Мы заканчиваем эту работы рассмотрением нескольких других интересных случаев и отрытых задач, которые выпадают за пределы данного исследования.
– В [3] было предложено семейство СПО с обращением ориентации (обращающие площадь или антиконсервативные отображения). Это предельный, консервативный случай трехпараметрического семейства отображений (обозначенный в [3] как утолщенное отображение Арнольда), являющийся в некотором роде «общей» и «универсальной» моделью вблизи гомоклинических касаний в диссипативных диффеоморфизмах. Это семейство задается как
\[
A S M_{\omega, \alpha}(x, y)=(x+\omega+y+\alpha \sin (x),-(y+\alpha \sin (x)) .
\]

Его можно рассматривать как отображение на $T^{2}$. Вид выражения (31) позволяет назвать его антистандартным отображением. В противоположность стандартному отображению параметр $\omega$ здесь не может быть опущен с помощью смещения начала координат. Замена переменных $(\xi, \eta)=(x, x+$ $+y+\omega)$ приводит отображение к виду
\[
A C_{\omega, \alpha}(\xi, \eta)=(\eta+\alpha \sin (\xi), \xi+2 \omega)
\]

Симметрия $(\xi, \eta, \alpha, \omega) \leftrightarrow(-\xi,-\eta, \alpha,-\omega)$ и то, как $\omega$ входит в (32), показывают, что достаточно рассмотреть $\omega \in[0, \pi / 2]$. В [3] приведены некоторые динамические свойства (31), появление меандровых кривых и связь этого отображения с некоторыми другими.
Рассмотрим квадрат отображения (31)
\[
\operatorname{ASM}^{2}\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
x+2 \omega+\alpha \sin (x+\omega+y+\alpha \sin (x)) \\
y+\alpha \sin (x)-\alpha \sin (x+\omega+y+\alpha \sin (x))
\end{array}\right)
\]

Отображение (33) является СПО, но оно далеко от «общего». Несомненно, при $\alpha=0$ закручивание не выполняется $(d \alpha / d y \equiv 0)$. Колеблющийся характер члена, который содержит $y$ в выражении для $\bar{x}$ исключает даже «слабое» свойство закручивания порядка $\alpha$. Во всяком случае, если величина $\omega$ не кратна $\pi / 2$, то существует область $\alpha$ вблизи нуля, для которой существуют инвариантные кривые. Причина такого поведения состоит в том, что отображение имеет «очень слабое» условие закручивания, и еще более слабое возмущение. Этот результат получен с помощью соответствующего усреднения.

Было бы интересно изучить в общем этот вид «дополнительного» вырождения, т.е. случаев, в которых условие закручивания (если таковое существует) можно восстановить путем усреднения осциллирующей функции вдоль потока системы.
– Крайне интересная проблема возникает при изучении симплектоморфизмов высокой размерности. Малое возмущение произведения одного из незакручивающих отображений, рассмотренных выше, и закручивающего отображения может дать красивые инвариантные торы. Суперпозиция двух незакручивающих отображений должна создать некоторые любопытные «лабиринты более высокой размерности». Однако в этом случае появляются дополнительные размерности, позволяющие выйти из лабиринта.

Простейший случай возникает при анализе окрестности полностью эллиптической точки, вблизи двойного резонанса. Некоторые простые условия приводят к вырождению закручивания. Работа в этом направлении в настоящее время активно продолжается.

На рис. 7 показана иллюстрация «меандрового тора» для четырехмерного симплектического отображения, который представляет собой двумерный тор. Отображение, используемое для его получения, следующее
\[
F\left(\begin{array}{l}
x_{1} \\
x_{2} \\
y_{1} \\
y_{2}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
\bar{x}_{1} \\
\bar{x}_{2} \\
\bar{y}_{1} \\
\bar{y}_{2}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
x_{1}+2 \pi \omega_{1}+\bar{y}_{1}^{2}+\psi \bar{y}_{1} \bar{y}_{2} \\
x_{2}+2 \pi \omega_{2}+\bar{y}_{2}^{2}+0.5 \psi \bar{y}_{1}^{2} \\
y_{1}+\alpha_{1} \frac{\sin \left(x_{1}\right)}{1-\beta_{1} \cos \left(x_{1}\right)} \\
y_{2}+\alpha_{2} \frac{\sin \left(x_{2}\right)}{1-\beta_{2} \cos \left(x_{2}\right)}
\end{array}\right),
\]

то есть это по сути два связанных отображения (19). Параметры были выбраны такие же, что использовались на рис. 2 a и $\mathrm{b}$, то есть $\omega_{1}=0.249, \alpha_{1}=$ $=0.1, \beta_{1}=0.5, \omega_{2}=0.374675, \alpha_{2}=0.1, \beta_{2}=0.5$, а связывание $\psi$ было взято равным 0.03. В качестве начальных условий была выбрана точка $x_{1}=x_{2}=0, y_{1}=-0.039, y_{2}=-0.202$, начиная с которой было выполнено 500000 итераций. На рисунке показан трехмерный вид проекции двумерного инвариантного меандрового тора на пространство переменных $x_{1}, x_{2}, y_{1}+y_{2}$. Мы хотим отметить, что для несколько бо́льших значений $\psi$ все двумерные торы, по-видимому, разрушаются.

Рис. 7. Трехмерный вид двумерного меандрового тора отображения (34) для параметров, заданных в тексте. Для трехмерного изображения тор был спроецирован на переменные $x_{1}, x_{2}, y_{1}+y_{2}$

Благодарности. Эта работа была поддержана грантами DGICYT PB940215 (Испания) и CIRIT 1996S0GR-00105 (Каталония). Благодарим также за частичную поддержку со стороны Европейского сетевого гранта ERBCHRXCT 940460 и гранта INTAS 93-0339ext. Первая версия этих результатов была представлена в Мастерской динамических систем в Автономном университете Барселоны в сентябре 1997 года. Я в долгу перед организаторами этого мероприятия.