Без потери общности можем предположить, что критическое значение $y^{*}$ располагается в начале координат. Начальное интегрируемое отображение $F_{0}$ можно взять в виде
\[
F_{0}:(x, y) \rightarrow(\bar{x}, \bar{y})=\left(x+\omega+y^{2}+O\left(y^{3}\right), y\right),
\]

где по предположению $\alpha(y)$ является аналитическим в окрестности $y=0$, а переменная $y$ отмасштабирована так, что коэффициент при $y^{2}$ равен единице. Отметим, что в соответствии с (2) $F_{0}$ имеет минимум числа вращения при $y=0$. Аналогичным образом можно исследовать случай максимума.

Удобнее работать с производящей функцией $S$ СПО $F$, а не самим отображением $F:(x, y) \rightarrow(\bar{x}, \bar{y}):$
\[
S=S(x, \bar{y}), \quad \bar{x}=\frac{\partial S}{\partial \bar{y}}, \quad y=\frac{\partial S}{\partial x} .
\]

Производящая функция $S_{0}$, соответствующая (2), задается
\[
S_{0}(x, \bar{y})=x \bar{y}+\omega \bar{y}+\frac{1}{3} \bar{y}^{3}+O\left(\bar{y}^{4}\right) .
\]

Теперь введем в $F_{0}$ возмущение и получим некоторое $\varepsilon$-зависимое семейство $F_{\varepsilon}$. Как уже говорилось выше, проще возмутить производящую функцию до $S_{\varepsilon}$.

Теорема 1 (Общее возмущение общего случая). Рассмотрим общее возмущение незакручивающего СПО, заданного порождающей функцией (3). Оно имеет инвариантные кривые, при условии что возмуцение достаточно мало, а ш лежит в соответствующих пределах.
Доказательство состоит из нескольких шагов 1 .
Шаг 1. Приведение к некоторой модели с малым возмущением.
Рассмотрим производящую функцию возмущенного отображения. Она имеет вид
\[
S_{\varepsilon}(x, \bar{y})=x \bar{y}+\omega \bar{y}+\frac{1}{3} \bar{y}^{3}+O\left(\bar{y}^{4}\right)+\sum_{j \geqslant 1} \varepsilon^{j} \sum_{k \geqslant 0} p_{j, k}(x) \bar{y}^{k},
\]

где $\varepsilon$ – малый параметр, а $p_{j, k}-2 \pi$-периодические функции, так что $S \varepsilon$ является аналитической в некоторой области $|\bar{y}|<y_{0},|\operatorname{Im}(x)|<x_{0}$. Из (4) следует, что главные члены возмущенного отображения $F_{\varepsilon}$ следующие:
\[
\bar{x}=x+\omega+\bar{y}^{2}+O\left(y^{3}, \varepsilon\right), \bar{y}=y-\varepsilon \frac{d p_{1,0}}{d x}+O\left(\varepsilon y, \varepsilon^{2}\right) .
\]
${ }^{1}$ В недавней статье А. Дельшамса и Р. ДелаЯве (A. Delshams, R. de la Llave KAM theory and a partial justification of Greene’s criterion for non-twist maps, preprint 1998) рассматривается существование немеандровых инваринатных кривых также в случае несручивающих отображений.

Предположим (не нарушая общности), что $\frac{d p_{1,0}}{d x}$ не тождественно равно нулю, и для краткости обозначим его просто как $-p(x)-2 \pi$-периодическую функцию с нулевым средним. Произведем замену переменных в отображении (5)
\[
\begin{array}{c}
y \rightarrow \gamma y, \quad \gamma=\varepsilon^{1 / 3}, \quad \omega=2 \pi \frac{m}{n}+\delta, \\
\delta=-b \alpha, \quad \alpha=\varepsilon^{2 / 3},
\end{array}
\]

