Классическая задача $N$ тел описывает движение $N$ точечных масс под действием закона ньютоновского гравитационного притяжения. Пусть точки $z_{j} \in R^{d}, j=1, \ldots, N$ являются положениями тел, а $m_{j}>0, j=1, \ldots, N-$
\”C. Simó. New families of solutions in $N$-boay problems. Preprint. Перевод Богатыревой Е. В., Килина А. А.

их массами. В большей части этой работы мы будем рассматривать плоскую задачу $d=2$. Уравнения движения системы имеют вид
\[
\ddot{z}_{j}=\sum_{i=1, i
eq j}^{N} m_{i}\left(z_{i}-z_{j}\right) r_{i, j}^{-3}
\]

где $r_{i, j}=\left|z_{i}-z_{j}\right|,|\cdot|$ является евклидовой нормой, а гравитационная постоянная принята равной единице. Система (1) имеет тривиальные интегралы, являющиеся координатами центра масс: $\sum_{i=1}^{N} m_{i} z_{i}$, который двигается прямолинейно с постоянной скоростью. Не ограничивая общности, предположим, что центр масс покоится в начале координат, то есть будем считать, что $\sum_{i=1}^{N} m_{i} z_{i}=0$. Более того, существует еще два интеграла движения это момент количества движения $c=\sum m_{i} z_{i} \wedge z_{i}$ и энергия $H=K-U$. В общем случае первых интегралов больше не существует. Здесь $K$ и $-U$ обозначают кинетическую и потенциальную энергию
\[
K=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_{i}\left|z_{i}\right|^{2}, \quad U=\sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant N} m_{i} m_{j} r_{i, j}^{-1} .
\]

В общей задаче $N$ тел известно очень мало решений. Имеются определенные результаты для ограниченной задачи трех тел, когда одна из масс бесконечно мала, а также для ряда других очень частных случаев задачи $N$ тел.

Получить простые решения можно основываясь на центральных конфисурациях. Центральную конфигурацию определяют как конфигурацию $N$ тел, таких что $\ddot{z}_{j}=\lambda z_{j}, j=1, \ldots, N$ для некоторого $\lambda<0$ независимого от $j$. Тогда, если правильно выбраны скорости, то есть, если $\left|z_{j}\right|=\gamma\left|z_{j}\right|$ с одним и тем же $\gamma$ для всех $j$, и угол между $\dot{z}_{j}$ и $z_{j}$ одинаков для всех тел, то движение $N$ тел происходит по кривым второго порядка, при этом все кривые подобны. В частности, каждое тело может двигаться по окружности вокруг общего центра масс. В этих решениях движение происходит так, как если бы тела образовывали единое твердое тело. Такие движения также называют положениями относительного равновесия, которые являются неподвижными точками (1) во вращающейся системе отсчета. Их можно получить, используя и другой подход. Пусть $I=\sum_{j=1}^{N} m j\left|z_{j}\right|^{2}$ является моментом инерции $N$ тел относительно центра масс. Множество конфигураций с постоянным значением $I>0$ определяет сферу $S$ в $R^{2 N-2}$. Мы можем ограничить $U$ областью $S$. Благодаря однородному характеру $I$ и $U$ мы всегда можем положить значение $I=1$. Тогда центральные конфигурации соответствуют критическим точкам $\left.U\right|_{S}$. Задача нахождения числа центральных конфигураций для заданного $N$ и его зависимость от масс тел до сих пор является открытой. Общие результаты см. в [7], численное исследование при $N=4$ и произвольных массах приведено в [8].

Рассмотрим теперь частный случай, когда все массы равны, положив $m_{j}=1, j=1, \ldots, N$. Простейшее относительное равновесие – правильный $N$-угольник. Очевидно, что тогда все тела движутся периодически по одной и той же окружности. При этом возникает следующий вопрос:

Существуют ли другие периодические решения задачи $N$ тел, такие чтобы все тела двигались вдоль одной и той же траектории на плоскости?

Этому вопросу и посвящена данная работа. К освещению данной проблемы меня подтолкнуло недавнее открытие А. Шенсине и Р. Монтгомери [4] одного из таких решений для $N=3$, при котором тела двигаются по кривой в виде восьмерки, а также открытие аналогичного решения, найденного Дж. Джервером для четырех тел [5]. За историческими сведениями об этих совершенно новых решениях я отсылаю к [3]. Поиск решений для $N$ тел равной массы на одной и той же кривой ставит ряд задач: а) доказательство существования; б) допустимые геометрии опорных кривых; в) вычисление решений; г) изучение динамических свойств; г) обобщение на другие потенциалы.

Все эти темы очень сильно связаны. Действительно, существующие доказательства, допустимые только для некоторого класса потенциалов, который исключает ньютонов случай. Трудности с ньютоновым и другими потенциалами относятся к возможности столкновений, т.е. таких значений времени $t^{*}$, когда существуют $i$ и $j, i
eq j$, такие, что $\lim _{t \rightarrow t^{*}-} r_{i, j}(t)=0$. Это, в свою очередь, связано с допустимыми кривыми и их временной параметризацией. Основной метод доказательства опирается на вариационный подход. Он также полезен, но недостаточен для вычислений. Изучение геометрических и динамических свойстз решений, которые мы ищем, требует локальной информации об орбитах, которые находятся очень далеко от любой кривой, которую можно описать аналитическими средствами. Поэтому численный подход представляется единственным возможным способом.

Поучительно посмотреть на движение $N$ тел вдоль одной и той же траектории на плоскости с помощью анимации. При этом видно, что тела танцуют довольно сложным способом. Из чего напрашивается название хореографии для обозначения этого вида движений. Чтобы быть точным, нам следует назвать их простыми хореографиями, потому что все тела находятся на одной и той же кривой. Можно также вообразить сложные хореографии для тел, двигающихся по различным кривым $k>1$.

В п. 2 мы приведем некоторые результаты о хореографии фигуры в виде восьмерки для $N=3$. П. 3 посвящен введению необходимого понятия о простых хореографиях. Вариационный подход представлен в п. 4. С этой целью мы обобщаем задачу до потенциалов вида $r^{-a}, a>0$. Кратко описано существующее доказательство для $a \geqslant 2$, случая известного как сильное взаимодействие. В п. 5 показаны различные виды хореографий, найденные до настоящего времени. Изменения поведения хореографий как функций $a$ описаны в п. 6, что также иллюстрирует трудности, с которыми неизбежно сталкиваешься в доказательствах для слабых взаимодействий. Наконец, в п. 7 дается краткое описание использованных численных методов.