Нас интересуют периодические решения, в которых все $N$ тел движутся вдоль одной и той же кривой $q(t)$ с некоторым периодом, величина которого нас интересовать не будет. Доказательства, приведенные ниже, остаются верны для решений любого периода. Более того, в случае однородного потенциала масштабирование позволяет получить требуемый период. Для удобства выберем период равным $N$. Таким образом, мы будем искать решения задачи $N$ тел в виде
\[
x_{j}(t)=q(t+j): j=0, \ldots, N-1
\]

где $q(t)=q(t+N)$ (см. [3]).
Будем говорить, что траектория имеет столкновение, если для некоторого времени $t$ и целого числа $i=1, \ldots N-1$ выполняется равенство $q(t)=q(t+i)$. Нас интересуют решения без столкновений. Пусть $\mathcal{C}=$ $=C^{0}\left(\mathbb{S}^{1}, \mathbb{C}\right)$ — множество всех непрерывных кривых $q: \mathbb{S}^{1}=\mathbb{R} / N \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{C}$ с $C^{0}$-топологией. Определим подмножество $\mathcal{D} \subset \mathcal{C}$ как множество всех кривых со столкновениями.

Определение 1. Класс простых хореографий является компонентой множества $\mathcal{C} \backslash \mathcal{D}$.
Основным теоретическим результатом этой статьи является
Theorem 2. Для любого заданного класса простых хореографий существует периодическое решение плоской задачи $N$ тел с потенциалом сильного взаимодействия (3), которое принадлежит данному классу.

Сравните с $[13,11]$, где обосновываются похожие результаты для произвольных классов кос.

Примеры простых хореографий приведены на рисунках в данной статье Большинство из них относятся к случаю ньютоновского потенциала. В статье [16] К. Симо привел некоторые другие семейства хореографий. В разделе 5 доказывается, что число «основных» простых хореографий возрастает по крайней мере экспоненциально с ростом $N$.
2.1. Альтернативное описание

Существует еще одно описание простых хореографий (см.[1]). Конфигурационным пространством для плоской задачи $N$ тел является $\mathbb{C}^{N}$. Рассмотрим окружность $\mathbb{S}^{1}=\mathbb{R} / N \mathbb{Z}$ длины $N$ на плоскости. Впишем в $\mathbb{S}^{1}$ правильный $N$-угольник с вершинами, пронумерованными в круговом порядке, при этом вершине на положительной оси $x$ присвоим номер 0 . Образ вершины $j$ при действии отображения $x: \mathbb{S}^{1} \rightarrow \mathbb{C}^{N} \backslash \Delta$ соответствует начальному положению $x_{j}(0)$ массы $j, j=0,1, \ldots N-1$. Так как $N$-угольник движется как твердое тело вместе с окружностью, то образ вершины движется по некоторой кривой в $\mathbb{C}^{N}$. Действие группы $\mathbb{Z}_{N}$ на $\mathbb{S}^{1}$ заключается во вращении, переводящем наш стандартный $N$-угольник самого в себя. При этом стандартный генератор группы $ๆ$ действует на точку $t \in \mathbb{S}^{1}$ следующим образом $t \mapsto \gamma \circ t=t+1$. Действие этого же генератора на $\mathbb{C}^{N}$ заключается в перестановке масс: $x=\left(x_{0}, \ldots, x_{N-1}\right) \mapsto \gamma \circ x=\left(x_{1}, \ldots, x_{N-1}, x_{0}\right)$.

Теперь мы приведем наиболее значительное наблюдение. Отображение $x: \mathbb{S}^{1} \rightarrow \mathbb{C}^{N}$ эквивариантно относительно действия $\mathbb{Z}_{N}$, то есть $x(\gamma \circ t)=\gamma \circ x(t)$ тогда и только тогда, когда $x_{j}(t)=x_{0}(t+j)$. Другими словами, $\mathbb{Z}_{N}$-эквивариантные отображения в $\mathbb{C}^{N}$ в точности соответствуют замкнутым кривым $q: \mathbb{S}^{1} \rightarrow \mathbb{C}$ на плоскости с соответствием заданным уравнением (4). Это определяет естественное соответствие $\mathcal{C}:=$ $=C^{0}\left(\mathbb{S}^{1}, \mathbb{C}\right) \leftrightarrow C^{0}\left(\mathbb{S}^{1}, \mathbb{C}^{N}\right)_{\mathbb{Z}_{N}}$, где индекс $\mathbb{Z}_{N}$ обозначает эквивариантность относительно этой группы. Более того, кривая является бесстолкновительной в указанном выше смысле тогда и только тогда, когда соответствующая ей кривая в $C^{0}\left(\mathbb{S}^{1}, \mathbb{C}^{N}\right)_{\mathbb{Z}_{N}}$ также не имеет столкновений, то есть не существует точек с $x_{i}=x_{j}$ при $i
eq j, i, j=0, \ldots N-1$. Это устанавливает естественное соответствие между пространством петель $\mathcal{C} \backslash \mathcal{D}$, рассмотренным выше, и пространством $C^{0}\left(\mathbb{S}^{1}, \mathbb{C}^{N} \backslash \Delta\right)_{\mathbb{Z}_{N}}$, где $\Delta \subset \mathbb{C}^{N}$ является множеством всех возможных столкновений между любыми из тел. ( $\Delta$ иногда называется «утолщенной диагональю»). Таким образом, класс простых хореографий — это то же самое, что и компонента пространства бесстолкновительных эквивариантных петель в конфигурационном пространстве $C^{0}\left(\mathbb{S}^{1}, \mathbb{C}^{N} \backslash \Delta\right)_{\mathbb{Z}_{N}}$.
2.2. Замечание по поводу наложения дополнительных симметрий
$\operatorname{Ha} \mathbb{S}^{1}$ и $\mathbb{C}^{N}$ действуют и некоторые другие группы симметрии. Налагая эти дополнительные симметрии, мы можем получить целый набор красивых симметричных хореографических решений задачи $N$ тел. Зафиксируем конечную группу $\Gamma$, содержащую $\mathbb{Z}_{N}$ и действующую и на $\mathbb{S}^{1}$ и на $\mathbb{C}^{N}$ так, что лагранжиан системы сохраняется, а ограничение действия на $\mathbb{Z}_{N}$ соответствует ранее определенному действию $\mathbb{Z}_{N}$. Заменим $C^{0}\left(\mathbb{S}^{1}, \mathbb{C}^{N} \backslash \Delta\right)_{\mathbb{Z}_{N}}$ на $C^{0}\left(\mathbb{S}^{1}, \mathbb{C}^{N} \backslash \Delta\right)_{\Gamma} \subset C^{0}\left(\mathbb{S}^{1}, \mathbb{C}^{N} \backslash \Delta\right)_{\mathbb{Z}_{N}}$ — пространство $\Gamma$-эквивариантных петель. Тогда определение классов хореографий расширяется до эквивариантных хореографических классов, а основная теорема выполняется и в эквивариантном случае.