после которой новая переменная (которую мы опять обозначили через $y$ ) и параметр $b$ конечны в интересующей нас области. Произведенной заменой мы, по сути, выбираем полосу значений исходной переменной $y$ шириной $O\left(|\varepsilon|^{1 / 3}\right)$, а параметр $\omega$ рассматриваем в $O\left(|\varepsilon|^{2 / 3}\right)$ окрестности соответствующего рационального числа $m / n$. После замены в качестве малого параметра удобнее использовать $\alpha$. Отображение при этом принимает вид
\[
F_{\alpha}:(x, y) \rightarrow(\bar{x}, \bar{y})=\left(x+2 \pi \frac{m}{n}+\alpha\left(-b+\bar{y}^{2}\right)+O\left(\alpha^{3 / 2}\right), y+\alpha p(x)+O\left(\alpha^{3 / 2}\right)\right) .
\]

Если $\alpha$ очень мало по сравнению с $1 / n$, естественно искать $n$-ю степень отображения $F_{\alpha}$, при этом члены, независящие от $\alpha$, должны давать тождественное преобразование. Пусть $\left(x^{(0)}, y^{(0)}\right)$ является исходной точкой, а $\left(x^{(j)}, y^{(j)}\right), j=1, \ldots, n$ является первыми $n$ итерациями (7). Простое вычисление дает
\[
F_{\alpha}^{n}:\left(\begin{array}{l}
x^{(0)} \\
y^{(0)}
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{l}
x^{(n)} \\
y^{(n)}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
x^{(0)}+n \alpha\left(-b+\bar{y}_{(0)}^{2}\right)+O\left(n \alpha^{3 / 2}\right. \\
y(0)+\alpha \sum_{j=0}^{n-1} p\left(x^{(j)}\right)+O\left(n \alpha^{3 / 2}\right)
\end{array}\right) .
\]

Сумма в (8) может быть представлена в виде
\[
n\left\{c_{n} \sin \left(n x^{(0)}+\varphi_{n}\right)+c_{2 n} \sin \left(2 n x^{(0)}+\varphi_{2 n}+\ldots\right\}+O\left(n \alpha^{2}\right),\right.
\]

где $\varphi_{k n}, k \geqslant 1$ – подходящие фазы. Снова, не нарушая общности, можно предположить, что $c_{n}
eq 0$. Для упрощения приводимых ниже рассуждений будем предполагать аналитичность $p$, а также предположим, что коэффициенты $c_{k n}$ намного меньше, чем $c_{n}$ при $k \geqslant 2$. Таким образом, в дальнейших рассуждениях мы оставим только $c_{n}$, а отброшенные члены будут создавать только малые возмущения. Примеры, где данное допущение нельзя использовать, ниже будут рассмотрены отдельно.
Теперь мы можем сделать следующие упрощения:

1. Так как относительный угол в (9) равен $n x(0)$, то мы примем его за новую угловую переменную и снова обозначим как $x$. Аналогичным образом, $y(0)$ обозначим как $y$.
2. Фазу $\varphi_{n}$ можно исключить с помощью выбора начала отсчета углов.
3. Величину $n \alpha$ можно рассматривать как новый малый параметр,который снова обозначим как $\alpha$.
4. Коэффициент $c_{n}$ можно положить равным единице с помощью соответствующего масштабирования переменной $y$ (и последующего масштабирования $\alpha$ ). При этом также происходит масштабирование $b$, однако, как и выше, мы сохраним старое название за новым параметром.
Подводя итог, отображение (8) можно записать в виде
\[
M_{\alpha}:(x, y) \rightarrow(\bar{x}, \bar{y})=\left(x+\alpha\left(-b+\bar{y}^{2}\right)+o(\alpha), y+\alpha \sin (x)+o(\alpha)\right) .
\]

