x_{n}$, в которой $m_{2}$ и $m_{3}$ описывают столкновительно-испускающую полуорбиту Кеплера, охарактеризованную в лемме, тогда как $m_{1}$ остается неподвижной на расстоянии $n$ от центра масс 2-3. $A\left(x_{n}\right) \rightarrow A_{2}$ при $n \rightarrow \infty$.

Доказательство леммы 1. Предположим, что массы 2 и 3 (и, возможно, 1) сталкиваются в момент $T_{1}$. Как только что объяснялось, мы снижаем действие траектории, установив $m_{1}$ равной нулю. Для нового действия можно забыть о положении массы 1 и далее рассматривать действие для задачи двух тел Кеплера, исследованной в [4] Гордоном. В соответствии с выводами Гордона, каждая часть кривой $x$, до и после $T_{1}$, обладает действием большим или равным действию соответствующему коллинеарному движению масс $m_{2}$ и $m_{3}$, в котором они сталкиваются при $T_{1}$ и находятся в покое в другой своей конечной точке, при $t=0$ либо $t=T$. Удваивая каждую часть траектории, посредством соединения ее в цепь с самой собой, и изменив направление второй части на обратное, мы получим две замкнутые траектории, при этом каждая двигается от столкновения к столкновению, одна за время $2 T_{1}$, другая за $2\left(T-T_{1}\right)$. Гордон доказал, что абсолютным минимумом действия для задачи столкновение-столкновение является столкновительно-испускающее решение. Его действие является пропорциональной $T^{2 / 3}$ выпуклой функцией периода $T$. Согласно Гордону, выпуклость означает, что действие уменьшается, если мы заменим два предыдущих движения одним столкновительно-испускающим решением, начинающимся и заканчивающимся при отсутствии промежуточных столкновений. Половина этой траектории обеспечивает инфимум действия для столкновительных траекторий в момент времени $T$ для задачи Кеплера. Что и требовалось доказать.

Следующая лемма вводит свободную от столкновений контрольную траекторию и сводит доказательство утверждения к оценке длины ее проекции на форм-сферу $\ell_{0}$.

Эквипотенциальные контрольные траектории. Зафиксируем значения $I=I_{0}$ и $U=U_{0}$, где $U_{0}$ – значение потенциальной функции в любой из эйлеровых конфигураций на сфере $I=I_{0}$. Эти равенства в приведенном конфигурационном пространстве определяют кривую на двумерной сфере радиуса $\sqrt{I_{0}}$ (см. рис. 2). Возьмем одну двенадцатую этой кривой, лежащей выше экватора, связывающего $E_{3}$ и $M_{1}$. Пересечем эту кривую при постоянной скорости, выбрав скорость так, чтобы завершить движение в требуемое время $T$. Это даст нам семейство приведенных контрольных траекторий в $\mathcal{X} / S O(2)$, зависящих от $I_{0}$. Соответствующими траекториями в $\mathcal{X}$ являются такие траектории, которые имеют нулевой момент количества движения и проектируются на полученные выше траектории в $\mathcal{X} / S O(2)$. Длины траекторий в $\mathcal{X}$ равны $\ell_{0} \sqrt{I_{0}}$, где $\ell_{0}$ – длина траектории при $I_{0}=1$, в последующем называемая «эквипотенциальной длиной Эйлера».

Лемма 2. Минимум действия эквипотенциальных контрольных траекторий а меньше $A_{2}$, инфимуа действий траекторий столкновений в момент времени $T$, тогда и только тогда, когда эквипотенциальная длина Эйлера $\ell_{0}$ удовлетворяет неравенству
\[
\ell_{0}<\frac{\pi}{5} .
\]

Доказательство Леммы 2. Действие $A_{2}$ леммы 1 составляет половину действия столкновительно-испускающей траектории периода $2 T$. Выражение для $A_{2}$ можно получить, положив, например, в [2] $k=-\frac{1}{2}$ :
\[
A_{2}=\frac{1}{2} \times 3 \times\left(2 \pi^{2}\right)^{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{2} \tilde{U}_{2}\right)^{\frac{2}{3}}(2 T)^{\frac{1}{3}} ; \quad \tilde{U}_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}} .
\]

Постоянная $\tilde{U}_{2}$, которая в [2] обозначена $U_{0}$, является (постоянным) значением отмасштабированной потенциальной функции $\tilde{U}=\sqrt{I U}$ для задачи двух тел с обеими массами, равными единице.

Теперь оценим минимум действия эквипотенциальных контрольных траекторий $a$ (точно так же, как в [2]). При вычислении действия $A\left(I_{0}\right)$ контрольной траектории радиуса $\sqrt{I_{0}}$ отметим, что оба подынтегральных выражения постоянны. Тогда действие равно
\[
A\left(I_{0}\right)=\left(\frac{1}{2} K_{0}+U_{0}\right) T, \quad \text { где } \quad K_{0}=\left(\frac{\ell_{0} \sqrt{I_{0}}}{T}\right)^{2}, \quad U_{0}=\frac{\tilde{U}_{E}}{\sqrt{I_{0}}} .
\]

Постоянная $\tilde{U}_{E}=\frac{5}{\sqrt{2}}$ равна значению $\tilde{U}=\sqrt{I U}$ в эйлеровых конфигурациях. Как и в [2], осталось минимизировать функцию
\[
A\left(I_{0}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{\ell_{0} \sqrt{I_{0}}}{T}\right)^{2} T+\frac{5}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{I_{0}}} T .
\]

Эта функция имеет единственный минимум относительно $I_{0}$ при
\[
I_{0}=\left(\frac{5}{\sqrt{2} \ell_{0}^{2}}\right)^{\frac{2}{3}} T^{\frac{4}{3}} .
\]

Соответствующее действие равно
\[
a=\frac{3}{2}\left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^{\frac{2}{3}} \ell_{0}^{\frac{2}{3}} T^{\frac{1}{3}} .
\]

Наконец, $a<A_{2}$ тогда и только тогда, когда
\[
\frac{3}{2}\left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^{\frac{2}{3}} \ell_{0}^{\frac{2}{3}} T^{\frac{1}{3}}<\frac{1}{2} \times 3 \times\left(2 \pi^{2}\right)^{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{2} \tilde{U}_{2}\right)^{\frac{2}{3}}(2 T)^{\frac{1}{3}},
\]

откуда получаем
\[
\ell_{0}<\frac{\sqrt{2}}{5} \tilde{U}_{2} \pi=\frac{\pi}{5}
\]