Рассматриваемые нами группы $\Gamma$ являются циклическими $\left(\mathbb{Z}_{N m}\right)$, или диэдральными ( $D_{N m}$ ) расширениями $\mathbb{Z}_{N}$, или их произведением на какуюлибо подгруппу $O(2)$. Напомним, что группа диэдра $D_{k}$ — группа симметрий правильного $k$-угольника, является нетривиальным расширением $\mathbb{Z}_{k} \mathrm{c}$ помощью $\mathbb{Z}_{2}$, которое допускает представление $\left\{s, \sigma \mid s^{k}=1, \sigma^{2}=1, \sigma s \sigma=\right.$ $\left.=s^{-1}\right\}$. Эти группы могут быть получены несколькими путями как полупрямые произведения. Например, $D_{6}$ является полупрямым произведением $\mathbb{Z}_{3}$ на $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}$, а $D_{12}$ — полупрямым произведением $\mathbb{Z}_{4}$ на $D_{3}$, и т. п. Определим теперь соответствующие действия. Мы будем рассматривать действие $D_{k}$ на $\mathbb{S}^{1}$ (длины $N$ ), определенное выражением: $s \cdot t=t+N / k, \quad \sigma \cdot t=-t$, хотя можно также рассматривать и другие действия на $\mathbb{C}^{N}$. Единственным условием будет ограничение действия на нормальную подгруппу $\mathbb{Z}_{N}$ (образованную $s^{m}$ ) определенную в 2.1 , как
\[
s^{m} \cdot\left(x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{N-1}\right)=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{0}\right) .
\]

Возьмем например $N=3$ и $\Gamma=D_{6}$. В качестве первого действия $D_{6}$ на $\mathbb{C}^{3}$ определим
\[
s \cdot\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)=\left(-x_{2},-x_{0},-x_{1}\right), \quad \sigma \cdot\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)=\left(\bar{x}_{0}, \bar{x}_{2}, \bar{x}_{1}\right) .
\]

В качестве второго возьмем
\[
s \cdot\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)=\left(-\bar{x}_{2},-\bar{x}_{0},-\bar{x}_{1}\right), \quad \sigma \cdot\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)=\left(-x_{0},-x_{2},-x_{1}\right) .
\]

Примером эквивариантной петли для первого действия $D_{6}$ является лагранжево треугольное решение, когда три тела движутся друг за другом по кругу, причем в начальный момент времени $x_{0}$ лежит на пересечении окружности и положительной части горизонтальной (действительной) оси. Примером эквивариантной петли для второго действия является восьмерка, с $x_{0}$, в начальный момент времени лежащим в начале координат. Заметим, что, напротив, и «супервосьмерка» с четырьмя телами (рис. 3b), и решение относительного равновесия, когда все четыре тела образуют квадрат и движутся друг за другом по окружности, эквивариантны относительно действия группы $D_{4} \times \mathbb{Z}_{2}$ на $\mathbb{C}^{4}$.(Несмотря на то, что эти два решения представляют разные топологические или хореографические классы.)

Плоские хореографии с $k$-кратнсй диэдральной симметрией имеют вид цветка с $k$ лепестками (см. рис. 2, 3с и 4е), или, если лепестки перекрываются, выглядят как рисунки, нарисованные с помощью детской игрушки спирографа.

Определение и представления соответствующих групп Г мы оставляем читателю (например, в случае представленном на рис. Зс группой симметрий является $D_{12}$, для более детального изучения см. [1]).