Плоская задача трех тел представляет собой систему с четырьмя степенями свободы. Фиксируя кинетический момент (мы выбираем значение момента $c=0$ ), мы сводим ее к трем степеням свободы. Вблизи вышеуказанных периодических траекторий мы можем использовать переход через коллинеарную конфигурацию в качестве подходящего трансверсального сечения $\mathcal{C}$. Траектории $\mathrm{E}$ и $\mathrm{H}$ параграфа 2 пересекают $\mathcal{C}$ шесть раз до замыкания.
Рис. 2. Основная область устойчивости
Для того чтобы определить начальные условия на $\mathcal{C}$ (даже если массы не равны), достаточно значений ${\dot{x}}_2,{\dot{y}}_2,{\dot{x}}_3,{\dot{y}}_3$ и значений $h=-1/2,c=0$. В этом четырехмерном многообразии естественно выбрать двумерное сечение ${\mathcal{C}}_2$, определенное условиями ${\dot{x}}_2=-\frac{1}{2}{\dot{x}}_3,{\dot{y}}_2=\frac{1}{2}{\dot{y}}_3$ для поиска возможных интересных траекторий. В ${\mathcal{C}}_2$ точка определяется координатами ${\dot{x}}_3,{\dot{y}}_3$. Мы использовали следующее правило поиска:
— Выберем некоторую точку на ${\mathcal{C}}_2$ и вычислим до 30000 пересечений с $\mathcal{C}$ (скажем 5000 полных «оборотов» для значений достаточно близких к Е, см. раздел 5).
— Останавливаем вычисления, если траектория прошла слишком близко к столкновению ( $\underset{1⩽i<j⩽3}{min}\left\{r_{i,j}\right\}<{10}^{-6}$ ), или если максимальное расстояние слишком велико (скажем $>10$ ). Обычно сближение происходит перед уходом тел за пределы области. Здесь $r_{i,j}$ означает расстояние между $m_i$ и $m_j$.
— Выводим на рисунок начальные условия точек на ${\mathcal{C}}_2$, начиная с которых не происходит ухода на бесконечность до конца вычислений.

Рис. 3. Подробное устройство различных частей основной области устойчивости, показанной на рис. 2. Внизу справа: эволюция числа точек, не уходящих при поиске на бесконечность, в зависимости от числа полных оборотов. Горизонтальный масштаб является логарифмическим, значения изменяются в диапазоне $[50,5000]$

Результаты этого теста показаны на рис. 2. Начальные данные берутся между значениями 0,0005 и 3 с шагом 0,0005 по обеим координатам ${\dot{x}}_3$ и ${\dot{y}}_3$. Следует упомянуть, что точка Е лежит вблизи центра узкой области, которую расположена в центре рисунка (на рисунках 4,7 это видно более четко). Часть графика между точкой $\mathrm{E}$ и левым нижним углом выглядит симметричной (с некоторым искажением в правой верхней части этой области графика). Вне главной области, показанной на рис. 2 расположены несколько других малых областей «устойчивости». Для малых значений ${\dot{y}}_3$ мы также обнаружили несколько крохотных областей. Вблизи центра этих малых «островов устойчивости» мы обнаружили периодические траектории сложного вида, которые сравнительно близко подходят к столкновению. Они выглядят устойчивыми, также как выглядит устойчивой траектория Е. Исследование траектории Е см. в разделе 5. Однако траектория Е — это единственная траектория из обнаруженных при поиске, которая приводит к хореографии.

Приведем несколько примечательных фактов о главной области устойчивости:
— Мы начали поиск с $36\times {10}^6$ начальных условий. Большая часть траекторий ушла на бесконечность очень быстро. После 300 (соответственно 3000 ) проходов через $\mathcal{C}$. Число оставшихся траекторий равнялось примерно $1,84\times {10}^6$ (соответственно $2,63\times {10}^5$ ). После 30000 проходов через $\mathcal{C}$ по-прежнему сохраняется более $2,12\times {10}^5$ точек. На рис. 3 внизу справа показана эволюция количества сохраняющихся точек в зависимости от числа полных оборотов. Она указывает на существование траекторий, которые всегда остаются в области устойчивости. В выбранных областях мы производили более длительные вычисления, которые показывают, что, начиная с этого момента убывание происходит довольно медленно.
— Мы провели еще одну серию вычислений вблизи границ ранее полученной области с шагом, равным ${10}^{-4}$. Некоторые результаты показаны на рис. 3 вверху и внизу слева. Интересно отметить различия в поведении разных областей. На левых графиках приведены области с хорошо определенной границей, но на них по-прежнему имеется некоторое количество рассеянных точек, для которых можно предсказать уход на бесконечность при дальнейших итерациях.
— Противоположное поведение показано на верхнем правом графике вблизи точки Е. Граница является очень контрастной. Фактически после нескольких начальных итераций на графике не происходит никаких существенных изменений. Из этого можно заключить, что большая часть точек внутри этой части портрета всегда остаются в пределах области и лишь малая их часть подвержена диффузии.
Чтобы получить представление о поведении остающихся траекторий, близких к восьмерке, мы выбрали несколько начальных условий на ${\mathcal{C}}_2$ и

Рис. 4. Увеличения рисунка 2, показывающие расположение начальных условий для периодических траекторий и для торов, показанных на рис. 5 и 6

произвели итерации полного отображения Пуанкаре, т. е. после шести проходов через $\mathcal{C}$. Пример начальных условий показан на рис. 4. Для удобства читателей на рисунке также показаны расположения точек Е и Н3, а также проекции $\mathrm{H}1$ и $\mathrm{H}2$ на ${\mathcal{C}}_2$. Заметим, что точки $\mathrm{H}$ похоже связаны с контрастными границами области устойчивости вблизи Е. Другие отмеченные ненумерованные точки на рисунке 4 также демонстрируют интересные свойства, которые мы здесь не описываем.

