Задавая значения целых чисел $k_{1}$ и $k_{2}$, мы теперь изучим окрестность резонанса $\left(a_{0}, b\right)=\left(\frac{1}{2}\left(k_{1}+k_{2} \gamma\right), 0\right)$.

Определение 1. Резонансный полуостров, соответствующий верхуике $\left(a_{0}, 0\right)$, определим как подмножество плоскости $(a, b)$, где число вращения $\rho(a, b)$ существует и равняется $\frac{1}{2}\left(k_{1}+\gamma k_{2}\right)$.

Рис. 5. Графики показателя Ляпунова и числа вращения для $b=0.6$. Слева: максимальный показатель Ляпунова $\lambda$. Справа: число вращения $\rho$.

Проблема состоит в том, что для заданного малого $b$ множество значений $a$, содержащихся в объединении всех полуостровов, плотно.

Слегка изменим обозначения (1), положив $a^{2}=a_{0}^{2}+\alpha_{0}$. Затем произведем стандартное масштабирование
\[
x=\frac{\xi}{\sqrt{a_{0}}}, y=\eta \sqrt{a_{0}}
\]

и перейдем к комплексным координатам
\[
\xi=\frac{q+i p}{\sqrt{2}}, \eta=\frac{i q+p}{\sqrt{2}}
\]

В новых переменных гамильтониан (3) записывается следующим образом:
\[
\left.H=a_{0} i q p+\frac{q^{2}-p^{2}+2 i q p}{2}\left(\frac{\alpha_{0}}{2 a_{0}}+\frac{b}{4 a_{0}} \cos t+\cos (\gamma t)\right)\right)
\]
(сравните с [6]). Пусть $J-$ переменная канонически сопряженная времени $t$, и введем обозначения $z_{1}=\exp (i t), z_{2}=\exp (i \gamma t)$. Тогда (8) можно записать как интегрируемую часть $H_{0}$ и возмущение $H_{1}$ :
\[
\begin{array}{l}
H_{0}=J+a_{0} i q p \\
H_{1}=\hat{b}\left(q^{2}-p^{2}+2 i q p\right)\left(\hat{\alpha}_{0}+z_{1}+z_{1}^{-1}+z_{2}+z_{2}^{-1}\right),
\end{array}
\]

где
\[
\hat{\alpha}_{0}=\frac{2 \alpha_{0}}{b}, \quad \hat{b}=\frac{b}{8 a_{0}} .
\]

Для выполнения нормализации (усреднения) мы можем следовать, например, алгоритму Джиорджилли-Галгани [13]. Периодический случай рассматривается аналогичным образом в [6]. Начиная с $H_{0,0}=H_{0}$ и $H_{1,0}=$ $=H_{1}$, рекуррентно вычисляем
\[
H_{j, k}=\sum_{n=1}^{k} \frac{n}{k}\left[G_{n}, H_{j, k-n}\right], \quad j=0,1, \quad k>0,
\]

где $[\cdot, \cdot]$ обозначает скобку Пуассона. Функции $G_{n}$ определяются так, чтобы сократить зависимость от времени, насколько это возможно. Тогда преобразованный гамильтониан $K=K_{0}+K_{1}+K_{2}+\ldots$, где $K_{0}=H_{0,0}$ и $K_{n}=$ $=H_{1, n-1}+H_{0, n}$. Отметим, что «порядком» члена в гамильтониане можно считать порядок относительно вспомогательного параметра $\hat{b}$. Поэтому $K_{n}$ содержит множитель $\hat{b}^{n}$.

Легко проверить, что действие $H_{0,0}$ на $q^{r} p^{-r} z^{k}$, где $z^{k}=z_{1}^{k_{1}} z_{2}^{k_{2}}$, посредством скобки Пуассона равно
\[
\left[H_{0,0}, q^{r} p^{-r} z^{k}\right]=q^{r} p^{-r} z^{k} i\left(a(2-2 r)-\left(k_{1}+\gamma k_{2}\right)\right) .
\]

Таким образом, все члены с $a(2-2 r)-\left(k_{1}+\gamma k_{2}\right)$, отличным от нуля (или, по крайней мере, не слишком малым), могут быть исключены из нормальной формы. Если $a_{0}$ выбран равным $k_{1}^{*}+\gamma k_{2}^{*}$ (где $k_{1}^{*}$ и $k_{2}^{*}$, по предположению, полуцелые числа), тогда выбор $k_{1}= \pm 2 k_{1}^{*}, k_{2}= \pm 2 k_{2}^{*}$ создает резонанс (знак плюс при этом используется для $r=0$, а минус для $r=2$ ).

