Основные составные части доказательства следующие:
«Прямой» метод
Одна двенадцатая орбиты получается минимизацией действия (обозначим $T=\bar{T} / 12$ )
\[
\mathcal{A}=\int_{0}^{T}\left(\frac{1}{2} K+U\right) d t
\]

на подпространстве $\Lambda$ в $H^{1}([0, T], \mathcal{X})$, состоящем из траекторий, которые начинаются на эйлеровой конфигурации произвольного размера, скажем, $E_{3}$, (третье тело в середине) и заканчиваются на равнобедренной конфигурации, скажем, $M_{1}\left(r_{12}=r_{13}\right)$, также произвольного размера. Существование минимизирующей траектории доказывается стандартно, поэтому основная проблема заключается в доказательстве того, что такая траектория не имеет столкновений.

Приведение

Кинетическую энергию можно выразить как сумму двух неотрицательных членов: $K=K_{\text {red }}+K_{\text {rot }}$. (Это разложение скорости Саари. См. п. 5.) $K_{\text {red }}$ соответствует римановой метрике на фактор-пространстве $\mathcal{X} / S O(2)$, порожденной метрикой $K$ на $\mathcal{X}$. Эта часть кинетической энергии отвечает за деформации и включает гомотетическую часть. Часть $K_{\text {rot }}$ является вращательной составляющей кинетической энергии. Поскольку мы рассматриваем задачу на плоскости, то $K_{\text {rct }}=|C|^{2} / I$, где $C$ — вектор момента количества движения. (В пространственной задаче трех тел это равенство заменяется неравенством $K_{\text {rot }} \geqslant|C|^{2} / I$. См. неравенство Зундмана $I K-$ $-J^{2} \geqslant 0$ в [1].) С другой стороны, граничные условия на возможные траектории $x \in \Lambda$ инвариантны относительно вращений. Это означает, что если $x(t)$ является такой траекторией, то $g(t) x(t)$ также является такой траекторией, если $g(t) \in S O(2)$. Изменение $g$ меняет только второе, вращательное слагаемое кинетической энергии, оставляя $K_{r e d}$ постоянным. (Явное выражение $K_{r e d}$ см. ниже в Лемме 5.) Соответствующим выбором $g(t)$ мы можем гарантировать, что $C=0$. Это доказывает, что любая точка минимума для задачи а) имеет нулевой момент количества движения. Более того, первоначальная задача сведена к задаче минимизации приведенного действия
\[
A_{\text {red }}=\int_{0}^{T}\left(\frac{1}{2} K_{\text {red }}+U\right) d t
\]

на траекториях, лежащих в приведенном конфигурационном пространстве $\mathcal{X} / S O(2))$ и удовлетворяющим одним и тем же граничным условиям. Польза от этого приведения состоит в том, что приведенное конфигурационное пространство топологически представляет собой $\mathbb{R}^{3}$, следовательно, тела легче представить себе мысленно (рис. 2, 3 и 4).

Сравнение с задачей Кеплера для исключения столкновений
Вместо того чтобы вычислять локальные изменения действия, мы будем искать инфимум действия по всем траекториям из $H^{1}([0, T], \mathcal{X})$ со столкновением. Обозначим инфимум $A_{2}$, «2» означает два тела, потому что мы явно вычисляем $A^{2}$, используя задачу двух тел. Затем сравним $A^{2}$ с действием $a$ тщательно выбранной свободной от столкновений «контрольной траектории» в $\Lambda$. После чего докажем неравенство $A^{2}>a$, что приводит к заключению, что минимизирующая траектория должна быть свободна от столкновений.

Симметрии и правило площадей

Благодаря равенству масс система обладает перестановочной симметрией, с помощью которой мы строим одиннадцать недостающих конгруэнтных копий отрезка траектории минимизирующего действие из п. 3.1. Выражение для первой вариации действия показывает, что эти копии гладко соединяются с первоначальной, образуя единую орбиту, периодическую в приведенном конфигурационном пространстве (т.е. по модулю вращения) с периодом $12 T$. Для воспроизведения движения в инерциальной плоскости, т. е. в $\mathcal{X}$, мы используем симметрии и «формулу площадей» (см. [9]). В результате мы приходим к выводу, что движение в $\mathcal{X}$ периодическое, что все три массы действительно двигаются в инерциальной системе вдоль одной и той же фигуры в виде восьмерки и что эта восьмерка имеет симметрию группы Клейна, описанной выше в теореме.

Другие доказательства

Мы представили самое короткое доказательство из известных нам. Еще одно доказательство использует локальные возмущения так, чтобы избавиться от столкновений при уменьшении действия. С помощью такого метода можно избавиться как от двойных, так и тройных столкновений. Особо внимательно нужно выбирать направление возмущения, при исключении двойных столкновений. Оценки такого метода значительно длиннее, чем приведенные здесь, но они не требуют численного интегрирования. С другой стороны, они не дают оценки на орбите, приведенной в Приложении 1.