В этом разделе представлены некоторые интересные гомо- и гетероклинические пересечения, которые появляются сразу же после размыкания КНС, т.е. при значениях $h>\frac{1}{18}$, но близких к критическому. При этих значениях энергии появляются инвариантные многообразия ляпуновских п.о. Необходимо также прокомментировать инвариантные многообразия $L_{1}$ и $L_{2}$. Для всех многообразий, нас будут интересовать только ветви, идущие ко второму телу (в прямом или обратном времени). Остальные ветви уходят на бесконечность и не возвращаются. Это относится к обсуждению уравнений (19) в п. 4 (для уточнения аналитических деталей см. [13]). Описание численных расчетов инвариантных многообразий будет приведено в п. 8.
7.1. Гомо- и гетероклинические пересечения, связанные с ляпуновскими орбитами
Рассмотрим ляпуновскую орбиту вблизи $L_{1}$ при $h$, близких к $\frac{1}{18}$. Можно вычислить левую ветвь $W_{\text {p.o. } L_{1}}^{U}$. При поиске гомоклинических пересечений п.о. нужно помнить, что эта п.о. соответствует в физическом пространстве орбите вокруг неподвижной точки, симметричной (в переменных $\left(Q_{1}, Q_{2}\right)$ ) относительно начала координат. Проекции орбит на плоскость $\left(Q_{1}, Q_{2}\right)$ должны совершать полуцелое число обращений $\frac{k}{2}$. Предположим, что мы рассматриваем пересечения $W_{\text {p.o. } L_{1}}^{U}$ либо с $Q_{1}=0$, либо с $Q_{2}=0$ после $\frac{k}{4}$ обращений. Выберем в качестве координат в этом разделе $r$ и $\dot{r}$, задаваемые соотношениями $r^{2}=Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}$ и $r \dot{r}=Q_{1} \dot{Q}_{1}+Q_{2} \dot{Q}_{2}$. Принимая во внимание обратимость в переменных ( $r, \dot{r})$, пересечение $W_{\text {p.o. } L_{1}}^{U}$ будет кривой, симметричной относительно оси $r$. В разделе 8 проводится подробное исследование всех эффектов симметри на этих многоббазиях. В результате, первое гомоклиническое пересечение должно лежать на оси $r$.

Аналогичным образом, касательные гетероклинические пересечения между ляпуновскими орбитами вблизи $L_{1}$ и ляпуновскими орбитами вблизи $L_{2}$, на том же уровне энергии, должны лежать на $\dot{r}=0$, если секущая плоскость $Q_{2}=Q_{1}$ либо $Q_{2}=-Q_{1}$. Таким образом, достаточно вычислить пересечения $W_{\text {p.o. } L_{1}}^{U}$ с этими четырьмя плоскостями в переменных $\left(Q_{1}, Q_{2}\right)$, чтобы получить все искомые гомо- и гетероклинические пересечения. Начальные пересечения, когда орбита движется медленно вдали от п.о., не должны приниматься во внимание. Трансверсальные пересечения этих многообразий локально диффеоморфны $\mathbb{S}^{1}$, будучи локально цилиндрами. Нужно также принимать во внимание, что как только происходят некоторые из этих пересечений, появляются точки, удаляющиеся на бесконечность. Таким образом, цилиндр разделен: одна из частей возвращается к следующему пересечению с одной из этих плоскостей, а другая удаляется. Более того, следующее пересечение будет иметь форму двойной спирали, точки, близкие к гомо- гетероклиническим, совершают множество обращений вокруг п.о. до того, как покинут их окрестность. Также нужно помнить об эффекте петель на орбитах.

Рис. 15. Некоторые пересечения $W_{\text {р.о. } L_{1}}^{U}$ при различных уровнях $h>1 / 18$ с плоскостью $Q_{1}=Q_{2}$ (случай a)), $Q_{2}=0$ (случай b)), $Q_{1}=-Q_{2}$ (случай с)) и $Q_{2}=0$ (случай d)). Непрерывные линии соответствуют п.о. Ляпунова на уровнях $h$, для которых происходят гетероклинические (случаи а) и с)) и гомоклинические (случаи b) и d)) касания. Пунктирная линия соответствует другим уровням $h$. Слева направо и сверху вниз: а) $\Delta h=0.01181$; b) $\Delta h=0.00159$; c) $\Delta h=0.00340$; d) $\Delta h=0.00126$; e) $\Delta h=0.00045$; f) $\Delta h=0.00100$. Значения $\Delta h=h-1 / 18$, для которых происходят пересечения, даны приблизительно. Точки вблизи центра картинок соответствуют пересечениям $W_{L_{1}}^{U}$ с $h=1 / 18$. Например, точка в середине среднего правого рисунка (случай d)) соответствует точке, помеченной цифрой 1 вверху слева на рис. 16

После приведенных выше рассуждений рассмотрим простейшую задачу (задачи более интересные для приложений, см. в п. 9): появление первых касаний. На рис. 15 приведены пересечения некоторых многообразий, включая (на рисунке сплошными линиями) те из них, которые соответствуют касаниям после $1 / 2,3 / 2$ и $5 / 2$ (на рисунке – гетероклинические случаи типов a), с) и а) соответственно) оборотов вокруг п.о. в физических переменных и после 1, 2 и 3 (на рисунке – гомоклинические случаи типов b), d) и b) соответственно) оборотов вокруг п.о. Отметим, что они происходят при малых отклонениях энергии от критического значения, особенно в случае d), очень важном для приложений. Значениям $\Delta h$, меньшим, чем значения, соответствующие касаниям горизонтальной оси, отвечают внутренние сечения, внешние появляются при бо́льших значениях $h$. Так как $W_{L_{1}}^{S}$ симметрично $W_{L_{1}}^{U}$, изображенному на рисунке (если сделано такое же число обращений в обратную сторону), то увеличение энергии от случая, когда многообразия не пересекаются, приводит к их касанию, а затем трансверсальному пересечению.
7.2. Пересечения многообразий хи.ловских и ляпуновских п.о.

