5.1. Об основных и сопутствующих хореографиях

Как было проанонсировано во введении, мы покажем как, начиная с одной хореографии получить целое семейство новых хореографий, либо проходя вдоль начальной хореографии несколько раз, либо с помощью продолжения по угловому моменту, либо комбинируя эти два метода.

Такое конструирование предполагает ввод различий между основными и сопутствующими хореографиями, что мы сделали в гипотезе 1.1. в первом разделе: основная хореография – это хореография, не являющаяся сопутствующей для некоторой другой.
5.1.1. Субгармоники

Начнем с описания отображения Пуанкаре в окрестности $N$-периодической хореографии $x(t)=(q(t), q(t+1), \cdots, q(t+N-1))$. Напомним (см. раздел 2.1), что решение $x(t)$ характеризуется тем, что $\forall t, x(t+1)=$ $=S x(t), \quad$, где $S: \mathbb{C}^{N} \rightarrow \mathbb{C}^{N}$ – изометрия конфигурационного пространства, определенная выражением
\[
S\left(x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{N-1}\right)=\left(x_{1}, \cdots, x_{N-1}, x_{0}\right) .
\]

Этот факт активно использовался в численных методах предыдущего раздела.

Зафиксируем энергию и угловой момент равными значениям для рассмотренного решения. После редукции по трансляционной и вращательной симметриям мы получим ( $4 N-7$ )-мерное многообразие (считая размерность над $\mathbb{R}$ ), на котором $S$ действует естественным образом. Назовем $\Sigma_{0}$ часть ( $4 N-8)$-мерного подмногообразия трансверсальную периодическим траекториям в точке $\left(x\left(t_{0}\right), \dot{x}\left(t_{0}\right)\right)$. Пусть $\Sigma_{1}, \cdots, \Sigma_{N-1}$ – образы $\Sigma_{0}$, получаемые при действии $S, \cdots, S^{N-1}$. Полученные подмногообразия трансверсальны периодическим траекториям в точках
\[
\left(x\left(t_{0}+1\right), \dot{x}\left(t_{0}+1\right)\right), \cdots,\left(x\left(t_{0}+N-1\right), \dot{x}\left(t_{0}+N-1\right)\right)
\]

соответственно.
Пусть $P_{i}: \Sigma_{i} \rightarrow \Sigma_{i+1}, i=0, \cdots, N-1$, – отображения Пуанкаре (естественно, $\Sigma_{N}=\Sigma_{0}$ ). Легко проверить, что $S \circ P_{i}=P_{i+1} \circ S$, где $S$ диагонально обобщено на $\mathbb{C}^{N} \times \mathbb{C}^{N}$. Определим $P: \Sigma_{0} \rightarrow \Sigma_{0}$ с помощью формулы $P=S^{-1} \circ P_{0}$. Из сказанного выше и из того, что $S^{N}=I d$, можно сделать вывод, что отображение первого возвращения $\mathcal{P}=P_{N-1} \circ \cdots \circ P_{1} \circ P_{0}$ на $\Sigma_{0}$ эквивалентно $P^{N}$. Это характеризует отображения первого возвращения вдоль хореографий следующим образом: они допускают корень $N$-й степени (который не что иное, как отображение для соответствующего сечения по модулю $S$, которое действует свободно в окрестности хореографии).

Для любой хореографии $N$ тел решение субгармоник становится хореографией, когда оно соответствует периодической точке порядка $k$ отображения Пуанкаре по модулю $S P=\sqrt[N]{\mathcal{P}}$. В фазовом пространстве такая субгармоника становится хореографией $\tilde{x}(t) \sim x(t), t \in[0, \tilde{T}]$ с периодом $\tilde{T} \sim k N$ (если $T-$ период $x(t)-$ равен $N$ ), определяемым выражением $\tilde{x}(t+\tilde{T} / N)=S^{k} \tilde{x}(t)$, причем $(k, N)=1$. Это происходит ввиду того, что
$1)$ если $(k, N)=1$, то $N$ является генератором $\mathbb{Z} / k \mathbb{Z}$, так, что все прообразы периодических решений отображения $P$ по модулю $S$ принадлежат той же периодической орбите;
2) время, затрачиваемое траекторией на прохождение от $\Sigma_{i}$ до $\Sigma_{i+1}$ не зависит от $i$, т. к. векторное поле коммутирует с $S$.

