Описанные выше изображения гиперболической структуры в хаотических областях, похоже, являются типичными для отображений, сохра-

Рис. 13. Последовательность увеличений для $g=0.2,n=250$, для первого рисунка $\delta =0.02$, для всех остальных $\delta =0.05$. Размеры квадратов: a) $[\pm 0.25]\times [\pm 0.25]$. b) $[-0.1292\pm 4.82\times {10}^{-2}]\times [-0.1292\pm 4.82\times {10}^{-2}]$; c) $[-0.14237\pm 3.79\times {10}^{-3}]\times [-0.14237\pm 3.79\times {10}^{-3}]$; d) $[-0.1413818\pm$ $1.21\times {10}^{-5}]\times [-0.1413818\pm 1.21\times {10}^{-5}];$ e) $[-0.1413768120\pm 7.23\times$ ${10}^{-8}]\times [-0.1413768120\pm 7.23\times {10}^{-8}]$; f) $[-0.141376763117\pm 1.66\times {10}^{-10}]\times$ $[-0.141376763117\pm 1.66\times {10}^{-10}]$. Каждый последующий рисунок является увеличением квадрата, изображенного на предыдущем рисунке (или маленького квадрата вокруг центра отмеченной окружности). См. рис. 14 для объяснения смысла окружности, отмеченной на f)

Рис. 14. Слева: квазиразбиение линиями нулевого уровня $\sin {\alpha }_{250}$ соответствующее тем же данным и прямоугольнику, что и рис. $13\mathrm{f}$. Линии выглядят абсолютно прямыми, но в действительности они не пересекаются, а создают квазипересечения. Справа: очень сильное увеличение участка рис. $13\mathrm{f}$ вокруг центра отмеченной окружности (также отмеченной в левой части этого рисунка). Область: $[-0.141376763095468034329865598497\pm 1.179\times {10}^{-27}]\times$ $[-0.141376763095468034329865598497\pm 1.179\times {10}^{-27}]$

няющих площадь с одновременным существованием регулярного и хаотического поведения. Обощение на более высокие размерности может быть выполнено при использовании гладкого лагранжевого слоения вместо ${\xi }_0$.

Общее впечатление заключается в том, что хаос хорошо организован. Пространство моря хаоса может быть разложено на гиперболические блоки благодаря использованию описанной конструкции. Некоторые нерегулярности, такие, как касп-сингулярности и острова, возникают редко. Вероятность встретить их при выполнении процесса ренормализации экспоненциально стремится к нулю при увеличении числа итераций. Можно также предположить, что расположение нерегулярностей подчинено простым законам.

Тем не менее из нашего анализа не ясно, является ли конечным число островов? Будут ли острова плотными в фазовом пространстве? Результаты Дуарта [5] свидетельствуют в пользу положительного ответа на последний вопрос.

Благодарности. Экспериментальная часть этой работы была выполнена в основном в мае и июне 1996 г., когда второй автор посещал университет Барселоны и университет Милана с краткими визитами. Предварительные эксперименты были проведены ранее во время визита второго автора в филиал университета Милана в г. Комо. Первый вариант этой статьи был написан в то время, когда второй автор был приглашенным исследователем в
обсерватории Ницы. Он благодарит профессоров У.Фриша и А.Морбиделли за эту возможность.

Работа частично поддерживалась грантом INTAS 93-339ext. Второй автор также частично поддерживался грантами CRDF RM1-227, RFFI9701-00612 и грантом Государственного комитета по высшему образованию Росиийской Федерации. Поездки в Комо поддерживались грантом CNRGNFM (Италия). Первый и последний авторы частично поддерживались European Network Grant ER-BCHRXCT 940460. Вычислительные мощности были предоставлены по грантам PB94-215 (Испания) и 1996S0GR-105 (Каталония), из которого также оказывалась поддержка во время визитов второго автора. Статья была закончена во время пребывания второго автора в Барселоне в качестве приглашенного исследователя, поддержанного грантом SAB199-0605 (Испания).