Лемма 3. Эквипотенциальная длина Эйлера удовлетворяет неравенству $\ell_{0}<\pi / 5$.

Для получения этой оценки нам необходимы явные координаты на фактор-пространстве $\mathcal{X} / S O(2)$ и выражения для метрики и потенциальной функции в этих координатах. С помощью этих выражений можно с большой точностью численно получить оценку $\ell_{0}$.
5.1. Фактор-отображение.

Возьмем в качестве фактор-отображения композицию «отображения Якоби» $\mathcal{J}$ и «отображения Кустаанхеймо-Штифеля» $\mathcal{K}$. Конфигурационное пространство $\mathcal{X}$ является двумерным комплексным эрмитовым векторным пространством, и, следовательно, оно изометрично $\mathbb{C}^{2}$. Координаты Якоби
\[
\mathcal{J}: \mathcal{X} \rightarrow \mathbb{C}^{2},
\]

определенные равенством
\[
\mathcal{J}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(z_{1}, z_{2}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x_{3}-x_{2}\right), \sqrt{\frac{2}{3}}\left(x_{1}-\frac{1}{2}\left(x_{2}+x_{3}\right)\right)\right)
\]

реализуют этот изоморфизм. (Напомним, что если $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ — точка в $\mathcal{X}$, тогда $x_{1}+x_{2}+x_{3}=0$.) При наличии изометрии $I=\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}$ в этих координатах. Действие $S O(2)$ соответствует диагональному действию комплексных единичных скаляров на координатах Якоби $\left(z_{1}, z_{2}\right)$. То есть $\mathcal{X} / S O(2)=$ $=C^{2} / S^{1}$. Факторизация по вращениям реализуется созданием вектора из инвариантных полиномов для этого действия:
\[
\mathcal{K}\left(z_{1}, z_{2}\right)=\left(u_{1}, u_{2}+i u_{3}\right)=\left(\left|z_{1}\right|^{2}-\left|z_{2}\right|^{2}, 2 \bar{z}_{1} z_{2}\right) .
\]

Таким образом, мы получили отображение Кустаанхеймо-Штифеля:
\[
\mathcal{K}: \mathbb{C}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \times \mathbb{C}=\mathbb{R}^{3} .
\]

Примечание. Компактное определение $\mathcal{K}$ получено с помощью отождествления $\mathbb{C}^{2}\left(\mathbb{R}^{3}\right.$ ) с кватернионами $\mathbb{H}$ (с чисто мнимыми кватернионами $\tilde{\mathbb{H}}$ ) следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
\mathbb{C}^{2}
i\left(z_{1}, z_{2}\right) \mapsto q=z_{1}+z_{2} j \in \mathbb{H} \\
\mathbb{R}^{3}
i\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right) \mapsto u_{1} i+\left(u_{2}+i u_{3}\right) k=u_{1}-u_{3} j+u_{2} k \in \tilde{\mathbb{H}} .
\end{array}
\]

Тогда отображение $\mathcal{K}: \mathbb{H} \rightarrow \tilde{\mathbb{H}}$ определено следующим образом $\mathcal{K}(q)=\bar{q} i q$.

Ниже приведены несколько свойств этих отображений:
\[
\left|\mathcal{K}\left(z_{1}, z_{2}\right)\right|^{2}=u_{1}^{2}+u_{1}^{2}+u_{3}^{2}=\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\right)^{2}=I^{2} .
\]

В соответствии с расслоением Хопфа, $\mathcal{K} \circ \mathcal{J}$ переводит трехмерную сферу $I=1$ в единичную двумерную сферу в $\mathbb{R}^{3}$ (форм-сферу). В действительности, наша формула для $\mathcal{K}$ является стандартной формулой расслоения Хопфа при $I=1$. Положение на сфере точек столкновения, эйлеровых точек и точек Лагранжа следующее:
\[
\begin{array}{c}
C_{1}=(-1,0,0), \quad C_{2}\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right), \quad C_{3}=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right), \\
E_{1}=(1,0,0), \quad E_{2}=\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right), \quad E_{3}=\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right), \\
L^{+}=(0,1,0), \quad L^{-}=(0,-1,0) .
\end{array}
\]

Используя полученные выше формулы, а также выражения $r_{23}=\sqrt{2}\left|z_{1}\right|$, $r_{31}\left|\sqrt{3 / 2} z_{2}+(1 / \sqrt{2}) z_{1}\right|, r_{12}=\left|\sqrt{3 / 2} z_{2}-(1 / \sqrt{2}) z_{1}\right|$, можно легко доказать следующую лемму:

Лемма 4. (Хсианг [5]). Вектору $u=\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right)$ на форм-сфере соответствует треугольник со сторонами $r_{23}=\sqrt{1-C_{1} \cdot u}, r_{31}=$ $=\sqrt{1-C_{2} \cdot u}, r_{12}=\sqrt{1-C_{3} \cdot u}$, а скалярное произведение является обычным евклидовым в $\mathbb{R}^{3}$.
5.2. Метрика орбиты

Выведем формулу для приведенной метрики $K_{\text {red }}$ с помощью вычисления расстояния $d(x, y)$ между $S O(2)$-орбитами $x$ и $y$ в $\mathcal{X}$. Так как элементы $S O(2)$ действует изометрично, то
\[
d^{2}(x, y)=\inf _{\theta} \sum_{i}\left|x_{i}-e^{i \theta} y_{i}\right|^{2}=\inf _{\theta}\left[|x|^{2}+|y|^{2}-2 x \cdot y \cos \theta+2 \omega(x, y) \sin \theta\right] .
\]

