В этом разделе представлены некоторые численные результаты для относительно больших значений параметра $b$.
4.1. Окрестность границ полуостровов

Вблизи границы полуострова показатель Ляпунова и число вращения, по-видимому, всегда ведут себя, как в случае малого $b$, в соответствии с нормальной формой.

Рассмотрим показатель Ляпунова: в пределах полуострова, когда $a$ приближается к его границе, $\left|\lambda(a)-\lambda\left(a^{*}\right)\right|$ ведет себя как квадратный корень
$\sqrt{\left|a-a^{*}\right|}$, где $\left|a^{*}\right|$ обозначает соответствующую граничную точку (левую или правую) интервала. При малых $b \lambda\left(a^{*}\right)$ равно нулю. Однако даже для больших значений $b$, где $\lambda\left(a^{*}\right)>0$, поведение $\lambda(a)$ имеет вид $c_{L} \sqrt{\left|a-a^{*}\right|}$.

По определению, в пределах полуострова $\rho$ – постоянная величина. Пусть $a^{*}$ будет левой граничной точкой интервала. Тогда для $a<a^{*} \rho\left(a^{*}\right)-$ $-\rho(a) \sim c_{R} \sqrt{a^{*}-a}$. Если же $a^{*}-$ правая граничная точка, то $\rho(a)-\rho\left(a^{*}\right) \sim$ $c_{R} \sqrt{a-a^{*}}$ для $a>a^{*}$. Более того, соотношение между константами $c_{L}$ и $c_{R}$ соответствует теоретическим прогнозам, полученным в случаях, когда нормальная форма дает достаточно хорошее приближение.

На рис. 6 приведены увеличения некоторых областей вблизи границы полуострова.
4.2. Коллапс резонансов

Одним из загадочных явлений в динамике уравнений является «коллапс» резонансов, заключающийся в следующем. При увеличении параметpa $b$ границы различных полуостровов сближаются. При этом показатель Ляпунова за пределами резонансных полуостровов уже не нулевой, а положительный. Кроме того, изменение $\rho$ в зависимости от $a$, по-видимому, сильнее, чем просто квадратный корень. На рис. 7 показаны $\lambda$ и $\rho$ при $b=0.51,0.54,0.57$ и 0,60 . Особенно необычно это явление в области значений $a^{2}$ в интервале между 0,38 и 0,52 .

Точные вычисления позволяют обнаружить и измерить ширину (ширина $=a_{\text {правая граница }}-a_{\text {левая граница) }}$ всех полуостровов шириной более $10^{-7}$ при различных значениях $b$. На рис. 8 приведен график меры дополнения резонансных полуостровов в области $a^{2} \in[0.35,0.75]$ в зависимости от $b$. Конечно, мера дополнения зависит от выбранной области $a$. В случае более коротких интервалов для значений $b$, при которых интервал лежит за точкой пересечения линия коллапса резонансов (см. далее), мера дополнения уменьшается до значений, очень близких к нулю.

При рассмотрении показателя Ляпунова мы видим следующее. За пределами «выпуклостей» полуостровов значения $\lambda$, по-видимому, лежат на прямой линии (для тех $b$, при которых $\lambda$ положителен). Эта линия пересекает ось $\lambda=0$ при некотором $a$, зависящем от текущего значения $b$. Введенную таким образом кривую можно рассматривать в качестве точного определения линии коллапса. При значениях $(a, b)$ выше этой линии, показатель Ляпунова, очевидно, положителен даже за пределами резонансных полуостровов, тогда как ниже линии за пределами полуостровов он равен нулю. На рис. 9 изображен общий вид резонансных полуостровов и оценка

Рис. 6. Графики $\lambda$ и $\rho$ около границы полуострова. Слева расположены графики $\lambda$. На графике вверху вне полуострова $\lambda=0$, а в его пределах – положительна. Внизу показана ситуация, когда за пределами полуострова $\lambda$ все еще положительна. На графиках справа показаны соответствующие значения $\rho$, где ясно видно поведение, типичное для квадратного корня. График вверху соответствует значению $b=0.5$ и диапазону $a^{2} \in[0.3945,0.396]$. Нижний график соответствует $b=0.54$ и диапазону $a^{2} \in[0.4067,0.4094]$

положения линии коллапса при $a^{2} \in[0.25,1]$ и $b \in[0,1]$. На рис. 10 показана увеличенная область $a^{2} \in[0.3916,0.4104], b \in[0.5,0.57]$ предыдущего рисунка, на которой показаны все резонансы порядка меньше или равного 101 в этом $a$-диапазоне. Слева направо (включая большую резонансную зону в начале рисунка слева): $(1,0),(-54,34),(35,-21),(-20,13),(14,-8)$, $(-41,26),(48,-29),(-7,5),(-62,39),(27,-16),(-28,18),(61,-37)$, $(6,-3),(-49,31),(40,-24),(-15,10),(19,-11),(-36,23),(53,-32)$, $(-2,2)$.

Закончим этот раздел еще двумя наблюдениями. Первое состоит в том, что резонансные полуострова становятся уже при возрастании $b$ относи-

Рис. 7. Графики показателя Ляпунова $\lambda$ (рисунки слева) и числа вращения $\rho$ (рисунки справа) при $b=0.51,0.54,0.57$ и 0.60 (сверху вниз)

Рис. 8. Оценка меры дополнения множества резонансов в зависимости от $b$

тельно линии коллапса. Во-вторых, при малых $b$ ширина резонансов подчиняется определенной ранее зависимости от порядка резонанса. Если мы сравним один резонанс с другим, то, по-видимому, они уменьшаются экспоненциально в зависимости от порядка. Кроме того, коэффициенты $c_{L}$ в законе квадратного корня или максимумы выпуклостей $\lambda$ ведут себя подобным же образом.

Вблизи коллапса данные наблюдения уже не верны. В этом случае ширина резонансов равна $1 /$ (некоторая степень порядка резонанса), причем эта степень уменьшается приблизительно до 2, при приближении к коллапсу. Более точные данные, соответствующие рисунки, а также о том, как более подробное численное исследование выявляет дополнительные интересные характеристики, см. в следующем разделе.