Полученное отображение все еще является СПО, и, кроме того, благодаря малости $\alpha$ оно близко к тождественному. С помощью стандартных методов достройки простого отображения до периодического по времени гамильтонова потока с одной степенью свободы и методов усреднения (общий обзор см. в [9], а болсс присмлсмос к рассматривасмому здссь случаю изложение см. в [2]) отображение (10) может быть записано как автономный гамильтонов поток с переменной $\alpha$ в качестве времени плюс экспоненциально малая по $\alpha$ (т.е. ограниченная выражением вида $\exp \left(-c_{1} /|\alpha|\right)$ с некоторым положительным $c_{1}$ и достаточно малым $\alpha$ ) поправка. Получаемый гамильтониан при $\alpha \rightarrow 0$ имеет вид
\[
H_{\alpha}(x, y)=-b y+\frac{1}{3} y^{3}+\cos (x)+o(1) .
\]

Зависимость от $\alpha$ включена в слагаемое $o(1)$, и задача рассматривается в некоторой компактной области в переменных $(x, y, b)$, например, в области $S^{1} \times[-10,10] \times[-10,10]$, которой вполне достаточно для наших целей.
Шаг 2. Исследование гамильтониана
Теперь изучим динамику (11) в зависимости от $b$, опустив члены $o(1)$. При $b \geqslant 0$ в системе существуют неподвижные точки в $A=(0, \sqrt{b}), B=$ $=(0,-\sqrt{b}), C=(\pi, \sqrt{b})$ и $D=(\pi,-\sqrt{b})$. Если $b>0$, то $A$ и $D-$ гиперболические точки, а другие две – эллиптические. Если $b=0$, то $A=$ $=B, C=D$, и обе точки являются параболическими. Интересно отметить, что значения гамильтониана в различных неподвижных точках следующие:
\[
\begin{array}{ll}
H(A)=-\frac{2}{3} b^{3 / 2}+1: & H(B)=\frac{2}{3} b^{3 / 2}+1, \\
H(C)=-\frac{2}{3} b^{3 / 2}-1 . & H(D)=\frac{2}{3} b^{3 / 2}-1 .
\end{array}
\]

Из (12) следует, что при критическом значении $b_{\text {crit }}=(3 / 2)^{2 / 3}$ гиперболические точки находятся на одном уровне энергии ( $H=0$ ). Следовательно, кроме гомоклинических, для этого значения $b$ будут существовать гетероклинические пересечения.
Рис. 1. Несколько сценариев поведения гамильтонова потока (11)
На рис. 1 приведены фазовые портреты (11) при различных значениях $b$. На рис. 1а показан случай $b>b_{\text {crit }}$. Точки с большими значениями $|y|$ двигаются вправо, тогда как при малых $|y|$ они двигаются влево: две резонансные зоны разделены. Случай b) соответствует критическому значению, когда появляются гетероклинические пересечения: резонансы начинают сливаться. Случай с), где $b \in\left(0, b_{\text {crit }}\right)$, наиболее интересен: резонансы влияют друг на друга. В области энергий $h \in\left(\frac{2}{3} b^{3 / 2}-1,1-\frac{2}{3} b^{3 / 2}\right)$ точки двигаются теперь по орбитам, которые идут в среднем слева направо, однако между двумя уровнями, соответствующими неподвижным точкам, они двигаются влево. Назовем интегральные кривые в этой области меандровыми кривыми. Наконец, на рис. $1 \mathrm{~d}$ изображен случай $b=0$, когда все точки монотонно движутся направо. При $b<0$ неподвижных точек не существует, и все точки движутся направо: резонансы отсутствуют.

Теперь сосредоточимся на случае, показанном на рис. 1с. Меандровые кривые являются периодическими орбитами, период которых из соображений симметрии зависит только от $b$ и $|h|$. Ясно, что для фиксированного $b$ при стремлении $|h|$ к $H(A)$ период траектории увеличивается до $\infty$. Было бы интересно (но не обязательно для наших целей) показать монотонность периода относительно $|h|$. Однако, по-видимому, доказательство будет основываться на изнуряющих численных проверках, так что мы только сформулируем