Для проверки мы приводим данные на ${\mathcal{C}}_2$ для пронумерованных точек рисунка 4.
Начальные данные 1: ${\dot{x}}_3=0.74,{\dot{y}}_3=1.1525,10000$ итераций,
Начальные данные 2: ${\dot{x}}_3=0.7325,{\dot{y}}_3=1.155,10000$ итераций,
Начальные данные 3: ${\dot{x}}_3=0.78,{\dot{y}}_3=1.18,20000$ итераций,
Начальные данные 4: ${\dot{x}}_3=0.8,{\dot{y}}_3=1.17,10000$ итераций,
Начальные данные 5: ${\dot{x}}_3=0.9,{\dot{y}}_3=1.28,30000$ итераций.

Для каждого набора начальных данных проекции соответствующих 2D торов на $\mathcal{C}$ показаны на рисунках 5 и 6 . Они образуют 3D торы в фазовом пространстве, ограниченном условием $c=0$. Комментарии к формам этих торов см. ниже в этом разделе.

С другой стороны, также естественно искать 2D торы в фазовом пространстве, рассматривая их как инвариантные кривые в $\mathcal{C}$. Существуют два основных (канторовых) семейства исходящих из точки Е (см. параграф 4). Кроме этих семейств, можно обнаружить семейства, связанные с простыми

Рис. 5. Примеры торов, близких к восьмеркообразному решению. Графики сверху вниз соответствуют начальным условиям, определяемым точками с номерами от 1 до 4 на рис. 4. Слева: проекции точек в $\mathcal{C}$ на переменные $({\dot{x}}_2,{\dot{y}}_2)$. Справа: такая же проекция на переменные $({\dot{x}}_3,{\dot{y}}_3)$

Рис. 6. То же, что и на рисунке 5 для интересных торов, соответствующих точке номер 5 на рисунке 4

Рис. 7. Вверху: слева характеристическая кривая медленного семейства инвариантных кривых отображения Пуанкаре. На среднем и правом рисунках показаны две проекции этих кривых. Внизу: слева характеристическая кривая быстрого семейства инвариантных кривых. Справа проекция этих кривых резонансами между компонентами вектора вращения $2\mathrm{D}$ торов. По крайней мере, если резонансы не имеют слишком высокий порядок.

Для этих целей использовались различные методы. Один из них представляет собой синтез отображения первого возвращения (см. например [8]). Другой простой метод заключается в вычислении $2\mathrm{D}$ торов, проведении частотного анализа для определения основных частот и соответствующих амплитуд фундаментальных гармоник, а затем в применении метода поиска нулей для обращения в нуль амплитуды нежелательной частоты. Пример результатов, полученных этим методом показан на рис. 7.

Для идентификации каждого из $2\mathrm{D}$ торов достаточно привести начальные условия (т.е., одну точку в ${\mathcal{C}}_2$ ) или (резонансные) частоты или какие-нибудь условия, позволяющие восстановить тор. Геометрическое место точек этих данных для однопараметрического семейства называется «характеристической кривой». Иногда термин характеристическая кривая используется неточно для обозначения того, что фактически является некоторой ее проекцией. Такая идентификация в точности совпадает с тем, что обычно делается для представления семейств периодических траекторий.

Левые графики на рис. 7 показывают подробное устройство области устойчивости на рис. 2 с указанием расположения характеристических кривых двух главных семейств 1D торов, вместе с указанием расположения точки Е в ${\mathcal{C}}_2$. В верхней части рисунка семейства соответствуют медленной частоте (см. параграф 4). Заметим, что характеристика медленного семейства в сущности идет из точки Е в точку НЗ. На центральном и правом графиках сверху показаны проекции на плоскости $({\dot{x}}_2,{\dot{x}}_3)$ и $(x_2,y_2)$, соответственно, выбранного множества инвариантных кривых, соответствующих отмеченным точкам на левом графике. Отметим, что, когда мы двигаемся вдоль семейства, из точки Е к границе, размер кривых увеличивается, а их форма стремится к треугольнику. Фактически 2D тор фазового пространства, стянутый этим треугольником, приближается к трем периодическим траекториям $H$, описанным ранее. Более того, число вращения на инвариантных кривых, мало́ уже в точке Е, и стремится к нулю, при приближении к границе.

Нижняя часть рис. 7 соответствует быстрой моде. Число вращения не является малым в точке E (см. параграф 4) и медленно уменьшается при удалении от нее, в то время как размер инвариантных кривых, показанных в правой части, увеличивается.

Отметьте, что «характеристические кривые», показанные на рис. 7, фактически представляют собой канторовы множества. Однако его промежутки слишком малы, чтобы их можно было увидеть при показанном разрешении. Мы решили не отмечать на этих кривых точки, близкие к Е, но в действительности это та часть «кривой», где канторово множество является более «толстым» (относительная мера дополнения к канторову множеству экспоненциально мала относительно расстояния до точки Е).

Вблизи центральной части области устойчивости вокруг Е две основных моды являются, в сущности, кривыми, которые стремятся к треугольной и эллиптической формам, соответственно. Если сравнить с торами, показанными на рис. 5 , то мы увидим, что система близка к произведению этих мод и не слишком далека от интегрируемой. Торы с номерами 1 и 4 на рис. 5 не очень далеки от инвариантных кривых медленной и быстрой мод. Дополнительная амплитуда мала. Тор номер 2 очень близок к инвариантной кривой треугольной формы, в то время как тор номер 3 близок к произведению треугольника на эллипс, что соответствует точке близкой к границе и не слишком близкой к характеристической кривой медленного семейства.