Предположим, что компактное связное 3-мерное многообразие обладает таким свойством, что каждую окружность на нем можно деформировать в точку. Должно ли оно быть гомеоморфным к трехмерной сфере? $N$-мерная сфера $S^{N}$ – это многообразие, задаваемое уравнением
\[
\left\{x \in \mathbb{R}^{n+1} \mid\|x\|=1\right\},\|x\|^{2}=\sum_{i=1}^{n+1} x_{i}^{2} .
\]

С другой стороны, любое компактное $n$-мерное многообразие можно считать замкнутой ограниченной $n$-мерной поверхностью (дифференцируемой и без особенностей) в некотором евклидовом пространстве.

В $n$-мерном обобщении гипотезы Пуанкаре утверждается, что компактное $n$-мерное многообразие $M$, для которого каждое отображение $f: S^{k} \rightarrow M, k<n$ (или, что то же самое $k \leqslant n / 2$ ) можно деформировать в точку, гомеоморфно $S^{n}$.

Анри Пуанкаре изучал эти проблемы в своих первых статьях по топологии. Пуанкаре в 1900 году ([43], стр. 338-370) опубликовал доказательство общего $n$-мерного случая. Впоследствии (в 1904 году) он нашел контрпример к своей первой версии утверждения ([43], стр. 435-498). Во второй статье он ограничился $n=3$ и сформулировал трехмерный случай приведенной выше проблемы.

Мое отношение к этой задачей описано в работе [64], в которой я написал:
Впервые я услышал о гипотезе Пуанкаре в 1955 году в Эн Арбор в то время, когда писал диссертацию по проблемам топологии. Некоторое время спустя я почувствовал, что нашел доказательство (для трехмерного случая). Ганс Самуэльсон был в своем кабинете, и я с большим волнением обрисовал свои идеи. . . Уходя с работы, я осознал, что в моем «доказательстве» нет ни одного предположения о трехмерности многообразия.
В 1960 году «на пляжах Рио» я дал утвердительный ответ относительно $n$-мерной гипотезы Пуанкаре при $n>4$. В 1983 году Майк Фридман дал утвердительный ответ для $n=4$. (Заметим, что для $n>4$ я доказал даже более сильный результат, заключающийся в том, что $M$ является гладким объединением двух шаров $M=D^{n} \cup D^{n}$; для $n=4$ этот результат на сегодняшний день не доказан.)

Основную информацию по этим вопросам, кроме указанных здесь источников, можно найти в [57].

После Пуанкаре многие другие математики предъявили различные доказательства трехмерного случая. Описание некоторых из этих попыток приведены в [66].

Фундаментальность гипотезы Пуанкаре в истории математики заключается в том, что она помогла сосредоточиться на многообразиях как на предмете, по праву заслуживающем исследования. Таким образом, Пуанкаре оказал значительное влияние на математику 20 -го века, вызвав интерес к геометрическим объектам, включая в конечном счете алгебраические многообразия, многообразия Римана и т.д.

Я убежден, что сегодня существует сравнимое явление – «полиномиальный временной алгоритм». Алгоритмы по праву становятся предметом, заслуживающим изучения, а не только как средство решения других задач. Я полагаю, что поскольку изучение множества решений уравнения (например, многообразия) сыграло такую важную роль в истории математики 20-го века, то изучение процесса нахождения решений (например, алгоритма) может сыграть не меньшую роль в следующем столетии.