Здесь мы будем рассматривать ньютоновский потенциал. Более простые случаи (сильного взаимодействия $1/r^a,a⩾2$ ) и более сложные $(1/r^a,0<a<1)$ однородного потенциала также были успешно исследованы на счет существования простых хореографий (см. раздел 6). За исключением этого раздела все рисунки представлены для случая ньютоновского потенциала. Заметим, что также возможно естественное продолжение до логарифмического потенциала $f(r)=-\log r$, и оно лучше проводится при использовании $f(r)=1/\left(a{r}^a\right)$ вместо $f(r)=1/r^a$ при малых положительных $a$. Эти результаты, однако, не приводятся в настоящей статье. Все рисунки, приведенные в статье, изображают решения с периодом $T=2\pi$. Положим ${\mathbb{S}}^1=\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}$ и будем использовать ${\mathbb{S}}_N^1$ для $\mathbb{R}/N\mathbb{Z}$.

Для $N=3$ известны только лагранжевы равносторонние решения, восьмерка, и несколько сопутствующих ей (см. раздел 5) решений. Далее мы будем опускать тривиальный круговой случай, в котором все $N$ масс расположены в углах правильного $N$-угольника, вращающегося в описывающей его окружности. На рисунке 3 представлены некоторые простые хореографии для четырех тел. Также изображены положения тел в некоторый начальный момент времени, и значения действия, соответствующее траекториям (сравните со значением действия для круговой хореографии $A=36.613230$ ). Некоторые примеры для $N=5$ можно найти в [16]

На рис. 4 изображены простые хореографии для различных значений $N$. На рисунке приведена только малая часть найденных типов хореографий. Дополнительные хореографии можно найти в [16].

Для численных вычислений простых хореографий было использовано два метода: метод минимизации и метод Ньютона.
4.1. Методы минимизации

Метод минимизации основан на поиске локального минимума $A$. В общем нельзя быть уверенным, что значение найденного минимума равно $a(\alpha )$, см. (6). Представим кривую $q$ в ${\mathbb{R}}^2$ с компонентами $(u,v)$, с помощью

Рис. 3. Простые хореографии четырех тел с ньютоновским потенциалом

приближения $\hat{q}=(\hat{u},\hat{v})$ следующего вида
$$\hat{u}(t)=\sum _{k=1}^M{a}_k\cos (kt)+b_k\sin (kt),\hat{v}(t)={\mathrm{\Sigma }}_{k=1}^M{c}_k\cos (kt)+d_k\sin (kt).$$

В момент времени $t$ тела расположены в точках $q(t+2\pi j/N),j=$ $=0,\dots ,N-1$ со скоростями $\dot{q}(t+2\pi j/N)$. Подставим эти значения в (5). Интеграл ${\int }_{{\mathbb{S}}^1}L(\hat{q}(t),d\hat{q}/dt)dt$ вычисляется с помощью метода трапеций с шагом по времени $2\pi /n$, где $n$ — число, кратное количеству тел $n=$ $=pN,p\in \mathbb{N}$. Так как после $2\pi /N$ происходит циклическое смещение тел, то нам необходимо вычислить значения подынтегрального выражения только в моменты времени $t=t_j=2\pi j/n,j=0,\dots ,p-1$. Примерное значение действия $\hat{A}$ зависит от $P=\{a_k,b_k,c_k,d_k,k=1,\dots ,M\}$ из (8). Подставив $2\pi /N$ вместо $j$ в (7), получим, что все коэффициенты с $N\mid k$ должны быть равны нулю. Налагая дополнительные симметрии на хореографии, мы можем еще уменьшить количество элементов $P$. Бесстолкновительные решения являются аналитическими, поэтому использование метода трапеций оправдано.

Таким образом, мы получаем дискретизованный функционал действия $\hat{A}(P)$. Функционал минимизируется с помощью метода градиентного спуска и вариаций. При этом появляются некоторые практические проблемы:

Рис. 4. Примеры различных видов простых хореографий для ньютоновского потенциала
a) Действие достаточно «плоское» и может существовать множество локальных минимумов; b) В случае поиска решения, проходящего близко к столкновению число гармоник должно быть большим — порядка нескольких тысяч. Обе проблемы замедляют процесс минимизации.

Обычно вычисления останавливаются, когда две последовательных оценки $\hat{A}$ различаются, менее чем на ${10}^{-10}$. Мы начинаем с произвольного множества $P$ или с данных полученных после сглаживания и фильтрации кривой, нарисованной от руки. В качестве теста на качество метода мы использовали сохранение энергии и остаточное ускорение (разница между значением выражения (1) и значением $\frac{d^2}{d{t}^2}\hat{q}$ в момент времени $t=t_j$ ).
4.2. Метод Ньютона

Пусть ${\mathrm{\Phi }}_{2\pi /N}$ — поток (1) за время $2\pi /N$. Начиная с заданных значений положения тел и их скоростей $x_j,{\dot{x}}_j,j=0,\dots ,N-1$, при $t=0$, и двигаясь вдоль потока на ${\mathrm{\Phi }}_{2\pi /N}$, получим те же значения со смещением индексов на единицу. Таким образом, получаем $4N$ скалярных уравнений, которые решаются с помощью метода Ньютона, стартующего с примерного решения, найденного с помощью минимизации действия. Отображение ${\mathrm{\Phi }}_{2\pi /N}$ вычисляется с помощью численного интегрирования уравнений (1). Также необходимо одновременное интегрирование вариационных уравнений. В большинстве случаев необходимо использовать метод параллельной пристрелки (см., например,[19]), особенно в случае прохождения вблизи столкновения. Обычно итерации метода Ньютона останавливаются, когда невязка меньше ${10}^{-12}$. В качестве побочного продукта при этом мы получаем свойства линейной устойчивости найденного решения. Заметим, что рассматриваемые $4N$ уравнений не являются независимыми. С помощью равенства (7) и инвариантности относительно вращения и временного сдвига размерность системы можно уменьшить на шесть.

Только линейно устойчивые хореографии для ньютоновского потенциала являются восьмерками (снова см. раздел 5). Более того на многообразии нулевого углового момента, где лежит восьмерка, была проверена гипотеза КАМ-теоремы, чтобы сохранить закручивание при численных вычислениях (cM. [17]).