Гипотезу 1. Для $b \in\left(0, b_{\text {crit }}\right)$ период меандровых кривых является возрастающей функцией $|h|$.
Для периода $T(b,|h|)$ при $h=0$ выполняется следующее:
Лемма 1. В пределе, когда $\alpha$ стремится к нулю, период меандровых кривых (11) на уровне энергии $h=0, T(b, 0)$ является возрастающей функцией в в области $\left(0, b_{\text {crit }}\right)$.
Доказательство леммы.
В рассматриваемом случае период задается выражением
\[
T(b, 0)=4 \int_{0}^{y_{\max }}\left(1-\left(b y-y^{3} / 3\right)^{2}\right)^{-1 / 2} d y,
\]

где $y_{\max }$ – единственный вещественный нуль уравнения $b y=y^{3} / 3-1$. Очевидно, что $y_{\max }$ является возрастающей функцией $b$ и колеблется в пределах $\left(3^{1 / 3}, 12^{1 / 3}\right)$. Следовательно, после введения $z=y / y_{\max }$ период можно выразить как
\[
T(b, 0)=4 y_{\max } \int_{0}^{1}\left(1-\left(y_{\max }^{3}\left(z-z^{3}\right) / 3-z\right)^{2}\right)^{-1 / 2} d z .
\]

Для доказательства леммы достаточно убедиться, что $T(b, 0)$ является возрастающей функцией $y_{\max }$. Введем $\gamma=y_{\max }^{3} / 3$, которое колеблется в пределах $(1,4)$ и $w=z^{2}$, тогда из (14) вытекает
\[
\frac{d T(b, 0)}{d y_{\max }}=2 \int_{0}^{1} A(\gamma, w) B(\gamma, w)^{-3 / 2} w^{-1 / 2}(1-w)^{-1 / 2} d w,
\]

где
\[
A(\gamma, w)=1+w\left(2 \gamma^{2}-\gamma\right)-w^{2} 2 \gamma^{2}, B(\gamma, w)=1+w\left(2 \gamma-\gamma^{2}\right)+w^{2} \gamma^{2} .
\]

Легко проверить следующие свойства функций $A$ и $B$ :

– $A(\gamma, \cdot)$ имеет единственный нуль $w_{c}(\gamma)$ на отрезке $(0,1)$ для всех $\gamma \in(1,4)$. Более того, $w_{c}(\gamma) \geqslant 8 / 9$, при этом равенство достигается при $\gamma=9 / 4$. Функция $A$ имеет единственный максимум в $\left[0, w_{c}\right]$.
– $A(\gamma, w) \geqslant 1$, если $w \in[0,1 / 2], \forall \gamma \in[1,4]$. А также $A(\gamma, w) \geqslant-3$ для $\forall w \in[0,1]$ и $\forall \gamma \in[1,4]$.
– При $\gamma \leqslant 2 B(\gamma, \cdot)$ – возрастающая функция, а при $\gamma \in[2,4]$ имеет единственный минимум в точке $\frac{1}{2}-\frac{1}{\gamma}$ со значением $\gamma-\gamma^{2} / 4$.
– $B(\gamma, w) \leqslant 2$ для $\forall w \in[0,1 / 2]$ и $\forall \gamma \in[1,4]$. С другой стороны, $B(\gamma, w) \geqslant 217 / 81>8 / 3$ для $\forall w \in[8 / 9,1]$ и $\forall \gamma \in[1,4]$.

Так как интеграл в (15) мы можем расписать как сумму $\int_{0}^{1}=\int_{0}^{1 / 2}+\int_{1 / 2}^{w_{c}}+$ $+\int_{w_{c}}^{1}$, и выполняются неравенства
\[
\begin{array}{c}
\int_{0}^{1 / 2}>2^{-3 / 2} \int_{0}^{1 / 2} w^{-1 / 2}(1-w)^{-1 / 2} d w, \quad \int_{1 / 2}^{w_{c}}>0, \\
\left|\int_{w_{c}}^{1}\right|<3(8 / 3)^{-3 / 2} \int_{0}^{1 / 9} w^{-1 / 2}(1-w)^{1 / 2} d w
\end{array}
\]