Еще один интересный вопрос состоит в существовании других важных гетероклинических пересечений. Можно также задаться вопросом, что происходит с ограниченной ветвью $W_{L_{1}}^{U}$. Оказывается, эти два вопроса жестко связаны между собой. Рассмотрим сначала поведение ограниченной ветви $W_{L_{1}}^{U}$. Она находится в обширной области хаоса. Пересечения многообразия блуждают по этой области. Замегим, что вследствие положительности ПЛ минимальные изменения (например, ошибки численного интегрирования) приводят к совершенно различным результатам. Так, при значении ПЛ, приблизительно равном 0.056 типичное время возвращения орбиты на сечение равно 4.5, но уже после 100 итераций нельзя быть уверенным в результатах вычислений с двойной точностью внутри хаотической зоны. Этот эффект еще более заметен на $W_{L_{1}}^{U}$, благодаря большим значениям главного собственного числа. Рис. 16 демонстрирует первые 30 пересечений $W_{L_{1}}^{U}$ (вверху слева) и первый миллион (вверху справа). Кажется, что пересечения полностью заполняют зону хаоса. Представляется очень сложным доказать существование, или несуществование гомоклинических к $L_{1}$ точек. Но, вероятно, можно подойти сколь угодно близко к такому пересечению. Видно также, что начальные точки близки к остаткам «восьмерочной» структуры, образованной сепаратрисами хилловской прямой п.о. Инвариантные многообразия этой орбиты показаны на среднем левом рисунке.

Рис. 16. График на плоскости $Q_{1}, P_{1}$ при $Q_{2}=0$. Слева вверху: первые 30 (пронумерованных) пересечений левой ветви $W_{L_{1}}^{U}$ при $h=1 / 18$. $L_{1}$ располагается в нуле. Справа вверху: хаотическая зона при $h=1 / 18$ (за исключением небольшой области с $Q_{1}<0$ ). Вычислены $10^{6}$ итераций $W_{L_{1}}^{U}$ и симметричных точек в $W_{L_{1}}^{S}$. Посередине слева: часть $W_{\text {p.o. Hd }}^{S}$ (непрерывная линия) и $W_{\text {p.o.Hd }}^{U}$ (пунктирная линия) для прямых п.о. Хилла на уровне $h=1 / 18$. Посередине справа: аналогичный график для $h=$ $=1 / 18+2.7 \cdot 10^{-10}$. Крестиками обозначены первые 8 пересечений $W_{\text {р.о. } L_{1}}^{S}$ для того же уровня $h$. Ляпуновская п.о. расположена в точке с номером 0. Нумерование точек точно такое же, как и на верхнем левом рисунке. Внизу: Увеличение предыдущего рисунка около точки 3. Часть $W_{\text {p.o.Hd }}^{S}$ (непрерывная линия) и третье пересечение $W_{\text {p.o. } L_{1}}^{U}$ (пунктирная линия). Показано гетероклиническое касание многообразий

Теперь мы немного изменим $h$ так, что $L_{1}$ перейдет в п.о. Для обнаружения гетероклинических пересечений между ляпуновскими п.о. вблизи $L_{1}$ и хилловской прямой п.о. достаточно очень малого изменения, $\Delta h \approx 2.7 \times 10^{-10}$. Это проиллюстрировано на среднем правом рисунке. Первые складки $W_{p . o . H d}^{S, U}$ инвариантного многообразия хилловской прямой п.о. для этого значения $h$ очень близки к изображенным на левом рисунке при $h=\frac{1}{18}$. Сечения $W_{p . o . L_{1}}^{U, S}$ являются очень маленькими «окружностями», очень близкими к предыдущему местоположению сечений $W_{L_{1}}^{U}$ (сравните точки, обозначенные цифрами $1,2,3, \ldots$ с теми, которые изображены вверху слева). Увеличение, приведенное на нижнем рисунке, показывает существование касания. Если мы допускаем большее (меньшее) число обращений вокруг прямой хилловской п.о. (или связаных с ней эллиптических точек) до гетероклинического касания $W_{p . o . L_{1}}^{U}$ с частью $W_{p . o . H d}^{S}$ фиксированной длины, то нужно использовать меньшие (большие) изменения $h$.

Следует также отметить, что при $h=\frac{1}{18}$ и вблизи этого значения зона хаоса избегает окрестности гравитирующего центра. Ни одна орбита, стартующая вблизи $L_{1}$ не может приблизиться к столкновению, так как существуют инвариантные торы, «защищающие» доступ к гравитирующему центру.