Довольно большой вклад в основание науки эффективных вычислений внес А. Пуанкаре, получивший множество интересных результатов в этой области. Столетие спустя после его великих работ мы вновь возвращаемся к полученным им результатам. Настоящая работа посвящена отдельным аспектам как символических, так и численных эффективных вычислений.

В структуре исследований динамики (или в ее так называемом скелете) ключевую роль играют инвариантные объекты фазового потока: периодические орбиты, инвариантные торы, инвариантные устойчивые и неустойчивые многообразия, центральные многообразия и т. д. Они дают ключ к
\»C. Simó. Effective computations in hamiltorian dynamics. Preprint. Перевод А. В. Борисова, А. Г. Арзамасцева.

предсказанию или интерпретации поведения большинства точек в фазовом пространстве, следуя идее А. Пуанкаре о том, что лучше изучать все множество орбит, чем следить за какой-то конкретной.

Эти инвариантные объекты могут быть получены при комбинировании символических вычислений и численного продолжения по параметрам. Существенно также знать динамические свойства в окрестности этих объектов для создания надежных алгоритмов. Для проблем, которые превышают наши аналитические возможности, существуют методы анализа результатов приближенного моделирования, позволяющие судить о наличии инвариантных объектов.

Использование компьютера как средства для понимания поведения динамических систем, кажется, теперь не вызывает вопросов. Многие явления были первоначально открыты при помощи компьютерного моделирования, а затем получили теоретическое объяснение. Следует помнить, что на компьютере сложно увидеть некоторые очень мелкие детали динамики. Однако произведя вычисления с арифметикой высокой точности, можно все-таки увидеть очень мелкие детали. В этой статье такие вычисления не представлены. С другой стороны, нелинейные явления, возникающие вдали от «любого хорошо известного эталонного объекта или задачи», могут оказаться сложными для изучения чисто аналитическими методами. Лично я воспринимаю компьютерные результаты как информацию о динамике изучаемой системы. Из них возникают гипотезы, требующие доказательства. Также они могут использоваться для проверки (по крайней мере частично) гипотез, возникающих из теоретических построений. Можно сказать, что для средних размерностей и до среднего уровня детализации имеет смысл опираться на компьютерные результаты. Значение слова «средний» зависит от текущего уровня как аппаратного оборудования, так и алгоритмов. Кроме того, существует взаимосвязь между алгоритмами, используемыми в доказательствах, и алгоритмами, созданными для эффективных вычислений. В некоторых случаях первые могут быть успешно и эффективно запрограммированы, а вторые, созданные для получения компьютерного результата, преобразованы в теоретические доказательства.

В большинстве экспериментальных наук в настоящее время технологии позволяют исследователю получить большое количество информации о задаче при ее экспериментальном изучении вместо простого размышления о ее возможном поведении. Разумеется, исследователь должен предоставить и проверить всеми возможными способами некоторое последовательное описание собранных экспериментальных данных и должен очень тщательно
выбирать, какие свойства следует изучать экспериментально. Я не вижу никаких причин, почему некоторые математики не могли бы использовать подобный подход.

Текущее состояние компьютерной технологии позволяет проводить с разумными усилиями большой объем вычислений. Похоже, что в эту эпоху узким местом вычислений являются большой объем данных, используемых в символьных вычислениях и при хранении результатов символьных или численных экспериментов, а также визуализация и интерпретация результатов даже для небольших размерностей (например, в пределах от 4 до 10).