5.1.2. Относительные хореографии

Существует еще одна возможность изменить уровень углового момента. Решение уравнений (1) вида $x(t)=(q(t), q(t+1), \ldots, q(t+N-1))$ назовем относительной простой хореографией периода $N$, если существует вращение $R_{\beta}$ на фиксированный уго. $\beta$, такое, что для всех $t$ выполняется
\[
q(t+N)=R_{\beta} q(t)
\]
. Во вращающейся с угловой скоростью $\beta / N$ системе координат такая хореография становится настоящей хореографией. Если угол вращения является рациональным числом $m / d$, умноженным на $2 \pi$, тогда $x$ будет иметь период $T=d N$, а
\[
X(t)=(q(t), q(t+d), \ldots, q(t+(N-1) d))
\]

является хореографией (в неподвижной системе координат) без столкновений, если $d$ и $N$ взаимно простые числа. В противном случае решение является квазипериодическим. Если отображение Пуанкаре начальной хореографии $q^{0}$ является невырожденным, и если эта хореография имеет угловой момент $C_{0}$, тогда в соответствии с теоремой об обратной функции существует семейство относительных простых хореографий вблизи $q^{0}$ с угловым моментом $C$ принимающем значения в некотором интервале вблизи $C_{0}$. Большинство из них является квазипериодическими, однако хореографии с рациональным углом вращения образуют плотное множество.
5.1.3. Траектории, сопутствующие восьмерке

Опишем теперь некоторые основные факты относительно динамики вблизи восмеркообразной хореографии (см. [17]). Мы покажем, что восьмерка имеет множество «сопутствующих» хореографий. Действительно: как неподвижная точка рассмотренного выше отображения Пуанкаре $\mathcal{P}$ (с фиксированными энергией и угловым моментом) восьмерка является полностью эллиптической с закручиванием: частоты локально изменяются при удалении от неподвижной точки. Следовательно, существует семейство периодических точек (субгармоник), параметризованных рациональным вектором вращения, компоненты которого при приближении к неподвижной точке стремятся к предельным значениям, заданным собственными числами отображения Пуанкаре $\mathcal{P}$, которые примерно равны 0.00842272 и 0.29809253 .

Так как для решения восьмерки $P=\sqrt[3]{\mathcal{P}}$ также является полностью эллиптическим, следовательно, существует семейство хореографий, скапливающихся вблизи восьмерки. В свою очередь, некоторые из этих хореографий полностью эллиптические, неограниченно применяя к ним такой же аргумент, можно получить хореографические соленоиды.

Периодическое решение в форме восьмерке можно также продолжить до некоторого углового момента. Как мы видели, один из возможных путей заключается в использовании вращающейся с угловой скоростью $\omega$ системе координат.

Впервые периодическое решение в виде деформированной восьмерки, с тремя телами движущимися по одной и той же кривой во вращающейся системе координат нашел М. Хенон в [8]. Для этой цели Хенон использовал ту же программу, что и использованную им в [7] для продолжения коллинеарных траекторий Шубарта. В соответствии с предшествующей дискуссией, это приводит к новым хореографиям, сопутствующим восьмерке. Если некоторые из них будут полностью эллиптическими, что происходит при достаточно малых угловых скоростях, то появятся сопутствующие им траектории и так далее.

На рисунке 5 проиллюстрированы эти две возможности. Вверху изображена сопутствующая хореография восьмерки, полученная из периодической точки отображения Пуанкаре вблизи неподвижной точки, и имеющей компоненту только вдоль быстрой частоты. Следовательно, эта хореография лежит на «субцентральном» многообразии. Число вращений равно $11 / 37 \approx 0.297297297$, что достаточно близко к предельному числу вращений в неподвижной точке. Действительно, изменение числа вращений достаточно медленное вдоль рассматриваемой моды. Все тела описывают одну и ту же траекторию, которая, по-видимому, является локальным минимумом действия. Точки на рисунке (одна слева, другая справа, а третья в начале координат) соответствуют начальное положение тел. Для сравнения также нарисована и восьмерка. На среднем рисунке изображена сопутствующая траектория с числом вращений $8 / 27$. Заметим, что знаменатель в этом случае делится на три. Три те.та описывают слегка разные траектории. На рисунке траектория первого тела изображена непрерывной линией, а траектория второго – пунктиром. Эти траектории выглядят как кривые с рациональным наклоном на торе, слегка смещенные одна относительно другой. Чтобы не изображать слишком большое количество линий на рисунке, траекторию третьего тела мы изображать не стали. Однако легко понять, где она должна располагаться.