Взяв производную по $\theta$, видим, что минимум наблюдается при $\theta=\theta_{0}$, для которого $x \cdot y \sin \theta_{0}+\omega(x, y) \cos \theta_{0}=0$. Это означает, что
\[
d^{2}(x, y)=|x|^{2}+|y|^{2}-2 \sqrt{(x \cdot y)^{2}+\omega(x, y)^{2}}=|x|^{2}+|y|^{2}-2|\langle x, y\rangle| .
\]

Приведенная кинетическая энергия $K_{r e d}(x, v)$, соответствующая разложению $K_{\text {red }}=K-K_{\text {rot }}$, равна члену при $\epsilon^{2}$, возникающему при раскрытии выражения $d^{2}(x, x+\epsilon v)$. Находим
\[
K_{\text {red }}(x, v)=|v|^{2}-\frac{\omega(x, v)^{2}}{|x|^{2}} .
\]

Это выражение обратного образа естественно индуцированной метрики на фактор-пространство $\mathcal{X} / S O(2)$ при проецировании на него $\mathcal{X}$. Оно непротиворечиво, так как $K_{r e d}(x, v)=0$, если $v$ — касательная к орбите $x$, т.е. когда $v$ пропорциональна $i x$.
5.3. Длина $\ell_{0}$ в сферических координатах.

Удобно использовать сферические координаты, определенные в пространстве $\mathbb{R}^{3}$ с помощью равенств
\[
u_{1}=r^{2} \cos \varphi \cos \theta, \quad u_{2}=r^{2} \cos \varphi \sin \theta, \quad u_{3}=r^{2} \sin \varphi .
\]

Выполняется равенство
\[
r^{2}=\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}=I,
\]

что оправдывает выбор обозначения $r$. Теперь с помощью громоздкого, но простого расчета можно доказать следующую лемму:

Лемма 5 (см. [7]). В сферических координатах фактор-метрика, соответствующая приведенной кинетической энергии $K_{\mathrm{red}}$ и появляющаяся в приведенном действии, задается выражением
\[
d s^{2}=d r^{2}+\frac{r^{2}}{4}\left(\cos ^{2} \varphi d \theta^{2}+d \varphi^{2}\right) .
\]

В частности форм-сфера $I=r^{2}=1$ изометрична к стандартной сфере радиуса $1 / 2$, а форм-пространство $\mathbb{R}^{3}$ является конусом над этой сферой. Сама сфера при этом состоит из всех точек, расположенных на единичном расстоянии от точки тройного стопкновения.

Используя лемму 4, можно записать эквипотенциальное уравнение на форм-сфере, содержащей эйлеровы конфигурации в сферических координатах $(\theta, \varphi)$ :
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{\sqrt{1+\cos \varphi \cos \theta}}+\frac{1}{\sqrt{1+\cos \varphi \cos \left(\theta+\frac{2 \pi}{3}\right)}}+ \\
+ \frac{1}{\sqrt{1+\cos \varphi \cos \left(\theta+\frac{4 \pi}{3}\right)}}=\tilde{U}_{E}=\frac{5}{\sqrt{2}} .
\end{array}
\]

Эта кривая дважды покрывает экватор $\varphi=0$ и в качестве таковой ее можно параметризовать функцией $\varphi=\varphi(\theta)$ при условии, что $\theta$ меняется в интервале от 0 до $4 \pi$. Нас интересует значение $\ell_{0}$, составляющее одну двенадцатую его длины. Из леммы 5 следует, что
\[
\ell_{0}=\frac{1}{12} \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{\cos ^{2} \varphi(\theta)+\varphi^{\prime 2}(\theta)} d \theta=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{\cos ^{2} \varphi(\theta)+\varphi^{\prime 2}(\theta)} d \theta .
\]

Для завершения доказательства леммы 3 и, следовательно, существования точки минимума на свободной от столкновений траектории мы используем следующую численную оценку эквипотенциальной длины Эйлера $\ell_{0}$, полученную Карлесом Симо и позже подтвержденную Жаком Ласкаром:
\[
\frac{\pi}{5.082553924511} \leqslant \ell_{0} \leqslant \frac{\pi}{5.082553924509} .
\]

Эти оценки получены с использованием метода Ньютона для вычисления $\varphi(\theta)$ и $\varphi^{\prime}(\theta)$, и затем метода трапеции для вычисления интеграла.

Примечание. Объясним значение сферических координат в терминах треугольников. Параллели или «широты» $\varphi=$ const в форм-сфере соответствуют треугольникам с одинаковой ориентацией и одинаковым эллипсоидом инерции с точностью до вращения. Несомненно, это множество треугольников характеризуется общей площадью (см. [1]). Но площадь пропорциональна $\operatorname{Im} \bar{z}_{1} z_{2}$, то есть $u_{3}=\sin \varphi$, функции высоты на сфере. Меридианы или «долготы» $\theta=$ const в форм-сфере определены линейной зависимостью между квадратами взаимных расстояний. Эти свойства координат $(\theta, \varphi)$ являются следствием инвариантности метрики под действием ортогональной группы $O(\mathcal{D})$ пространства расположений $\mathcal{D}$ (см. определение в [1]). Равносторонние треугольники $L_{ \pm}$(северный и южный полюса) неподвижные точки при действии $S O(\mathcal{D})$, а параллельные окружности с центрами в $L_{ \pm}$являются орбитами при действии $S O(\mathcal{D})$. Геодезические линии, проходящие через $L_{ \pm}$, ортогональны этим окружностям и образуют меридианы. Они транзитивно преобразуются друг в друга посредством $S O(\mathcal{D})$, и каждый задан симметрией в $O(\mathcal{D})$.