Эту процедуру можно реализовать автоматически. С помощью индукции можно проверить, что если $j+k=m$, тогда $H_{j, k}$ имеет вид
\[
H_{j, k}=q^{2} c_{1}-p^{2} c_{2}+i q p\left(c_{3}+c_{4}\right),
\]

а соответствующая функция $G_{m}$
\[
G_{m}=i\left(q^{2} c_{1}+p^{2} c_{2}\right)+q p\left(c_{3}-c_{4}\right),
\]

где $c_{1}$ содержит члены с действительными коэффициентами вида $\hat{\alpha}_{0}^{m-s} z^{k}$ с $|k|=\left|k_{1}\right|+\left|k_{2}\right|=r$, а $s$ и $r$ имеют одинаковую четность. Члены в $c_{2}$ точно такие же, как и в $c_{1}$, за исключением замены $z^{k}$ на $z^{-k}$. Выражение $c_{3}$
подобно $c_{1}$, но все члены имеют либо $k>0$, либо $k_{1}=0, k_{2} \geqslant 0$. Наконец, $c_{4}$ равно $c_{3}$ с точностью до замены $z^{k}$ на $z^{-k}$.

Собрав все члены, появляющиеся в процессе нормализации, мы преобразовываем гамильтониан следующим образом (полностью аналогичную процедуру см. в [6]).

Теорема 2. (Комплексная нормальная форма). Для $a_{0}=\frac{1}{2}\left(k_{1}+\gamma k_{2}\right)$ с помощью канонической замены переменных гамильтониан $H=H_{0}+h_{1} c$ точностью до аддитивного остатка можно привести к нормальной форме
\[
N F=J+a_{0} i q p+\operatorname{coef}_{1} i q p+\operatorname{coef}_{2}\left(q^{2} z_{k}-p^{2} z^{k}\right),
\]

где $|k|+\left|k_{1}\right|+\left|k_{2}\right| ;$ coef $_{1}=\hat{\alpha}_{0}+r_{1}$, где $r_{1}-$ (действительная) функция, зависящая от ( $\hat{b}, \hat{\alpha}_{0}$ ) с множителем $\hat{b}$ в некоторой степени; $\operatorname{coef}_{2}=\hat{b}^{|k|} \times r_{2}$, где $r_{2}$ – (действительная) функция, зависящая от ( $\left.\hat{b}, \alpha_{0}\right)$, причем $r_{2}(0,0)
eq 0$.
Порядок остатка по $\hat{b}$ больше, чем $|k|$.
Если мы опустим остаток и перейдем к переменным $(u, v)$ :
\[
u=q \exp \left(-a_{0} i t\right), \quad v=p \exp \left(a_{0} i t\right),
\]

то получим систему
\[
\begin{array}{c}
\dot{u}=i \operatorname{coef}_{1} u-2 \operatorname{coef}_{2} v, \\
\dot{v}=-2 \operatorname{coef}_{2} u-i \operatorname{coef}_{1} v .
\end{array}
\]

Подводя итог, заметим, что формально все выглядит точно как в периодическом случае, см., например, [6]. В вершине полуострова граничные кривые имеют порядок касания $|k|$. Матрица Флоке задается уравнениями (10). Откуда также следует, что выражение $D=\operatorname{coef}_{1}^{1}-4 \operatorname{coef}_{2}^{2}$ определяет устойчивость: $D>0$ – устойчивый случай, $D<0$ – неустойчивый. Границы полуостровов задаются уравнением $\operatorname{coef}_{1}= \pm 2 \operatorname{coef}_{2}$. Этот подход также доказывает, что если процедуру приведения к нормальной форме рассмотренным способом можно сделать сходящейся, то при $D<0$ получаем $\lambda=2 \pi \sqrt{-D}$ и $\rho=\frac{1}{2}\left(k_{1}+\gamma k_{2}\right)$, а при $D>0-\lambda=0$.

Следующая гипотеза соответствует результатам численного моделирования, выполненного до сих пор. В будущем мы планируем исследовать ее далее, на основе оценок малых знаменателей и, возможно, включая резонансы и бифуркации, см. $[1,22,10,17,18,23]$.

Гипотеза 3. Выберем произвольную область значений а (например, $a \in[1 / 2,1]$ ). Тогда существует значение $b_{0}>0$ такое, что для $|b|<b_{0}$ все полуострова отделены друг от друга областями, в которых показатель Ляпунова равен нулю.