Рис. 5. Несколько примеров сопутствующих траекторий. На верхнем и нижнем рисунках изображены хореографии, тогда как на среднем рисунке траектория хореографией не является

На нижнем рисунке изображены сопутствующая хореография с ненулевым угловым моментом. Величина углового момента примерно равна $C \approx 0.03125986$, и соответствует траектории замыкающейся после 37 «обращений» вдоль восьмерки и трех полных обращений вокруг центра масс, то есть $m / d=3 / 37$. В данном случае тела снова описывают один и тот же путь. Для этой хореографии была проверена линейная устойчивость. На рисунке 6 изображена $1 / 37$ часть периода как в неподвижной, так и во вращающейся системах координат.

В общем нет необходимости начинать с полностью эллиптического периодического решения. Достаточно, чтобы оно имело несколько эллиптических собственных значений. Например, для хореографии из $N=4$ тел, приведенной на рис. 3, размерность центрального многообразия $W^{c}$ равна двум во всех случаях, кроме $d$ ), в котором она равна четырем, и $e$ ) где она равна нулю, как в тривиальном круговом случае (четыре пары собственных чисел, равных единице и соответствующие первым интегралам не рассматриваются).

ЗАМЕЧАНИЕ. Решить, является ли рассматриваемая хореография основной, не так просто. Не исключено, что если будем рассматривать периодические решения в комплексном фазовом пространстве с комплексным периодом, то некоторые хореографии, приведенные в этой статье как основные, могут быть связаны с некоторым семейством непрерывных решений.

С помощью гомотопии потенциала иногда можно связать две разные основные хореографии. Это происходит на рис. Зе, где параметром гомотопии является показатель $a$ в потенциале $1 / r^{a}$. В [16] другая, очень похожая на 3е хореография, имеющая однако $\operatorname{dim} W^{c}=2$, получена из 3e с помощью изменения потенциала. Обе хореографии возникают в случае ньютоновского потенциала и принадлежат одному классу. Для дальнейших обсуждений см. раздел 6. Заметим, что хотя мы не рассматриваем подобных изменяющих потенциал гомотопий, тем не менее в нашем определении «сопутствующих» хореографий они полезны для понимания хореографий.
5.2. Линейные цепочки

Среди наиболее простых хореографий есть «линейные цепочки» образованные разными «пузырьками». На рисунках 1, 3a, 3b, 4a, 4b и 4c приведены их примеры. Все они по-видимому основного типа. На $\mathbb{S}_{N}^{1}$ двойной точке $z$ в цепочке (или в общей хореографии) соответствует два значения времени: $t_{a}$ и $t_{b}$. Длина (целочисленная) петли, связанной с $z$ определяется выражением $\left[t_{b}-t_{a}\right]$ (в $\mathbb{S}_{N}^{1}$ ), где [ ] обозначает целую часть. Так как

Рис. 6. 1/37 нижней траектории на рис. 6. Слева: в неподвижной системе координат. Справа: во вращающейся системе координат. Точки $I_{j}\left(F_{j}\right), j=1,2,3$ обозначают начальные (конечные) условия
$t_{b}-t_{a}
otin \mathbb{Z}$, дополнительная длина равна $N-1-\left[t_{b}-t_{a}\right]$. Линейная цепочка с $J$ пузырьками имеет $J-1$ двойных точек. Все эти точки лежат на оси $x$ и обозначены $z_{1}, \ldots z_{J-1}$ в порядке возрастания координаты $x$. Заметим, что если мы попытаемся получить похожую цепочку с $z_{i}$ не на оси $x$, то некоторый вид принципа минимального взаимодействия пузырьков при минимизации действия приведет к описанному выше решению.

При переориентации петли (обращении времени), если необходимо, мы можем предположить, что соответствующие длины левосторонних петель, определяемые неподвижными точками, образуют возрастающую последовательность целых чисел $1 \leqslant \ell_{1}<\ell_{2}<\ldots<\ell_{J-1}$. Величины $\ell_{1}, \ell_{2}-\ell_{1}, \ldots, \ell_{i+1}-\ell_{i}, \ldots, N-1-\ell_{J-1}$ являются длинами, связанными с пузырьками, и характеризующие класс хореографий линейной цепочки. Заметим, что если $\ell_{i+1}=\ell_{i}$, то пузырек между $z_{i}$ и $z_{i+1}$ можно уничтожить без прохождения через столкновение, и, следовательно, этот случай представляет ту же хореографию, что и линейная цепочка с числом пузырьков меньшим на единицу. Таким образом, мы полагаем, что последовательность длин строго возрастающая. Для полноты также в линейные цепочки можно включить случай $J=1$, то есть тривиальное круговое решение.

Предложение 1. Число линейных цепочек из $N$ тел равно $2^{N-3}+$ $+2^{[(N-3) / 2]}$.

Доказательство можно найти в [17]. В частности, число основных хореографий с ростом $N$ возрастает экспоненциально.