то достаточно проверить
\[
8 \int_{0}^{1 / 2} w^{-1 / 2}(1-w)^{-1 / 2} d w>3^{5 / 2} \int_{0}^{1 / 9} w^{-1 / 2}(1-w)^{-1 / 2} d w,
\]

что, очевидно, истинно. Отметим, что для $b=0$ минимальное значение $T(b, 0)$ равно:
\[
t(0,0)=4 \times 3^{1 / 3} \sum_{j \geqslant 0} \frac{(2 j-1) ! !}{(2 j) ! !} \frac{1}{6 j+1} \simeq 7.005440706685 .
\]

Таким образом, число вращения орбиты предельного гамильтониана (11) на уровне энергии $h$ при заданном значении параметра $b$ равно $\rho(\alpha, b, h)=$ $=\alpha / T(b,|h|)$. Это число вращения имеет ненулевую производную, за исключением случая $h=0$, и, может быть, при некотором другом значении $h$
(фактически, если вышеприведенная гипотеза верна, то других исключительных значений не существует).

Шаг 3. Возврат к диффеоморфизму и существованию инвариантных кривых.

Теперь вернемся к диффеоморфизму $M_{\alpha}$, определенному в (10). Но сначала для заданного значения $b \in\left(0, b_{\text {crit }}\right)$ перейдем к переменным действие-угол для $h \in(H(D), H(A)$. Пусть $(I, \psi)$ будут этими переменными, где в качестве $I$ берется $h$, а в качестве $\psi$ – отмасштабированная длина дуги. Такая замена переменных является «хорошим» диффеоморфизмом (то есть с ограниченными дифференциалом и его обратной величиной). Исключение составляют значения $\mid h$, слишком близкие к $1-\frac{2}{3} b^{3 / 2}$. Более подробное описание, как перейти к границе действия замены переменных, см. в [2], где приведены вычисления при исследовании диффеоморфизмов Богданова-Такенса. В переменных $(I, \psi)$ поток $H_{\alpha}$ записывается как
\[
(I, \psi) \rightarrow(I, \psi+2 \pi \rho(\alpha, b, h)) .
\]

Отметим, что для того, чтобы разница между рассматриваемым потоком и $M_{\alpha}$ была экспоненциально мала по $\alpha$, следует рассматривать полное выражение для $H \alpha$, а не только главный член. Теперь мы готовы записать $M_{\alpha}$ в переменных $(I, \psi)$ :
\[
M_{\alpha}:(I, \psi) \rightarrow(\bar{I}, \bar{\psi})=(I, \psi+2 \pi \rho(\alpha, b, h))+O\left(\exp \left(-c_{2} / \alpha\right),\right.
\]

где новая константа $c_{2}$ все еще положительна, но она уменьшена по сравнению с предыдущей постоянной $c_{1}$ для того, чтобы учесть деформации, введенные изменением переменных.

Отображение (17) теперь является относительно малым возмущением закручивающего отображения. Несмотря на то, что закручивание «мало» (порядка $\alpha$ и, более того, включает множитель, стремящийся к нулю, если соответствующий $|h|$ стремится к $1-2 b^{3 / 2} / 3$ ), возмущение настолько мало, что все еще можно применить первоначальную теорему Мозера для доказательства существования инвариантных кривых, близких к кривым $H_{\alpha}$, то есть кривых меандрового характера.

Эти кривые не могут слишком близко приблизиться к гомоклиническим пересечениям предельного потока (см. рис. 1в) благодаря общему расщеплению сепаратрис и соответствующему стохастическому слою, хотя в любом случае данный эффект замечается в экспоненциально узкой полосе.

Рис. 2. Несколько примеров меандровых кривых: а) и б) типичные случаи в) нетипичный случай и г) увеличение в). На всех рисунках, за исключением г), горизонтальный размер составляет $[0,2 \pi]$, а вертикальный: a) $[-0.35,0.3]$; b) $[-0.11,0.09]$; c) $[-0.06,0.06]$. На рисунке г) размеры окна составляют $[0.5251295,0.525131] \times$ $[-0.0250664,-0.0250662]$